Номер 332, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

332. Площади осевого сечения конуса и сечения, проведенного через середину его высоты параллельно основанию, равны соответственно $48 \text{ см}^2$ и $9\pi \text{ см}^2$. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Дано

Площадь осевого сечения конуса $S_{осн} = 48 \text{ см}^2$.

Площадь сечения, проведенного через середину высоты параллельно основанию, $S_{сеч} = 9\pi \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{осн} = 48 \text{ см}^2 = 48 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 4.8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$.

$S_{сеч} = 9\pi \text{ см}^2 = 9\pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 9\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Угол $\alpha$ между образующей и плоскостью основания конуса.

Решение

Обозначим радиус основания конуса за $R$, а высоту конуса за $H$.

1. Площадь осевого сечения конуса:

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру основания конуса ($2R$), и высотой, равной высоте конуса ($H$).

Формула для площади осевого сечения $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$.

Из условия задачи $S_{осн} = 48 \text{ см}^2$, получаем первое уравнение:

$RH = 48$.

2. Площадь сечения, проведенного через середину высоты:

Сечение, проведенное параллельно основанию через середину высоты, является кругом. Пусть радиус этого сечения будет $r$.

Высота малого конуса, образованного этим сечением, равна $H/2$. Большой конус и малый конус являются подобными фигурами.

Из подобия треугольников (если рассмотреть осевое сечение) следует, что отношение радиусов равно отношению высот:

$\frac{r}{R} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$.

Отсюда радиус сечения $r = \frac{R}{2}$.

Формула для площади этого сечения $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \pi \frac{R^2}{4}$.

Из условия задачи $S_{сеч} = 9\pi \text{ см}^2$, получаем второе уравнение:

$\pi \frac{R^2}{4} = 9\pi$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{R^2}{4} = 9$.

Найдем $R^2$:

$R^2 = 36$.

Так как радиус должен быть положительным, $R = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

3. Нахождение высоты конуса:

Используем найденное значение $R$ в первом уравнении $RH = 48$:

$6H = 48$.

Вычислим $H$:

$H = \frac{48}{6} = 8 \text{ см}$.

4. Нахождение угла между образующей и плоскостью основания:

Угол $\alpha$ между образующей конуса и плоскостью основания является углом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$.

Тангенс этого угла определяется как отношение противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (радиусу $R$):

$\tan \alpha = \frac{H}{R}$.

Подставим найденные значения $H = 8 \text{ см}$ и $R = 6 \text{ см}$:

$\tan \alpha = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, угол $\alpha$ равен арктангенсу от $\frac{4}{3}$:

$\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

Ответ:

Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен $\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.