Номер 283, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

283. Найдите угол между прямой, проходящей через точки $A(1; -2; 3)$, $B(-3; 2; 5)$, и плоскостью $2x - 2y - z + 4 = 0$.

Дано:

Точка $A(1; -2; 3)$

Точка $B(-3; 2; 5)$

Уравнение плоскости: $2x - 2y - z + 4 = 0$

Перевод в систему СИ: Координаты точек и коэффициенты уравнения плоскости представлены в безразмерном виде, соответствующем стандартной декартовой системе координат. Перевод в СИ не требуется.

Найти:

Угол $\phi$ между прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, и плоскостью.

Решение:

1. Найдем направляющий вектор прямой $AB$.

Направляющий вектор $\vec{l}$ прямой, проходящей через точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, определяется как $\vec{l} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Для точек $A(1; -2; 3)$ и $B(-3; 2; 5)$:

$x_2 - x_1 = -3 - 1 = -4$

$y_2 - y_1 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$

$z_2 - z_1 = 5 - 3 = 2$

Таким образом, направляющий вектор прямой $\vec{l} = (-4; 4; 2)$.

2. Найдем нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости равен $(A, B, C)$.

Для плоскости $2x - 2y - z + 4 = 0$:

$A = 2$

$B = -2$

$C = -1$

Таким образом, нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (2; -2; -1)$.

3. Используем формулу для синуса угла между прямой и плоскостью.

Синус угла $\phi$ между прямой, имеющей направляющий вектор $\vec{l}$, и плоскостью, имеющей нормальный вектор $\vec{n}$, вычисляется по формуле:

$\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{l} \cdot \vec{n}$:

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (-4)(2) + (4)(-2) + (2)(-1)$

$\vec{l} \cdot \vec{n} = -8 - 8 - 2 = -18$

$|\vec{l} \cdot \vec{n}| = |-18| = 18$

Вычислим модуль (длину) вектора $\vec{l}$:

$||\vec{l}|| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2}$

$||\vec{l}|| = \sqrt{16 + 16 + 4}$

$||\vec{l}|| = \sqrt{36} = 6$

Вычислим модуль (длину) вектора $\vec{n}$:

$||\vec{n}|| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}$

$||\vec{n}|| = \sqrt{4 + 4 + 1}$

$||\vec{n}|| = \sqrt{9} = 3$

Подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{18}{6 \cdot 3}$

$\sin \phi = \frac{18}{18}$

$\sin \phi = 1$

Найдем угол $\phi$:

$\phi = \arcsin(1)$

$\phi = \frac{\pi}{2}$ радиан или $90^\circ$

Ответ: $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.