Страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

292. Цилиндр получен вращением квадрата около его стороны, равной 15 см. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости его сечения, параллельного ей, площадь которого равна $270 \text{ см}^2$.

Дано:

Сторона квадрата, которая является одновременно высотой цилиндра $h$ и радиусом основания $R$: $a = 15 \text{ см}$

Площадь сечения, параллельного оси цилиндра: $S_{сеч} = 270 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$h = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$R = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

$S_{сеч} = 270 \text{ см}^2 = 0.027 \text{ м}^2$

Найти:

Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения $x$.

Решение:

Цилиндр образуется вращением квадрата вокруг одной из его сторон. Следовательно, сторона квадрата, вокруг которой происходит вращение, становится высотой цилиндра ($h$), а другая сторона квадрата становится радиусом основания цилиндра ($R$).

Таким образом, высота цилиндра $h = a = 15 \text{ см}$.

Радиус основания цилиндра $R = a = 15 \text{ см}$.

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника - это высота цилиндра $h$. Другая сторона - это хорда основания цилиндра. Пусть длина этой хорды будет $w$.

Площадь прямоугольного сечения $S_{сеч}$ вычисляется как произведение его сторон: $S_{сеч} = w \cdot h$.

Известна площадь сечения $S_{сеч} = 270 \text{ см}^2$ и высота цилиндра $h = 15 \text{ см}$. Найдем ширину сечения $w$:

$w = \frac{S_{сеч}}{h} = \frac{270 \text{ см}^2}{15 \text{ см}} = 18 \text{ см}$

Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения $x$ - это расстояние от центра окружности основания до хорды $w$. Эта хорда делит диаметр перпендикулярно пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, половиной хорды $\frac{w}{2}$ и искомым расстоянием $x$. По теореме Пифагора:

$R^2 = x^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2$

У нас $R = 15 \text{ см}$ и $\frac{w}{2} = \frac{18 \text{ см}}{2} = 9 \text{ см}$. Подставим эти значения:

$15^2 = x^2 + 9^2$

$225 = x^2 + 81$

$x^2 = 225 - 81$

$x^2 = 144$

$x = \sqrt{144}$

$x = 12 \text{ см}$

Ответ:

Расстояние от оси цилиндра до плоскости его сечения составляет $12 \text{ см}$.

293. Радиус основания цилиндра равен 12 см. Найдите расстояние между осевым сечением цилиндра и параллельным ему сечением, площадь которого вдвое меньше.

Дано:

Радиус основания цилиндра $R = 12 \text{ см}$.

Площадь параллельного осевому сечению сечения $S_{пар}$ в два раза меньше площади осевого сечения $S_{ос}$: $S_{пар} = 0.5 \cdot S_{ос}$.

Перевод в СИ:

$R = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние $d$ между осевым сечением цилиндра и параллельным ему сечением.

Решение:

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого является диаметром основания цилиндра ($2R$), а другая сторона - высотой цилиндра ($H$).

Площадь осевого сечения $S_{ос}$ выражается формулой: $S_{ос} = 2R \cdot H$.

Параллельное осевому сечению сечение также является прямоугольником. Его высота равна высоте цилиндра ($H$), а ширина $w$ является хордой основания цилиндра.

Площадь параллельного сечения $S_{пар}$ выражается формулой: $S_{пар} = w \cdot H$.

Согласно условию задачи, площадь параллельного сечения в два раза меньше площади осевого сечения:

$S_{пар} = 0.5 \cdot S_{ос}$

Подставим выражения для площадей:

$w \cdot H = 0.5 \cdot (2R \cdot H)$

$w \cdot H = R \cdot H$

Поскольку высота цилиндра $H$ не равна нулю, мы можем сократить ее из обеих частей уравнения:

$w = R$

Это означает, что ширина параллельного сечения равна радиусу основания цилиндра. Расстояние $d$, которое нам нужно найти, это расстояние от оси цилиндра (центра основания) до этой хорды $w$.

Рассмотрим основание цилиндра - круг радиусом $R$. Хорда $w = R$ расположена на расстоянии $d$ от центра круга. Если провести радиусы к концам хорды и перпендикуляр из центра к хорде, образуется равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и основанием $R$. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, образуя два прямоугольных треугольника. Длина половины хорды будет $w/2 = R/2$.

