Номер 282, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

282. Даны точки $A(1; 2; 3)$, $B(-3; 3; 2)$. Найдите угол между прямыми $MA$ и $MB$, где $M$ – точка оси абсцисс, одинаково удаленная от точек $A$ и $B$.

Дано:

Точки $A(1; 2; 3)$ и $B(-3; 3; 2)$.

Точка $M$ лежит на оси абсцисс, то есть $M(x_M; 0; 0)$.

Расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $B$: $|MA| = |MB|$.

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $MA$ и $MB$.

Решение:

1. Определим координаты точки $M$.

Поскольку точка $M$ лежит на оси абсцисс, ее координаты имеют вид $(x_M; 0; 0)$.

Условие равноудаленности $|MA| = |MB|$ эквивалентно $|MA|^2 = |MB|^2$.

Воспользуемся формулой квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ в трехмерном пространстве: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Вычислим $|MA|^2$:

$|MA|^2 = (x_M - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 3)^2 = (x_M - 1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = (x_M - 1)^2 + 4 + 9 = (x_M - 1)^2 + 13$

Вычислим $|MB|^2$:

$|MB|^2 = (x_M - (-3))^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 2)^2 = (x_M + 3)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 = (x_M + 3)^2 + 9 + 4 = (x_M + 3)^2 + 13$

Приравняем квадраты расстояний:

$(x_M - 1)^2 + 13 = (x_M + 3)^2 + 13$

$(x_M - 1)^2 = (x_M + 3)^2$

Раскроем скобки:

$x_M^2 - 2x_M + 1 = x_M^2 + 6x_M + 9$

Вычтем $x_M^2$ из обеих частей уравнения:

$-2x_M + 1 = 6x_M + 9$

Перенесем слагаемые с $x_M$ в одну сторону, а константы в другую:

$1 - 9 = 6x_M + 2x_M$

$-8 = 8x_M$

$x_M = -1$

Таким образом, координаты точки $M$ есть $(-1; 0; 0)$.

2. Определим векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$.

Вектор $\vec{MA}$: $A(1; 2; 3)$, $M(-1; 0; 0)$

$\vec{MA} = (x_A - x_M; y_A - y_M; z_A - z_M) = (1 - (-1); 2 - 0; 3 - 0) = (2; 2; 3)$

Вектор $\vec{MB}$: $B(-3; 3; 2)$, $M(-1; 0; 0)$

$\vec{MB} = (x_B - x_M; y_B - y_M; z_B - z_M) = (-3 - (-1); 3 - 0; 2 - 0) = (-2; 3; 2)$

3. Вычислим косинус угла между векторами $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$.

Угол $\theta$ между прямыми $MA$ и $MB$ можно найти с помощью формулы косинуса угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{MA} \cdot \vec{MB}|}{|\vec{MA}| |\vec{MB}|}$

(Используем модуль скалярного произведения в числителе, чтобы получить наименьший угол между прямыми, который по определению лежит в диапазоне от $0$ до $\frac{\pi}{2}$).

Вычислим скалярное произведение $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$:

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (2)(-2) + (2)(3) + (3)(2) = -4 + 6 + 6 = 8$

Вычислим длины векторов $|\vec{MA}|$ и $|\vec{MB}|$:

$|\vec{MA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$

$|\vec{MB}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$

Теперь подставим эти значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{|8|}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{8}{17}$

Угол $\theta$ равен арккосинусу этого значения:

$\theta = \arccos \left(\frac{8}{17}\right)$

Ответ:

Угол между прямыми $MA$ и $MB$ равен $\arccos \left(\frac{8}{17}\right)$.