Номер 340, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

340.
а) Образующая конуса равна 1 м и наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите высоту равностороннего цилиндра, вписанного в конус.

б) Можно ли в равносторонний конус, образующая которого равна 1 м, вписать равносторонний цилиндр? Если можно, то найдите радиус основания такого цилиндра.

a)

Дано:

Образующая конуса $L = 1$ м

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$

Цилиндр равносторонний, то есть его высота $h_ц$ равна диаметру основания $2R_ц$, то есть $h_ц = 2R_ц$.

Вписанный цилиндр.

Перевод в СИ: Все данные уже в СИ.

Найти:

Высота равностороннего цилиндра $h_ц$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного цилиндра. Это будет равнобедренный треугольник, в который вписан прямоугольник. Высота конуса $H_к$ и радиус основания конуса $R_к$ могут быть выражены через образующую $L$ и угол $\alpha$:

$R_к = L \cos(\alpha)$

$H_к = L \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$R_к = 1 \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м

$H_к = 1 \cdot \sin(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м

Пусть $R_ц$ - радиус основания цилиндра, $h_ц$ - его высота. Поскольку цилиндр равносторонний, то $h_ц = 2R_ц$.

Из подобия треугольников (большой треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей, и маленький треугольник над цилиндром, образованный частью высоты конуса, радиусом верхней грани цилиндра и частью образующей) следует соотношение:

$\frac{R_ц}{H_к - h_ц} = \frac{R_к}{H_к}$

Подставим $R_ц = \frac{h_ц}{2}$ в уравнение:

$\frac{h_ц/2}{H_к - h_ц} = \frac{R_к}{H_к}$

$h_ц H_к = 2R_к (H_к - h_ц)$

$h_ц H_к = 2R_к H_к - 2R_к h_ц$

$h_ц H_к + 2R_к h_ц = 2R_к H_к$

$h_ц (H_к + 2R_к) = 2R_к H_к$

$h_ц = \frac{2R_к H_к}{H_к + 2R_к}$

Теперь подставим значения $R_к = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $H_к = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$h_ц = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$h_ц = \frac{2 \cdot \frac{2}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2}}$

$h_ц = \frac{1}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$

$h_ц = \frac{2}{3\sqrt{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h_ц = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$ м

б)

Дано:

Конус равносторонний, то есть его образующая равна диаметру основания $L_к = 2R_к$.

Образующая конуса $L_к = 1$ м.

Цилиндр равносторонний, то есть его высота $h_ц$ равна диаметру основания $2R_ц$, то есть $h_ц = 2R_ц$.

Вписанный цилиндр.

Перевод в СИ: Все данные уже в СИ.

Найти:

Можно ли вписать равносторонний цилиндр? Если да, то найти радиус основания такого цилиндра $R_ц$.

Решение:

Сначала определим размеры равностороннего конуса:

Радиус основания конуса $R_к = \frac{L_к}{2} = \frac{1}{2}$ м.

Высота конуса $H_к = \sqrt{L_к^2 - R_к^2}$ (по теореме Пифагора).

$H_к = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ м.

Пусть $R_ц$ - радиус основания вписанного равностороннего цилиндра, тогда его высота $h_ц = 2R_ц$.

Используем то же соотношение подобия треугольников из части а):

$\frac{R_ц}{H_к - h_ц} = \frac{R_к}{H_к}$

Подставим $h_ц = 2R_ц$:

$\frac{R_ц}{H_к - 2R_ц} = \frac{R_к}{H_к}$

$R_ц H_к = R_к (H_к - 2R_ц)$

$R_ц H_к = R_к H_к - 2R_к R_ц$

$R_ц H_к + 2R_к R_ц = R_к H_к$

$R_ц (H_к + 2R_к) = R_к H_к$

$R_ц = \frac{R_к H_к}{H_к + 2R_к}$

Теперь подставим значения $R_к = \frac{1}{2}$ и $H_к = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$R_ц = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}}$

$R_ц = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}$

$R_ц = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3} + 2}{2}}$

$R_ц = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3} + 2}$

$R_ц = \frac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{3} + 2)}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} - 2)$:

$R_ц = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 2)}{2(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)}$

$R_ц = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{2(3 - 4)}$

$R_ц = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{2(-1)}$

$R_ц = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ м

Теперь проверим, возможно ли вписать такой цилиндр. Это возможно, если его высота $h_ц$ меньше высоты конуса $H_к$.

$h_ц = 2R_ц = 2 \cdot \frac{2\sqrt{3} - 3}{2} = 2\sqrt{3} - 3$ м.

Сравним $h_ц$ и $H_к$:

$2\sqrt{3} - 3$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Преобразуем неравенство $2\sqrt{3} - 3 < \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} < 3$

$\frac{4\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} < 3$

$\frac{3\sqrt{3}}{2} < 3$

$3\sqrt{3} < 6$

$\sqrt{3} < 2$

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, а $2$, то $\sqrt{3} < 2$ является истинным утверждением. Следовательно, $h_ц < H_к$, и такой цилиндр можно вписать в конус.

Ответ: Да, можно вписать равносторонний цилиндр. Радиус его основания равен $\frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ м.