Применяем теорему Пифагора к одному из этих прямоугольных треугольников, где гипотенуза - радиус $R$, один катет - половина хорды $R/2$, а другой катет - искомое расстояние $d$:

$R^2 = d^2 + (R/2)^2$

$R^2 = d^2 + R^2/4$

Выразим $d^2$:

$d^2 = R^2 - R^2/4$

$d^2 = \frac{4R^2 - R^2}{4}$

$d^2 = \frac{3R^2}{4}$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $d$:

$d = \sqrt{\frac{3R^2}{4}}$

$d = \frac{\sqrt{3}R}{2}$

Подставим данное значение радиуса $R = 12 \text{ см}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot 12}{2}$

$d = 6\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $6\sqrt{3} \text{ см}$.

294. Через две образующие цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности его основания дугу в $300^\circ$. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью, если его высота равна $1 \text{ м}$, а радиус основания – $1 \text{ дм}$.

Дано:

Высота цилиндра: $H = 1$ м

Радиус основания цилиндра: $R = 1$ дм

Угол дуги, отсекаемой плоскостью от окружности основания: $\alpha = 300^\circ$

Перевод в СИ:

$H = 1$ м

$R = 1$ дм $ = 0.1$ м

Найти:

Площадь сечения: $S_{сеч}$

Решение:

Поскольку плоскость проведена через две образующие цилиндра, сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона — хорде $L$, отсекающей дугу от окружности основания.

Угол дуги, отсекаемой плоскостью, равен $300^\circ$. Это означает, что центральный угол $\phi$, соответствующий меньшей дуге (образующей хорду), равен:

$\phi = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$

Хорда $L$ в основании цилиндра образует равнобедренный треугольник с центром основания и двумя точками пересечения образующих с окружностью основания. Две стороны этого треугольника равны радиусу $R$, а угол между ними равен $\phi = 60^\circ$.

Поскольку равнобедренный треугольник имеет угол $60^\circ$ между равными сторонами, он является равносторонним треугольником. Следовательно, длина хорды $L$ равна радиусу основания $R$.

$L = R = 0.1$ м

Площадь сечения $S_{сеч}$ (прямоугольника) вычисляется как произведение его сторон:

$S_{сеч} = L \cdot H$

Подставим значения:

$S_{сеч} = 0.1 \text{ м} \cdot 1 \text{ м}$

$S_{сеч} = 0.1 \text{ м}^2$

Ответ:

Площадь сечения цилиндра этой плоскостью составляет $0.1$ м$^2$.

295. Образующая цилиндра является общей стороной двух его перпендикулярных сечений, площади которых равны 15 дм$^2$ и 8 дм$^2$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если его высота равна 5 дм.

Дано:

Площадь первого перпендикулярного сечения $S_1 = 15 \text{ дм}^2$.

Площадь второго перпендикулярного сечения $S_2 = 8 \text{ дм}^2$.

Высота цилиндра $H = 5 \text{ дм}$.

Общая сторона перпендикулярных сечений является образующей цилиндра.

Сечения перпендикулярны друг другу.

Перевод в СИ:

$S_1 = 15 \text{ дм}^2 = 0.15 \text{ м}^2$.

$S_2 = 8 \text{ дм}^2 = 0.08 \text{ м}^2$.

$H = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$.

Найти:

Площадь осевого сечения цилиндра $S_{ос}$.

Решение:

Обозначим высоту цилиндра как $H$. Площади перпендикулярных сечений, имеющих общую образующую (сторону, равную высоте $H$), можно выразить как произведение высоты на ширину соответствующего сечения (хорду основания). Пусть $x_1$ и $x_2$ - ширины этих сечений.

Тогда:

$S_1 = x_1 \cdot H \Rightarrow x_1 = \frac{S_1}{H}$

$S_2 = x_2 \cdot H \Rightarrow x_2 = \frac{S_2}{H}$

Подставим значения:

$x_1 = \frac{15 \text{ дм}^2}{5 \text{ дм}} = 3 \text{ дм}$

$x_2 = \frac{8 \text{ дм}^2}{5 \text{ дм}} = 1.6 \text{ дм}$

Поскольку сечения перпендикулярны и имеют общую образующую, это означает, что хорды $x_1$ и $x_2$ в основании цилиндра, исходящие из одной точки на окружности (где эта образующая пересекает основание), взаимно перпендикулярны. В таком случае, эти хорды образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром основания цилиндра ($2R$).

