Номер 255, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

255. Дана прямая треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$, каждое ребро которой равно 2. Точки $O$ и $O_1$ – середины ребер $AB$ и $A_1 B_1$ соответственно, точка $K$ принадлежит лучу $C_1 O_1$, причем $O_1 K = C_1 O_1$ (рисунок 105). Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между:

а) прямой $OK$ и плоскостью $ABC$;

б) плоскостями $ABC$ и $KBC_1$.

Рисунок 105

Дано

Прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина каждого ребра $a = 2$.

$O$ - середина ребра $AB$.

$O_1$ - середина ребра $A_1B_1$.

Точка $K$ принадлежит лучу $C_1O_1$, причём $O_1K = C_1O_1$.

Перевод в СИ

Все длины даны в относительных единицах. Для угловых вычислений перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Угол между:

а) прямой $OK$ и плоскостью $ABC$ (с точностью до $1^\circ$).

б) плоскостями $ABC$ и $KBC_1$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение

Для решения задачи используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат.

Расположим начало координат в точке $O$, которая является серединой ребра $AB$. Поскольку все ребра призмы равны 2, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 2. Призма прямая, поэтому боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Координаты вершин основания $ABC$:

• Так как $O$ — середина $AB$ и $AB=2$, то $OA=OB=1$. Пусть $AB$ лежит на оси $Ox$. Тогда $A=(-1,0,0)$ и $B=(1,0,0)$.
• Высота $CO$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=2$ равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Поскольку $O$ - начало координат, и $CO$ перпендикулярна $AB$, то $C$ будет лежать на оси $Oy$. Положим $C=(0,\sqrt{3},0)$.

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$. Высота призмы равна длине ребра, то есть 2. Значит, z-координаты вершин верхнего основания на 2 больше, чем у нижнего:

• $A_1=(-1,0,2)$
• $B_1=(1,0,2)$
• $C_1=(0,\sqrt{3},2)$

Найдем координаты точки $O_1$, которая является серединой ребра $A_1B_1$:

• $O_1 = \left(\frac{-1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = (0,0,2)$.

Найдем координаты точки $K$. Точка $K$ принадлежит лучу $C_1O_1$ и $O_1K = C_1O_1$. Это означает, что точка $O_1$ находится между $C_1$ и $K$, и вектор $\vec{O_1K}$ сонаправлен вектору $\vec{C_1O_1}$.

• Вектор $\vec{C_1O_1} = O_1 - C_1 = (0,0,2) - (0,\sqrt{3},2) = (0,-\sqrt{3},0)$.
• Длина отрезка $C_1O_1 = |\vec{C_1O_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.
• Так как $O_1K = C_1O_1$, то $O_1K = \sqrt{3}$.
• Поскольку $K$ лежит на луче $C_1O_1$ и $O_1K=C_1O_1$, это означает, что $\vec{O_1K} = \vec{C_1O_1}$.
• Координаты $K = O_1 + \vec{C_1O_1} = (0,0,2) + (0,-\sqrt{3},0) = (0,-\sqrt{3},2)$.

Итоговые координаты основных точек для расчетов:

• $O=(0,0,0)$
• $K=(0,-\sqrt{3},2)$
• $B=(1,0,0)$
• $C_1=(0,\sqrt{3},2)$

а) прямой OK и плоскостью ABC

Плоскость $ABC$ в данной системе координат совпадает с плоскостью $z=0$. Нормальный вектор к плоскости $ABC$ можно взять как $\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)$.

Вектор направления прямой $OK$ — это вектор $\vec{v}_{OK} = K - O = (0,-\sqrt{3},2) - (0,0,0) = (0,-\sqrt{3},2)$.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью определяется формулой: $\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.

• Скалярное произведение векторов: $\vec{v}_{OK} \cdot \vec{n}_{ABC} = (0)(0) + (-\sqrt{3})(0) + (2)(1) = 2$.
• Длина вектора $\vec{v}_{OK}$: $|\vec{v}_{OK}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{0+3+4} = \sqrt{7}$.
• Длина нормального вектора: $|\vec{n}_{ABC}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin \phi = \frac{|2|}{\sqrt{7} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

Для нахождения угла $\phi$ возьмем арксинус:

$\phi = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)$

Вычисляем значение:

$\frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0.7559289

$\phi \approx 49.11^\circ$

Округляем до $1^\circ$.

Ответ: $49^\circ$

б) плоскостями ABC и KBC_1

Нормальный вектор к плоскости $ABC$ уже известен: $\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)$.

Для нахождения нормального вектора к плоскости $KBC_1$ воспользуемся координатами точек $K=(0,-\sqrt{3},2)$, $B=(1,0,0)$ и $C_1=(0,\sqrt{3},2)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $KBC_1$:

• $\vec{BK} = K - B = (0,-\sqrt{3},2) - (1,0,0) = (-1, -\sqrt{3}, 2)$.
• $\vec{BC_1} = C_1 - B = (0,\sqrt{3},2) - (1,0,0) = (-1, \sqrt{3}, 2)$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{KBC_1}$ к плоскости $KBC_1$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n}_{KBC_1} = \vec{BK} \times \vec{BC_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -\sqrt{3} & 2 \\ -1 & \sqrt{3} & 2 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_{KBC_1} = \mathbf{i}((-\sqrt{3})(2) - (2)(\sqrt{3})) - \mathbf{j}((-1)(2) - (2)(-1)) + \mathbf{k}((-1)(\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(-1))$

$\vec{n}_{KBC_1} = \mathbf{i}(-2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - \mathbf{j}(-2 + 2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3} - \sqrt{3})$

$\vec{n}_{KBC_1} = (-4\sqrt{3}, 0, -2\sqrt{3})$

Для удобства дальнейших вычислений, нормальный вектор можно упростить, разделив все компоненты на общий множитель $-2\sqrt{3}$. Получим $\vec{n}'_{KBC_1} = (2,0,1)$.

Угол $\theta$ между двумя плоскостями определяется формулой: $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$.

• Скалярное произведение нормальных векторов: $\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}'_{KBC_1} = (0)(2) + (0)(0) + (1)(1) = 1$.
• Длина вектора $\vec{n}_{ABC}$: $|\vec{n}_{ABC}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.
• Длина вектора $\vec{n}'_{KBC_1}$: $|\vec{n}'_{KBC_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$\cos \theta = \frac{|1|}{1 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Для нахождения угла $\theta$ возьмем арккосинус:

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

Вычисляем значение:

$\frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.4472136

$\theta \approx 63.43^\circ$

Округляем до $1^\circ$.

Ответ: $63^\circ$