Страница 45, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

3. 1) Объясни, как в каждом столбике получено каждое следующее выражение из предыдущего.

2) Что можно сказать о значениях всех выражений в каждом столбике? Проверь свой ответ.

1)

В первом столбике:

- Второе выражение $7 + 3 + 8 + 2$ получено из первого $7 + 8 + 3 + 2$ путем перестановки слагаемых 8 и 3. Это сделано на основе переместительного свойства сложения, которое гласит, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$).

- Третье выражение $(7 + 3) + (8 + 2)$ получено из второго путем группировки слагаемых. Это сделано на основе сочетательного свойства сложения, которое позволяет группировать слагаемые в любом порядке ($(a + b) + c = a + (b + c)$). Слагаемые сгруппированы для удобства вычислений (чтобы получить круглые числа).

- Четвертое выражение $10 + 10$ получено путем вычисления сумм в скобках: $7 + 3 = 10$ и $8 + 2 = 10$.

Во втором столбике:

- Второе выражение $(3 + 4) + (2 + 1)$ получено из первого $3 + 4 + 2 + 1$ путем группировки слагаемых с помощью сочетательного свойства сложения.

- Третье выражение $7 + 3$ получено путем вычисления сумм в скобках: $3 + 4 = 7$ и $2 + 1 = 3$.

Ответ: В каждом столбике последующие выражения получаются из предыдущих путем применения свойств сложения (переместительного и сочетательного) для перегруппировки слагаемых и последующего выполнения арифметических действий в скобках.

2)

Можно сказать, что значения всех выражений в каждом отдельном столбике равны. Это происходит потому, что использованные преобразования (перестановка и группировка слагаемых) не изменяют итоговую сумму.

Проверка:
Первый столбик:
$7 + 8 + 3 + 2 = 15 + 3 + 2 = 20$
$7 + 3 + 8 + 2 = 10 + 8 + 2 = 20$
$(7 + 3) + (8 + 2) = 10 + 10 = 20$
$10 + 10 = 20$
Все значения в первом столбике равны 20.

Второй столбик:
$3 + 4 + 2 + 1 = 7 + 2 + 1 = 10$
$(3 + 4) + (2 + 1) = 7 + 3 = 10$
$7 + 3 = 10$
Все значения во втором столбике равны 10.

Ответ: Значения всех выражений в каждом столбике равны между собой.

4. Во время экскурсии дорога из школы в парк и обратно заняла 20 мин, а в самом парке дети пробыли 40 мин. Сколько всего времени ушло на эту экскурсию? Для проверки ответа составь и реши задачу, обратную данной.

Чтобы найти общее время, которое ушло на экскурсию, нужно сложить время, затраченное на дорогу, и время, которое дети провели в парке.

Время на дорогу (из школы в парк и обратно) — 20 минут.
Время в парке — 40 минут.

Складываем эти значения: $20 + 40 = 60$ минут.

Поскольку 60 минут составляют 1 час, можно сказать, что экскурсия длилась 1 час.

Ответ: 60 минут (или 1 час).

Обратная задача: Вся экскурсия в парк заняла 60 минут. Из этого времени 40 минут дети провели в самом парке. Сколько времени ушло на дорогу из школы в парк и обратно?

Решение: Чтобы найти, сколько времени заняла дорога, нужно из общего времени экскурсии вычесть время, которое дети провели в парке.

$60 - 40 = 20$ минут.

Проверка: Полученный результат (20 минут) совпадает с временем на дорогу, указанным в условии исходной задачи. Это подтверждает, что первоначальное решение верное.

Ответ: 20 минут.

5. Найди периметр четырёхугольника, две стороны которого имеют длину 30 мм каждая, а две другие стороны — 20 мм каждая. Вырази ответ в сантиметрах.

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. В данном случае у нас четырёхугольник. Чтобы найти его периметр, нужно сложить длины его четырёх сторон.

Согласно условию задачи, у четырёхугольника есть две стороны по 30 мм каждая и две другие стороны по 20 мм каждая.

1. Вычисление периметра в миллиметрах (мм).
Сложим длины всех сторон, чтобы найти периметр $P$:
$P = 30 \text{ мм} + 30 \text{ мм} + 20 \text{ мм} + 20 \text{ мм}$
Это можно вычислить, сгруппировав одинаковые слагаемые:
$P = (2 \times 30 \text{ мм}) + (2 \times 20 \text{ мм}) = 60 \text{ мм} + 40 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.