По теореме Пифагора:

$(2R)^2 = x_1^2 + x_2^2$

Подставим значения $x_1$ и $x_2$:

$(2R)^2 = (3 \text{ дм})^2 + (1.6 \text{ дм})^2$

$(2R)^2 = 9 \text{ дм}^2 + 2.56 \text{ дм}^2$

$(2R)^2 = 11.56 \text{ дм}^2$

$2R = \sqrt{11.56 \text{ дм}^2}$

$2R = 3.4 \text{ дм}$

Площадь осевого сечения цилиндра ($S_{ос}$) представляет собой произведение диаметра основания на высоту цилиндра:

$S_{ос} = 2R \cdot H$

Подставим найденные значения:

$S_{ос} = 3.4 \text{ дм} \cdot 5 \text{ дм}$

$S_{ос} = 17 \text{ дм}^2$

Ответ:

Площадь осевого сечения цилиндра равна $17 \text{ дм}^2$.

296. Плоскость пересекает основания цилиндра по хордам, равным 12 см и 16 см, расстояние между которыми равно 18 см. Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 10 см.

Дано:
Длина первой хорды $l_1 = 12$ см
Длина второй хорды $l_2 = 16$ см
Расстояние между хордами (в плоскости сечения) $d = 18$ см
Радиус основания цилиндра $R = 10$ см

Перевод в СИ:
$l_1 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$l_2 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$d = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$
$R = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти:
Высота цилиндра $H$

Решение:

Плоскость пересекает основания цилиндра по хордам. Так как хорды имеют разную длину ($12$ см и $16$ см), плоскость сечения не параллельна оси цилиндра. Хорды, образованные такой плоскостью в двух основаниях, параллельны друг другу. Расстояние между этими хордами, равное $18$ см, представляет собой длину отрезка, соединяющего их середины в плоскости сечения.

1. Найдем расстояние от центра основания до каждой хорды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. Радиус основания $R$, половина длины хорды $l/2$ и расстояние от центра до хорды $h$ образуют прямоугольный треугольник.

Для первой хорды $l_1 = 12$ см:
Половина хорды: $l_1/2 = 12/2 = 6$ см.
Расстояние от центра до первой хорды $h_1$:
$h_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Для второй хорды $l_2 = 16$ см:
Половина хорды: $l_2/2 = 16/2 = 8$ см.
Расстояние от центра до второй хорды $h_2$:
$h_2 = \sqrt{R^2 - (l_2/2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной обеим хордам и проходящей через ось цилиндра. В этом сечении ось цилиндра представлена отрезком, соединяющим центры оснований $O_1$ и $O_2$, длиной $H$. Середины хорд $M_1$ и $M_2$ расположены на расстояниях $h_1$ и $h_2$ от оси цилиндра соответственно. Отрезок $M_1M_2$ (расстояние $d = 18$ см) является гипотенузой прямоугольного треугольника, где одним катетом является высота цилиндра $H$, а другим катетом — горизонтальное расстояние между проекциями середин хорд на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра.

Существует два возможных случая расположения хорд относительно оси цилиндра:
а) Хорды расположены по одну сторону от оси цилиндра. В этом случае горизонтальное расстояние между проекциями середин хорд на плоскость, проходящую через ось цилиндра и перпендикулярную хордам, равно $|h_1 - h_2|$.
б) Хорды расположены по разные стороны от оси цилиндра. В этом случае горизонтальное расстояние равно $h_1 + h_2$.
Поскольку в задаче не указано положение хорд относительно оси, но даны хорды разной длины, что характерно для наклонного сечения, проходящего "насквозь" через цилиндр (то есть через ось), то обычно подразумевается случай, когда хорды расположены по разные стороны от оси.

