Номер 252, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

252. Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямой, проходящей через центры граней $ABCD$ и $DD_1C_1C$, и плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BB_1$ и $CC_1$.

Дано:

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямая $L$ проходит через центры граней $ABCD$ и $DD_1C_1C$.

Плоскость $\Pi$ проходит через середины ребер $AB, BB_1$ и $CC_1$.

Найти:

Угол между прямой $L$ и плоскостью $\Pi$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно $a$. Разместим вершину $A$ в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (a,0,0)$

$C = (a,a,0)$

$D = (0,a,0)$

$A_1 = (0,0,a)$

$B_1 = (a,0,a)$

$C_1 = (a,a,a)$

$D_1 = (0,a,a)$

Определение прямой:

Прямая $L$ проходит через центры граней $ABCD$ и $DD_1C_1C$.

Центр грани $ABCD$ (пусть это точка $M_1$) находится как середина диагонали $AC$ или $BD$.

$M_1 = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Центр грани $DD_1C_1C$ (это грань $CDD_1C_1$, пусть это точка $M_2$) находится как середина диагонали $DC_1$ или $D_1C$.

$M_2 = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right)$.

Вектор направления прямой $L$ - это вектор $\vec{M_1M_2}$:

$\vec{v} = \vec{M_1M_2} = M_2 - M_1 = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, a - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Для удобства можем использовать более простой вектор, умножив на $\frac{2}{a}$: $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

Ответ:

Определение плоскости:

Плоскость $\Pi$ проходит через середины ребер $AB, BB_1$ и $CC_1$.

Пусть $P_1$ - середина ребра $AB$:

$P_1 = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.

Пусть $P_2$ - середина ребра $BB_1$:

$P_2 = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$.

Пусть $P_3$ - середина ребра $CC_1$:

$P_3 = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(a, a, \frac{a}{2}\right)$.

Для определения нормального вектора плоскости $\Pi$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{P_1P_2}$ и $\vec{P_1P_3}$.

$\vec{u} = \vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = \left(a - \frac{a}{2}, 0 - 0, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right)$. Можем использовать $(1, 0, 1)$.

$\vec{w} = \vec{P_1P_3} = P_3 - P_1 = \left(a - \frac{a}{2}, a - 0, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right)$. Можем использовать $(1, 2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\Pi$ можно найти как векторное произведение $\vec{u} \times \vec{w}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) = -2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (-2, 0, 2)$.

Для удобства можем использовать более простой нормальный вектор: $\vec{n} = (-1, 0, 1)$.

Ответ:

Вычисление угла между прямой и плоскостью:

Угол $\phi$ между прямой (с направляющим вектором $\vec{v}$) и плоскостью (с нормальным вектором $\vec{n}$) определяется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

Направляющий вектор прямой: $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

Нормальный вектор плоскости: $\vec{n} = (-1, 0, 1)$.

Скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(-1) + (1)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1$.

Модуль вектора $\vec{v}$:

$||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Модуль вектора $\vec{n}$:

$||\vec{n}|| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\phi = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$.

$\phi = 30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$ радиан.

Ответ:

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью составляет $30^\circ$ или $\frac{\pi}{6}$ радиан.