2. Перевод результата в сантиметры (см).
В задаче требуется выразить ответ в сантиметрах. Мы знаем, что в одном сантиметре содержится 10 миллиметров:
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
Чтобы перевести миллиметры в сантиметры, нужно разделить их количество на 10:
$100 \text{ мм} = 100 \div 10 = 10 \text{ см}$.

Ответ: 10 см.

6. Какой фигуры не хватает, чтобы составить такой кораблик? Начерти её в тетради.

Какой фигуры не хватает, чтобы составить такой кораблик?

Чтобы решить задачу, необходимо определить, из каких геометрических фигур состоит кораблик на картинке, и сравнить их с набором фигур, представленным ниже.

Кораблик собран из трёх отдельных частей:
1. Желтый парус. Это прямоугольный треугольник, катеты (короткие стороны у прямого угла) которого занимают 1 и 2 клетки.
2. Синяя часть корпуса. Это равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого занимают по 2 клетки.
3. Розовая часть корпуса. Это прямоугольная трапеция.

Теперь рассмотрим набор фигур, данных внизу. Он содержит четыре треугольника: один прямоугольный с катетами 1 и 2 клетки (он полностью совпадает с парусом) и три одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами по 2 клетки (один из них совпадает с синей частью корпуса).

Сравнивая фигуры, мы видим, что в предоставленном наборе отсутствует одна из составных частей кораблика — розовая прямоугольная трапеция. Именно этой фигуры не хватает, чтобы из предложенного набора составить кораблик, как на рисунке.

Вторая часть задания — "Начерти её в тетради". Недостающая фигура — это прямоугольная трапеция со следующими размерами по клеткам:
- Длина нижнего основания: 2 клетки.
- Длина верхнего основания: 1 клетка.
- Высота: 1 клетка.
Площадь такой трапеции можно вычислить по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. В нашем случае площадь равна $S = \frac{2+1}{2} \cdot 1 = 1.5$ квадратных клетки.

Ответ: Не хватает прямоугольной трапеции с основаниями в 2 и 1 клетку и высотой в 1 клетку.

6. Какие из этих часов показывают правильное время, если сейчас без 15 минут 8 часов? На сколько минут спешат или отстают остальные часы?

Сначала определим, какое время является правильным. Условие "без 15 минут 8 часов" означает, что до 8 часов утра или вечера осталось 15 минут. Чтобы найти это время, нужно из 8 часов вычесть 15 минут. В одном часе 60 минут, поэтому 8 часов можно представить как 7 часов и 60 минут.

Выполним вычисление: $7 \text{ часов } 60 \text{ минут} - 15 \text{ минут} = 7 \text{ часов } 45 \text{ минут}$. Итак, правильное время — 7:45.

Теперь посмотрим, какое время показывают каждые из часов на изображении:

• Часы 1: Часовая стрелка приближается к 8, а минутная указывает на 10. Каждое деление на циферблате соответствует 5 минутам, поэтому минутная стрелка показывает $10 \times 5 = 50$ минут. Время на этих часах — 7:50.
• Часы 2: Часовая стрелка приближается к 8, а минутная указывает на 9. Минутная стрелка показывает $9 \times 5 = 45$ минут. Время на этих часах — 7:45.
• Часы 3: Часовая стрелка находится после 7, а минутная указывает на 5. Минутная стрелка показывает $5 \times 5 = 25$ минут. Время на этих часах — 7:25.

Какие из этих часов показывают правильное время, если сейчас без 15 минут 8 часов?

Сравнив время на каждых часах с правильным временем (7:45), мы видим, что показания часов под номером 2 полностью совпадают с ним.

Ответ: Правильное время показывают часы под номером 2.

На сколько минут спешат или отстают остальные часы?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти разницу между показаниями часов 1 и 3 и правильным временем.

Часы 1 показывают 7:50, что больше правильного времени 7:45. Следовательно, они спешат. Разница составляет: $7 \text{ ч } 50 \text{ мин } - 7 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 5 \text{ минут}$.

Часы 3 показывают 7:25, что меньше правильного времени 7:45. Следовательно, они отстают. Разница составляет: $7 \text{ ч } 45 \text{ мин } - 7 \text{ ч } 25 \text{ мин } = 20 \text{ минут}$.

Ответ: Часы 1 спешат на 5 минут, а часы 3 отстают на 20 минут.

