Номер 277, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

277. Синус угла между прямой, проходящей через точки $A(2; 3; -4)$, $B(1; -4; 1)$, и плоскостью $2x - y + z + 1 = 0$ равен:

1) $\frac{2}{\sqrt{3}}$; 2) $0$; 3) $-\frac{2}{3\sqrt{2}}$; 4) $\frac{\sqrt{2}}{3}$; 5) $-\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Дано:

Точки на прямой: $A(2, 3, -4)$, $B(1, -4, 1)$

Уравнение плоскости: $2x - y + z + 1 = 0$

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как это задача из аналитической геометрии.

Найти:

Синус угла между прямой $AB$ и плоскостью.

Решение:

Для нахождения синуса угла между прямой и плоскостью нам понадобится направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости.

1. Находим направляющий вектор прямой.

Направляющий вектор $\vec{l}$ прямой, проходящей через точки $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$, определяется как вектор $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

В нашем случае $A(2, 3, -4)$ и $B(1, -4, 1)$, поэтому:

$ \vec{l} = (1 - 2, -4 - 3, 1 - (-4)) = (-1, -7, 5) $

2. Находим нормальный вектор плоскости.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости имеет координаты $(A, B, C)$.

Из уравнения плоскости $2x - y + z + 1 = 0$ получаем:

$ \vec{n} = (2, -1, 1) $

3. Вычисляем длины (модули) этих векторов.

Модуль вектора $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ вычисляется по формуле $ ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} $.

Для направляющего вектора $\vec{l} = (-1, -7, 5)$:

$ ||\vec{l}|| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} $

Упростим $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Для нормального вектора $\vec{n} = (2, -1, 1)$:

$ ||\vec{n}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} $

4. Вычисляем скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов $\vec{l} = (l_x, l_y, l_z)$ и $\vec{n} = (n_x, n_y, n_z)$ равно $ \vec{l} \cdot \vec{n} = l_x n_x + l_y n_y + l_z n_z $.

$ \vec{l} \cdot \vec{n} = (-1)(2) + (-7)(-1) + (5)(1) = -2 + 7 + 5 = 10 $

5. Вычисляем синус угла между прямой и плоскостью.

Синус угла $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{l}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, определяется по формуле:

$ \sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||} $

Подставим найденные значения:

$ \sin \phi = \frac{|10|}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{10}{5\sqrt{18}} $

Упростим знаменатель $5\sqrt{18}$:

$ 5\sqrt{18} = 5\sqrt{9 \cdot 2} = 5 \cdot 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2} $

Тогда:

$ \sin \phi = \frac{10}{15\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$ \sin \phi = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{3} $