Номер 249, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

249. Найдите с точностью до $1^\circ$ угол между прямой, проходящей через начало координат и точку $M(1; 2; 3)$, и плоскостью, параллельной вектору $\vec{p}(3; 1; -1)$, содержащей начало координат и точку $C(0; 2; -1)$.

Дано:

Прямая $L$ проходит через начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $M(1; 2; 3)$.

Плоскость $P$ параллельна вектору $\vec{p} = (3; 1; -1)$, содержит начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $C(0; 2; -1)$.

В данной задаче все величины представлены в координатной форме, которая является универсальной и не требует перевода в систему СИ.

Найти:

Угол $\phi$ между прямой $L$ и плоскостью $P$ с точностью до $1^\circ$.

Решение

Для нахождения угла между прямой и плоскостью воспользуемся формулой, связывающей синус угла между прямой и плоскостью со скалярным произведением направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

1. Найдем направляющий вектор прямой $L$. Прямая $L$ проходит через начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $M(1; 2; 3)$. Направляющим вектором прямой $L$ является вектор $\vec{l} = \vec{OM}$.

$\vec{l} = (M_x - O_x; M_y - O_y; M_z - O_z) = (1 - 0; 2 - 0; 3 - 0) = (1; 2; 3)$

Ответ:

Направляющий вектор прямой $L$: $\vec{l} = (1; 2; 3)$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости $P$. Плоскость $P$ содержит начало координат $O(0; 0; 0)$ и точку $C(0; 2; -1)$, а также параллельна вектору $\vec{p} = (3; 1; -1)$. Два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости $P$, это $\vec{OC}$ и $\vec{p}$. Вектор $\vec{OC} = (C_x - O_x; C_y - O_y; C_z - O_z) = (0 - 0; 2 - 0; -1 - 0) = (0; 2; -1)$. Нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен любым векторам, лежащим в плоскости. Его можно найти как векторное произведение векторов $\vec{OC}$ и $\vec{p}$.

$\vec{n} = \vec{OC} \times \vec{p} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}((2)(-1) - (-1)(1)) - \mathbf{j}((0)(-1) - (-1)(3)) + \mathbf{k}((0)(1) - (2)(3))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(-2 + 1) - \mathbf{j}(0 + 3) + \mathbf{k}(0 - 6)$

$\vec{n} = -1\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 6\mathbf{k}$

Ответ:

Нормальный вектор плоскости $P$: $\vec{n} = (-1; -3; -6)$.

3. Вычислим угол между прямой и плоскостью. Угол $\phi$ между прямой с направляющим вектором $\vec{l}$ и плоскостью с нормальным вектором $\vec{n}$ определяется формулой:

$|\sin \phi| = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{|\vec{l}| |\vec{n}|}$

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (1)(-1) + (2)(-3) + (3)(-6) = -1 - 6 - 18 = -25$

$|\vec{l}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 9 + 36} = \sqrt{46}$

$|\sin \phi| = \frac{|-25|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{46}} = \frac{25}{\sqrt{14 \cdot 46}} = \frac{25}{\sqrt{644}}$

$\phi = \arcsin\left(\frac{25}{\sqrt{644}}\right)$

$\phi \approx \arcsin\left(\frac{25}{25.37715}\right) \approx \arcsin(0.98513)$

$\phi \approx 80.05^\circ$

$\phi \approx 80^\circ$

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью составляет приблизительно $80^\circ$.