8. В семье трое детей: Женя, Валя и Саша; 2 мальчика и 1 девочка. Среди имён Женя и Валя есть имя одного мальчика. Среди имён Саша и Женя тоже есть имя одного мальчика. Как зовут девочку?

Для решения этой логической задачи необходимо последовательно проанализировать все данные условия.

Дано:

• Трое детей: Женя, Валя, Саша.
• Состав по полу: 2 мальчика и 1 девочка.
• Условие 1: Среди Жени и Вали есть ровно один мальчик.
• Условие 2: Среди Саши и Жени есть ровно один мальчик.

Решение:

Центральной фигурой в обоих условиях является Женя. Поэтому начнем рассуждение с определения пола Жени. Существует два варианта: Женя — мальчик или Женя — девочка. Проверим оба варианта.

1. Предположим, что Женя — мальчик.

• Из первого условия (среди Жени и Вали один мальчик) следует, что если Женя — мальчик, то Валя должна быть девочкой.
• Из второго условия (среди Саши и Жени один мальчик) следует, что если Женя — мальчик, то Саша тоже должен быть девочкой.
• В результате такого предположения мы получаем следующий состав детей: Женя (мальчик), Валя (девочка), Саша (девочка).
• Это означает, что в семье 1 мальчик и 2 девочки. Однако, по условию задачи, в семье 2 мальчика и 1 девочка. Следовательно, наше предположение неверно.

2. Предположим, что Женя — девочка.

• Из первого условия (среди Жени и Вали один мальчик) следует, что если Женя — девочка, то Валя должен быть мальчиком.
• Из второго условия (среди Саши и Жени один мальчик) следует, что если Женя — девочка, то Саша тоже должен быть мальчиком.
• В результате этого предположения мы получаем состав: Женя (девочка), Валя (мальчик), Саша (мальчик).
• Это означает, что в семье 2 мальчика и 1 девочка, что полностью соответствует условию задачи.

Таким образом, мы нашли единственно верное распределение.

Ответ: Девочку зовут Женя.

1. 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 * 4

1. Исходное равенство $9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 \cdot 4$ является неверным. Чтобы убедиться в этом, необходимо вычислить значения левой и правой частей выражения и сравнить их.

Вычислим значение левой части. Она представляет собой сумму пяти одинаковых слагаемых, равных 9. Сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением. В данном случае число 9 складывается 5 раз: $9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 \cdot 5 = 45$.

Теперь вычислим значение правой части равенства. Она представляет собой произведение чисел 9 и 4: $9 \cdot 4 = 36$.

Сравним полученные результаты: левая часть равна 45, а правая – 36. Поскольку $45 \neq 36$, исходное равенство неверно.

Ошибка в примере заключается в том, что сумму пяти девяток приравняли к произведению девяти и четырех. Чтобы исправить ошибку, нужно привести правую часть в соответствие с левой. Так как в левой части число 9 повторяется 5 раз, правильным будет произведение $9 \cdot 5$.

Ответ: $9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 \cdot 5$.

2. Если в окошко записать число 7, то равенство 8 · 6 + 8 = 8 · ▢ станет верным.

Для проверки данного утверждения необходимо подставить число 7 в окошко ($\square$) в выражении $8 \cdot 6 + 8 = 8 \cdot \square$ и убедиться, что равенство выполняется.

Запишем равенство с подставленным числом:

$8 \cdot 6 + 8 = 8 \cdot 7$

Теперь вычислим значение левой и правой частей по отдельности.

1. Вычисляем значение левой части равенства, соблюдая порядок действий (сначала умножение, затем сложение):

$8 \cdot 6 + 8 = 48 + 8 = 56$

2. Вычисляем значение правой части равенства:

$8 \cdot 7 = 56$

3. Сравниваем полученные результаты:

$56 = 56$

Так как левая часть равна правой, равенство является верным. Следовательно, исходное утверждение истинно.

Это также можно доказать, используя распределительное свойство умножения относительно сложения ($a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$). Преобразуем левую часть:

$8 \cdot 6 + 8 = 8 \cdot 6 + 8 \cdot 1 = 8 \cdot (6 + 1) = 8 \cdot 7$

Таким образом, мы видим, что выражение $8 \cdot 6 + 8$ тождественно равно выражению $8 \cdot 7$, что и доказывает верность утверждения.

Ответ: Утверждение верно.

3. 3 · 4 < 3 + 3 + 3

3. Для того чтобы определить, верно ли данное неравенство, нужно сравнить значения выражений в его левой и правой частях.

