Номер 291, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

291. a) Высота цилиндра 20 см, а радиус его основания 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной от нее на 1,4 см.

б) Радиус основания цилиндра 7 см. На расстоянии 3 см от оси цилиндра построено сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси. Площадь сечения равна $320 \text{ см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

а)

Дано:

Высота цилиндра $H = 20 \text{ см}$

Радиус основания цилиндра $R = 5 \text{ см}$

Расстояние от оси до плоскости сечения $d = 1.4 \text{ см}$

В СИ:

$H = 0.2 \text{ м}$

$R = 0.05 \text{ м}$

$d = 0.014 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$. Вторая сторона $w$ является длиной хорды в основании цилиндра, которая находится на расстоянии $d$ от центра. Радиус основания цилиндра равен $R$.

Используем теорему Пифагора для определения половины длины хорды ($w/2$) в треугольнике, образованном радиусом, расстоянием от центра до хорды и половиной хорды:

$R^2 = d^2 + (w/2)^2$

Выразим $(w/2)^2$:

$(w/2)^2 = R^2 - d^2$

Подставим числовые значения:

$(w/2)^2 = (5 \text{ см})^2 - (1.4 \text{ см})^2$

$(w/2)^2 = 25 \text{ см}^2 - 1.96 \text{ см}^2$

$(w/2)^2 = 23.04 \text{ см}^2$

Найдем $w/2$:

$w/2 = \sqrt{23.04 \text{ см}^2}$

$w/2 = 4.8 \text{ см}$

Найдем $w$:

$w = 2 \times 4.8 \text{ см}$

$w = 9.6 \text{ см}$

Площадь сечения $S_{сеч}$ вычисляется как произведение высоты цилиндра на ширину сечения:

$S_{сеч} = H \times w$

$S_{сеч} = 20 \text{ см} \times 9.6 \text{ см}$

$S_{сеч} = 192 \text{ см}^2$

Ответ: $192 \text{ см}^2$

б)

Дано:

Радиус основания цилиндра $R = 7 \text{ см}$

Расстояние от оси до плоскости сечения $d = 3 \text{ см}$

Площадь сечения $S_{сеч} = 320 \text{ см}^2$

В СИ:

$R = 0.07 \text{ м}$

$d = 0.03 \text{ м}$

$S_{сеч} = 0.032 \text{ м}^2$

Найти:

Высота цилиндра $H$

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Его площадь $S_{сеч}$ равна произведению высоты цилиндра $H$ на ширину сечения $w$.

$S_{сеч} = H \times w$

Ширина сечения $w$ является длиной хорды в основании цилиндра, которая находится на расстоянии $d$ от центра. Радиус основания цилиндра равен $R$.

Используем теорему Пифагора для определения половины длины хорды ($w/2$):

$R^2 = d^2 + (w/2)^2$

Выразим $(w/2)^2$:

$(w/2)^2 = R^2 - d^2$

Подставим числовые значения:

$(w/2)^2 = (7 \text{ см})^2 - (3 \text{ см})^2

$(w/2)^2 = 49 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2

$(w/2)^2 = 40 \text{ см}^2$

Найдем $w/2$:

$w/2 = \sqrt{40 \text{ см}^2}$

$w/2 = \sqrt{4 \times 10} \text{ см}$

$w/2 = 2\sqrt{10} \text{ см}$

Найдем $w$:

$w = 2 \times 2\sqrt{10} \text{ см}$

$w = 4\sqrt{10} \text{ см}$

Теперь, зная площадь сечения и его ширину, найдем высоту цилиндра $H$:

$H = S_{сеч} / w$

$H = 320 \text{ см}^2 / (4\sqrt{10} \text{ см})$

$H = (80 / \sqrt{10}) \text{ см}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$H = (80\sqrt{10}) / (\sqrt{10} \times \sqrt{10}) \text{ см}$

$H = (80\sqrt{10}) / 10 \text{ см}$

$H = 8\sqrt{10} \text{ см}$

Ответ: $8\sqrt{10} \text{ см}$