Примем случай б) (хорды по разные стороны от оси):
Горизонтальное расстояние: $\Delta h = h_1 + h_2 = 8 + 6 = 14$ см.
Согласно теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой $H$, горизонтальным расстоянием $\Delta h$ и расстоянием между хордами $d$:
$H^2 + (\Delta h)^2 = d^2$
$H^2 + 14^2 = 18^2$
$H^2 + 196 = 324$
$H^2 = 324 - 196$
$H^2 = 128$
$H = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ради пояснения, рассмотрим также случай а) (хорды по одну сторону от оси):
Горизонтальное расстояние: $\Delta h = |h_1 - h_2| = |8 - 6| = 2$ см.
$H^2 + (\Delta h)^2 = d^2$
$H^2 + 2^2 = 18^2$
$H^2 + 4 = 324$
$H^2 = 324 - 4$
$H^2 = 320$
$H = \sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = 8\sqrt{5}$ см.
Без дополнительной информации о расположении плоскости сечения, оба ответа математически возможны. Однако, в контексте задач такого типа, когда хорды имеют разную длину и задано "расстояние между ними", чаще всего подразумевается, что секущая плоскость пересекает ось цилиндра, что приводит к использованию суммы расстояний от оси.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.

297. Найдите высоту цилиндра, в котором диагональ сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 дм от нее, в два раза длиннее радиуса основания.

Дано:

Расстояние от оси цилиндра до сечения: $d = 4$ дм

Диагональ сечения: $D_{сеч} = 2R$, где $R$ — радиус основания цилиндра.

Перевод в СИ:

$d = 4$ дм $= 0.4$ м

Найти:

Высота цилиндра $H$

Решение:

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, является прямоугольником. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$. Другая сторона — это хорда основания цилиндра. Обозначим длину этой хорды как $c$.

Расстояние от оси цилиндра до сечения $d$ — это расстояние от центра основания до хорды $c$. Это расстояние перпендикулярно хорде и делит ее пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания $R$, расстоянием $d$ и половиной хорды $c/2$. По теореме Пифагора имеем:

$R^2 = d^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2$

Выразим половину хорды из этого уравнения:

$\left(\frac{c}{2}\right)^2 = R^2 - d^2$

Отсюда длина хорды $c$ равна:

$c = 2 \sqrt{R^2 - d^2}$

Диагональ сечения $D_{сеч}$ образует прямоугольный треугольник со сторонами $H$ (высота цилиндра) и $c$ (длина хорды). По теореме Пифагора для этого прямоугольника:

$D_{сеч}^2 = H^2 + c^2$

По условию задачи, диагональ сечения в два раза длиннее радиуса основания: $D_{сеч} = 2R$.

Подставим выражение для $D_{сеч}$ и выражение для $c$ в уравнение диагонали:

$(2R)^2 = H^2 + (2 \sqrt{R^2 - d^2})^2$

Возведем в квадрат обе части:

$4R^2 = H^2 + 4(R^2 - d^2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$4R^2 = H^2 + 4R^2 - 4d^2$

Вычтем $4R^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = H^2 - 4d^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = 4d^2$

Извлечем квадратный корень, учитывая, что высота должна быть положительной:

$H = \sqrt{4d^2}$

$H = 2d$

Теперь подставим заданное значение $d = 4$ дм:

$H = 2 \times 4$ дм

$H = 8$ дм

Ответ:

$8$ дм

298. Имеет ли цилиндр:

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскость симметрии?

а) центр симметрии

Цилиндр имеет центр симметрии. Этой точкой является середина отрезка, соединяющего центры его оснований, то есть середина оси цилиндра. Если взять любую точку на поверхности или внутри цилиндра и провести прямую через этот центр симметрии, то на таком же расстоянии с другой стороны от центра окажется соответствующая точка, также принадлежащая цилиндру.

Ответ:

Да, имеет.

б) оси симметрии

Цилиндр имеет оси симметрии. К ним относятся:

1. Ось, проходящая через центры оснований цилиндра. Вокруг этой оси цилиндр может быть повернут на любой угол, отображаясь сам на себя.

2. Бесконечное множество прямых, проходящих через центр симметрии цилиндра (середину его оси) перпендикулярно этой оси. При повороте на $180^\circ$ вокруг любой такой прямой цилиндр совпадет сам с собой.

Ответ:

Да, имеет бесконечное множество.

в) плоскость симметрии

Цилиндр имеет плоскости симметрии. К ним относятся:

1. Бесконечное множество плоскостей, проходящих через ось цилиндра. Каждая такая плоскость делит цилиндр на две зеркально равные части.

2. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра и проходящая через ее середину (через центр симметрии). Эта плоскость также делит цилиндр на две зеркально равные части.

Ответ:

Да, имеет бесконечное множество.

299. Через образующую цилиндра проведены две секущие плоскости, угол между которыми равен $\beta$. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если одно из сечений является осевым.

Дано:

Угол между двумя секущими плоскостями, проведенными через одну образующую цилиндра: $\beta$.

Одно из сечений является осевым.

Найти:

Отношение площадей сечений.

Решение:

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания ($2R$), а другая — высоте цилиндра ($H$).

Площадь осевого сечения $S_1$ равна:

$S_1 = 2R \cdot H$

Второе сечение также является прямоугольником, поскольку оно проходит через образующую цилиндра (т.е. параллельно оси цилиндра). Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($H$), а другая сторона является хордой основания цилиндра. Обозначим длину этой хорды $a$.

Площадь второго сечения $S_2$ равна:

$S_2 = a \cdot H$

Обе секущие плоскости проходят через одну и ту же образующую цилиндра. Угол между этими плоскостями равен $\beta$. Этот угол является двугранным углом, и его величина измеряется в плоскости, перпендикулярной общей образующей. Такой плоскостью является плоскость основания цилиндра (или любая плоскость, параллельная ей).

Рассмотрим проекцию ситуации на плоскость основания цилиндра. Общая образующая проецируется в точку на окружности основания. Пусть эта точка будет $A$.

Осевое сечение, проходящее через образующую $A$, пересекает основание по диаметру. Пусть этот диаметр будет $AD$. Длина $AD = 2R$.

Второе сечение, проходящее через образующую $A$, пересекает основание по некоторой хорде. Пусть эта хорда будет $AE$. Длина $AE = a$.

Угол между плоскостями $\beta$ соответствует углу между отрезками $AD$ и $AE$ в плоскости основания, так как эти отрезки перпендикулярны общей образующей (которая в плоскости основания проецируется в точку $A$). Таким образом, $\angle DAE = \beta$.

Треугольник $ADE$ вписан в окружность, и одна из его сторон ($AD$) является диаметром. Следовательно, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. То есть $\angle AED = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADE$:

• Гипотенуза $AD = 2R$.
• Угол $\angle DAE = \beta$.
• Искомый катет (хорда) $AE = a$.

Используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AE}{AD}$

$\cos(\beta) = \frac{a}{2R}$

Отсюда находим длину хорды $a$:

$a = 2R \cos(\beta)$

Теперь подставим это значение $a$ в формулу для площади $S_2$:

$S_2 = (2R \cos(\beta)) \cdot H = 2RH \cos(\beta)$

Наконец, найдем отношение площадей сечений. Если не указано иное, обычно искомым является отношение менее "специфического" сечения к более "специфическому" (т.е. произвольного к осевому), или же наоборот, в зависимости от контекста. Примем отношение площади второго (произвольного) сечения к площади осевого сечения:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2RH \cos(\beta)}{2RH}$

$\frac{S_2}{S_1} = \cos(\beta)$

Ответ:

Отношение площадей сечений равно $\cos(\beta)$.

300. Цилиндр расположен внутри двугранного угла, равного $60^\circ$, так, что на гранях угла лежит по одной его образующей. Расстояние от центра основания цилиндра до ребра двугранного угла равно 15 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Дано

Угол двугранного угла: $\alpha = 60^\circ$
Расстояние от центра основания цилиндра до ребра двугранного угла: $d = 15 \text{ см}$

Перевод в СИ

$\alpha = 60^\circ$
$d = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра: $r$

Решение

Рассмотрим поперечное сечение двугранного угла и цилиндра плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла и оси цилиндра. В этом сечении двугранный угол будет представлен двумя прямыми, образующими угол $60^\circ$, а основание цилиндра – окружностью. Поскольку образующие цилиндра лежат на гранях двугранного угла, это означает, что окружность основания цилиндра является касательной к обеим прямым, представляющим грани угла в сечении.

Центр основания цилиндра (обозначим его $O$) равноудален от касательных плоскостей (граней двугранного угла), а также находится на биссектрисе угла, образованного этими гранями. Ребро двугранного угла в данном сечении будет представлять собой точку (обозначим ее $A$). Расстояние от центра основания цилиндра до ребра двугранного угла — это расстояние от $O$ до $A$, которое дано как $d = 15 \text{ см}$.