Рассмотрим левую часть неравенства: $3 \cdot 4$.

Умножение - это операция, заменяющая многократное сложение одинаковых слагаемых. Таким образом, выражение $3 \cdot 4$ означает, что число 3 нужно сложить само с собой 4 раза:

$3 \cdot 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$

Теперь рассмотрим правую часть неравенства: $3 + 3 + 3$.

Это сумма трёх слагаемых, равных 3. Выполним сложение:

$3 + 3 + 3 = 9$

Теперь подставим вычисленные значения обратно в исходное неравенство:

$12 < 9$

Полученное утверждение является ложным, поскольку число 12 на самом деле больше числа 9 ($12 > 9$).

Следовательно, исходное неравенство неверно.

Ответ: Неравенство $3 \cdot 4 < 3 + 3 + 3$ является неверным (ложным), так как $12 > 9$.

4. Задача «В одной коробке 6 карандашей. Сколько карандашей в 3 таких коробках?» решается с помощью умножения.

Чтобы решить данную задачу, необходимо найти общее количество предметов (карандашей), зная их количество в одной группе (коробке) и общее число таких групп (коробок).

Нам известно, что в одной коробке находится 6 карандашей. Поскольку таких коробок 3, и в каждой из них одинаковое количество карандашей, мы можем найти общее количество, умножив число карандашей в одной коробке на число коробок. Эта операция является сокращенной записью сложения одинаковых слагаемых ($6 + 6 + 6$).

Запишем математическое выражение и найдем его значение:

$6 \times 3 = 18$

Таким образом, в трёх коробках всего находится 18 карандашей.

Ответ: 18 карандашей.

5. 18 · 3 > 18 · 2

5. Чтобы проверить верность неравенства $18 \cdot 3 > 18 \cdot 2$, необходимо сравнить значения выражений, находящихся в левой и правой частях.

Сначала вычислим значение выражения в левой части:
$18 \cdot 3 = 54$

Затем вычислим значение выражения в правой части:
$18 \cdot 2 = 36$

Теперь сравним полученные результаты: $54 > 36$.
Поскольку число $54$ действительно больше, чем число $36$, исходное неравенство является верным.

Также можно было прийти к этому выводу, не выполняя полных вычислений. Оба произведения ($18 \cdot 3$ и $18 \cdot 2$) имеют общий множитель $18$. Так как второй множитель в левой части ($3$) больше второго множителя в правой части ($2$), а общий множитель $18$ является положительным числом, то и значение выражения слева будет больше значения выражения справа.

Ответ: Неравенство верно, так как $54 > 36$.

6. 6 · 9 = 60

В представленном задании дано математическое равенство $6 \cdot 9 = 60$. Необходимо проверить, является ли это равенство верным.

Для проверки выполним операцию умножения в левой части равенства. Согласно таблице умножения, произведение чисел 6 и 9 равно:

$6 \cdot 9 = 54$

Теперь сравним полученный результат, то есть 54, с числом в правой части исходного равенства, то есть с 60.

$54 \neq 60$

Поскольку результат умножения (54) не совпадает с числом в правой части равенства (60), можно заключить, что исходное утверждение является ложным.

Ответ: Равенство $6 \cdot 9 = 60$ является неверным, так как правильный результат умножения $6 \cdot 9 = 54$.

7. Если в окошко записать число 7, то неравенство 5 + 5 · 4 + 5 < 5 · станет верным.

Для проверки верности утверждения необходимо подставить число 7 в "окошко" (?) в данном неравенстве и выполнить вычисления с соблюдением порядка действий.

Исходное неравенство: $5 + 5 \cdot 4 + 5 < 5 \cdot \Box$

1. Подставим число 7 в окошко:

$5 + 5 \cdot 4 + 5 < 5 \cdot 7$

2. Теперь вычислим значение левой части неравенства. Согласно порядку выполнения арифметических операций, сначала выполняется умножение, а затем — сложение.

Выполняем умножение: $5 \cdot 4 = 20$.

Теперь левая часть выглядит так: $5 + 20 + 5$.

Выполняем сложение: $5 + 20 = 25$, и затем $25 + 5 = 30$.

Таким образом, значение левой части неравенства равно 30.

3. Вычислим значение правой части неравенства:

$5 \cdot 7 = 35$

Значение правой части неравенства равно 35.

