Страница 81 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

1. По каким формулам можно найти угол между прямой и плоскостью?

2. Как можно найти угол между двумя плоскостями?

1. По каким формулам можно найти угол между прямой и плоскостью?

Угол между прямой и плоскостью можно найти двумя основными способами: геометрическим и координатно-векторным.

Геометрический способ:
Угол $ \phi $ между прямой и плоскостью по определению — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Для его нахождения необходимо:
1. Найти точку пересечения прямой $l$ с плоскостью $ \alpha $ (пусть это точка $A$).
2. Выбрать на прямой $l$ любую точку $M$, отличную от $A$.
3. Опустить перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на плоскость $ \alpha $. Точка $H$ — основание перпендикуляра.
4. Отрезок $AH$ является проекцией отрезка $AM$ на плоскость $ \alpha $.
5. Искомый угол $ \phi $ — это угол $ \angle MAH $ в прямоугольном треугольнике $AMH$ (с прямым углом $H$).
Его можно найти через тригонометрические функции, например, через синус: $ \sin \phi = \frac{MH}{AM} $.

Координатно-векторный способ:
Этот метод применяется, когда известны уравнение плоскости и координаты направляющего вектора прямой.
Пусть плоскость $ \alpha $ задана общим уравнением $ Ax + By + Cz + D = 0 $, а прямая $l$ имеет направляющий вектор $ \vec{s} = \{l_s, m_s, n_s\} $.
Вектор нормали к плоскости $ \alpha $ имеет координаты $ \vec{n} = \{A, B, C\} $.
Угол $ \phi $ между прямой и плоскостью является дополнительным к углу $ \theta $ между вектором нормали $ \vec{n} $ и направляющим вектором прямой $ \vec{s} $, то есть $ \phi = 90^\circ - \theta $. Отсюда следует, что $ \sin \phi = \cos \theta $.
Косинус угла между векторами вычисляется по формуле скалярного произведения:
$ \cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|} $
Таким образом, формула для синуса угла между прямой и плоскостью:
$ \sin \phi = \frac{|A \cdot l_s + B \cdot m_s + C \cdot n_s|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{l_s^2 + m_s^2 + n_s^2}} $
Сам угол находится как $ \phi = \arcsin\left(\frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|}\right) $.

Ответ: Угол между прямой и плоскостью можно найти геометрически (как угол между прямой и её проекцией на плоскость) или с помощью координатного метода по формуле синуса угла, используя направляющий вектор прямой $ \vec{s} $ и вектор нормали к плоскости $ \vec{n} $: $ \sin \phi = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|} $.

2. Как можно найти угол между двумя плоскостями?

Угол между двумя пересекающимися плоскостями также можно найти геометрическим или координатно-векторным способом.

Геометрический способ:
Угол между двумя плоскостями — это мера двугранного угла, образованного этими плоскостями. Он равен углу между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения, проведенными из одной точки на этой линии.
Алгоритм нахождения:
1. Находят линию пересечения $c$ двух плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $.
2. В произвольной точке $P$ на линии $c$ строят лучи $PA$ и $PB$, лежащие в плоскостях $ \alpha $ и $ \beta $ соответственно, и перпендикулярные линии $c$.
3. Угол $ \angle APB $ является линейным углом двугранного угла, и его величина по определению равна углу между плоскостями.
Величину этого угла обычно находят, решая некоторый треугольник (например, с помощью теоремы косинусов).

Координатно-векторный способ:
Этот метод является наиболее универсальным и простым, если известны уравнения плоскостей.
Угол между двумя плоскостями равен (острому) углу между их векторами нормали.
Пусть первая плоскость $ \alpha_1 $ задана уравнением $ A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 $, а вторая плоскость $ \alpha_2 $ — уравнением $ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 $.
Векторы нормали к этим плоскостям: $ \vec{n_1} = \{A_1, B_1, C_1\} $ и $ \vec{n_2} = \{A_2, B_2, C_2\} $.
Пусть $ \theta $ — угол между плоскостями. Тогда косинус этого угла равен модулю косинуса угла между векторами нормали:
$ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} $
В координатной форме формула выглядит так:
$ \cos \theta = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} $
Сам угол находится как $ \theta = \arccos\left(\frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\right) $.

Ответ: Угол между двумя плоскостями можно найти геометрически (как линейный угол соответствующего двугранного угла) или с помощью координатного метода по формуле косинуса угла между их векторами нормали $ \vec{n_1} $ и $ \vec{n_2} $: $ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} $.

уровень А

239. Найдите угол, который образует вектор $\vec{a}(6; 2; -3)$ с плоскостью:

а) $3x - 2y + 6z - 1 = 0$;

б) $-3x - 4y + 7 = 0$.

Дано:

вектор $\vec{a} = (6; 2; -3)$

Найти:

угол, который образует вектор $\vec{a}$ с плоскостью:

Решение:

Угол $\phi$ между вектором $\vec{a}$ и плоскостью, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, находится по формуле:$\sin \phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|}$, где $\vec{n} = (A; B; C)$ — нормальный вектор плоскости.

Сначала вычислим модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$

а)

Дано:

плоскость $3x - 2y + 6z - 1 = 0$

Найти:

угол $\phi_1$ между вектором $\vec{a}$ и плоскостью.

Решение:

Для данной плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (3; -2; 6)$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{a}$ и нормального вектора $\vec{n_1}$:

$\vec{a} \cdot \vec{n_1} = (6)(3) + (2)(-2) + (-3)(6) = 18 - 4 - 18 = -4$

Вычислим модуль нормального вектора $\vec{n_1}$:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла $\phi_1$:

$\sin \phi_1 = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n_1}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n_1}|} = \frac{|-4|}{7 \cdot 7} = \frac{4}{49}$

Следовательно, угол $\phi_1$ равен:

$\phi_1 = \arcsin \left( \frac{4}{49} \right)$

Ответ: $\arcsin \left( \frac{4}{49} \right)$

б)

Дано:

плоскость $-3x - 4y + 7 = 0$

Найти:

угол $\phi_2$ между вектором $\vec{a}$ и плоскостью.

Решение:

Для данной плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (-3; -4; 0)$ (коэффициент при $z$ равен 0).

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{a}$ и нормального вектора $\vec{n_2}$:

$\vec{a} \cdot \vec{n_2} = (6)(-3) + (2)(-4) + (-3)(0) = -18 - 8 + 0 = -26$

Вычислим модуль нормального вектора $\vec{n_2}$:

$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла $\phi_2$:

$\sin \phi_2 = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|-26|}{7 \cdot 5} = \frac{26}{35}$

Следовательно, угол $\phi_2$ равен:

$\phi_2 = \arcsin \left( \frac{26}{35} \right)$

Ответ: $\arcsin \left( \frac{26}{35} \right)$