Пусть $P$ — точка касания окружности основания цилиндра с одной из граней двугранного угла (в сечении это точка касания окружности с одной из прямых). Радиус $r$ цилиндра равен длине отрезка $OP$. Отрезок $OP$ перпендикулярен касательной прямой, то есть $OP \perp AP$.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник $APO$, где $AP$ лежит на одной из граней, $OP$ — радиус, перпендикулярный грани, а $AO$ — гипотенуза, являющаяся расстоянием от центра основания до ребра. Угол между $AO$ (биссектрисой) и гранью $AP$ равен половине двугранного угла, то есть $\alpha/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $APO$ синус угла $\angle PAO$ (который равен $30^\circ$) определяется как отношение противолежащего катета $OP$ к гипотенузе $AO$:

$\sin(\angle PAO) = \frac{OP}{AO}$

Подставляем известные значения:

$\sin(30^\circ) = \frac{r}{d}$

Известно, что $\sin(30^\circ) = 0.5$. Тогда:

$0.5 = \frac{r}{15 \text{ см}}$

Выразим радиус $r$:

$r = 15 \text{ см} \cdot 0.5$

$r = 7.5 \text{ см}$

Ответ:

Радиус основания цилиндра составляет $7.5 \text{ см}$.

301. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу, равную $120^\circ$, и удалена от оси на расстояние $d$. Диагональ полученного сечения равна $4d$. Найдите высоту и радиус основания цилиндра.

Дано:

Угол дуги, отсекаемой плоскостью от окружности основания: $\alpha = 120^\circ$

Расстояние от оси цилиндра до плоскости: $d$

Длина диагонали полученного сечения: $D_{сеч} = 4d$

Перевод в СИ:

Угол $\alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ радиан

Расстояние $d$ (в метрах)

Диагональ $D_{сеч} = 4d$ (в метрах)

Найти:

Высота цилиндра: $H$

Радиус основания цилиндра: $R$

Решение:

Радиус основания цилиндра

Рассмотрим сечение основания цилиндра. Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает основание по хорде. Расстояние от оси цилиндра (центра окружности основания) до этой хорды равно $d$. Хорда стягивает дугу в $120^\circ$, что означает, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $120^\circ$.

Соединим концы хорды с центром окружности. Получим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными радиусу основания $R$, и углом при вершине $120^\circ$. Высота этого треугольника, проведенная из центра к хорде, равна $d$ и делит центральный угол пополам, то есть на два угла по $60^\circ$. Она также делит хорду пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, расстоянием $d$ и половиной хорды ($L_{хорды}/2$). В этом треугольнике угол между радиусом и расстоянием $d$ равен $60^\circ$ (половина центрального угла).

Из этого прямоугольного треугольника имеем: $d = R \cos(60^\circ)$.

Подставим значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$d = R \cdot \frac{1}{2}$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = 2d$

Ответ: $R = 2d$

Высота цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника — это хорда основания, а другая сторона — высота цилиндра $H$.

Длину хорды $L_{хорды}$ можно найти из того же прямоугольного треугольника, который мы использовали выше. Половина хорды равна $R \sin(60^\circ)$.

$L_{хорды}/2 = R \sin(60^\circ)$

Подставим найденное значение радиуса $R = 2d$ и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$L_{хорды}/2 = 2d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$L_{хорды}/2 = d\sqrt{3}$

Тогда длина хорды $L_{хорды} = 2d\sqrt{3}$.

Диагональ прямоугольного сечения $D_{сеч}$ связана со сторонами (хордой $L_{хорды}$ и высотой $H$) по теореме Пифагора:

$D_{сеч}^2 = L_{хорды}^2 + H^2$

По условию задачи, $D_{сеч} = 4d$. Подставим известные значения:

$(4d)^2 = (2d\sqrt{3})^2 + H^2$

$16d^2 = (4d^2 \cdot 3) + H^2$

$16d^2 = 12d^2 + H^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = 16d^2 - 12d^2$

$H^2 = 4d^2$

Так как высота должна быть положительной:

$H = \sqrt{4d^2}$

$H = 2d$

Ответ: $H = 2d$