Номер 335, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

335. Одна из образующих конуса принадлежит плоскости, не имеющей с конусом общих внутренних точек. На каком наибольшем расстоянии от этой плоскости находятся точки конуса, если его образующая равна 2,5 дм, а радиус основания – 2 дм?

Дано:

Образующая конуса ($L$) = $2,5 \text{ дм}$

Радиус основания конуса ($R$) = $2 \text{ дм}$

Перевод в систему СИ:

$L = 2,5 \text{ дм} = 0,25 \text{ м}$

$R = 2 \text{ дм} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Наибольшее расстояние от этой плоскости до точек конуса ($d_{max}$)

Решение:

По условию, одна из образующих конуса принадлежит плоскости, не имеющей с конусом общих внутренних точек. Это означает, что данная плоскость является касательной к конусу вдоль этой образующей.

Наибольшее расстояние от касательной плоскости до точек конуса будет достигаться в точке, лежащей на окружности основания и диаметрально противоположной точке касания образующей с основанием.

1. Для начала найдем высоту конуса ($H$). Образующая, радиус основания и высота конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = R^2 + H^2$

Выразим высоту ($H$):

$H = \sqrt{L^2 - R^2}$

Подставим числовые значения:

$H = \sqrt{(0,25 \text{ м})^2 - (0,2 \text{ м})^2}$

$H = \sqrt{0,0625 \text{ м}^2 - 0,04 \text{ м}^2}$

$H = \sqrt{0,0225 \text{ м}^2}$

$H = 0,15 \text{ м}$

2. Наибольшее расстояние от касательной плоскости до точек конуса (в данном случае, до диаметрально противоположной точки на окружности основания) определяется по формуле:

$d_{max} = \frac{2RH}{L}$

Подставим значения $R$, $H$ и $L$:

$d_{max} = \frac{2 \cdot 0,2 \text{ м} \cdot 0,15 \text{ м}}{0,25 \text{ м}}$

$d_{max} = \frac{0,06 \text{ м}^2}{0,25 \text{ м}}$

$d_{max} = 0,24 \text{ м}$

Переведем полученное расстояние обратно в дециметры, так как исходные данные были в дециметрах:

$d_{max} = 0,24 \text{ м} = 2,4 \text{ дм}$

Ответ:

Наибольшее расстояние составляет $2,4 \text{ дм}$.