4. Сравним левую и правую части. Получаем неравенство:

$30 < 35$

Это неравенство является верным, так как число 30 действительно меньше, чем 35. Следовательно, исходное утверждение истинно.

Ответ: утверждение верное.

8. 8 · 4 = 4 · 8

Данное равенство $8 \cdot 4 = 4 \cdot 8$ является примером переместительного (коммутативного) свойства умножения.

Это свойство гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. В общем виде это свойство записывается формулой: $a \cdot b = b \cdot a$, где a и b – любые числа.

Чтобы убедиться в верности равенства, вычислим значение его левой и правой частей:

1. Вычисление левой части:
$8 \cdot 4 = 32$

2. Вычисление правой части:
$4 \cdot 8 = 32$

Так как обе части равенства равны одному и тому же числу, мы получаем верное тождество: $32 = 32$. Это доказывает, что исходное равенство $8 \cdot 4 = 4 \cdot 8$ является истинным.

Ответ: Равенство $8 \cdot 4 = 4 \cdot 8$ верно, так как оно иллюстрирует переместительное свойство умножения. Результат произведения в обеих частях равенства равен 32.

9. Задача «Ластик стоит 3 р. Сколько таких ластиков можно купить на 6 р.?» решается с помощью умножения.

Данное утверждение является неверным. Разберем, почему эта задача решается не умножением, а другим действием.

В условии задачи нам даны:

• Общая сумма денег — 6 рублей.
• Цена одного ластика — 3 рубля.

Вопрос задачи: «Сколько таких ластиков можно купить?». Это классическая задача на деление по содержанию. Чтобы найти, сколько раз цена одного предмета (3 рубля) содержится в общей сумме (6 рублей), необходимо выполнить действие деления.

Правильное решение задачи:

Чтобы найти количество ластиков, нужно общую сумму денег разделить на цену одного ластика:

$6 \div 3 = 2$ (ластика).

Почему умножение не является действием для решения?

Умножение используется, когда нужно найти общую стоимость, зная цену и количество. Например, если бы задача звучала так: «Купили 2 ластика по цене 3 рубля за каждый. Какова общая стоимость покупки?», то она решалась бы умножением: $3 \cdot 2 = 6$ рублей.

В нашей же задаче известны произведение (общая стоимость, 6 р.) и один из множителей (цена, 3 р.), а найти нужно другой множитель (количество). Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Если обозначить искомое количество ластиков за $x$, то можно составить уравнение:

$3 \cdot x = 6$

Для решения этого уравнения и нахождения $x$ необходимо выполнить деление:

$x = 6 \div 3$

$x = 2$

Таким образом, хотя умножение и связывает величины в задаче, само действие, которое приводит к ответу, — это деление.

Ответ: Утверждение неверно. Задача «Ластик стоит 3 р. Сколько таких ластиков можно купить на 6 р.?» решается с помощью деления.

10. Произведение чисел 8 и 2 на 8 меньше, чем произведение чисел 8 и 3.

Чтобы проверить истинность утверждения, необходимо выполнить вычисления и сравнить результаты.

1. Сначала найдем "произведение чисел 8 и 2". Это результат умножения 8 на 2:

$8 \times 2 = 16$

2. Затем найдем "произведение чисел 8 и 3":

$8 \times 3 = 24$

3. Теперь нужно проверить, является ли первое произведение (16) на 8 меньше, чем второе (24). Для этого найдем разницу между вторым и первым произведением:

$24 - 16 = 8$

Разница действительно равна 8. Это подтверждает, что произведение чисел 8 и 2 на 8 меньше, чем произведение чисел 8 и 3.

Также можно было применить распределительный закон умножения относительно вычитания, чтобы сразу найти разницу между произведениями:

$(8 \times 3) - (8 \times 2) = 8 \times (3-2) = 8 \times 1 = 8$

Этот способ также показывает, что разница равна 8. Следовательно, исходное утверждение верно.

Ответ: Утверждение верно.

11. Если в окошко записать число 3, то равенство 9 · ▢ = 3 · 8 станет верным.

Для проверки данного утверждения необходимо подставить число 3 в "окошко" в равенстве $9 \cdot \Box = 3 \cdot 8$ и проверить, получится ли в результате верное числовое равенство.

1. Выполним подстановку числа 3 в левую часть равенства:

$9 \cdot 3 = 27$

2. Теперь вычислим значение правой части равенства:

$3 \cdot 8 = 24$

3. Сравним полученные результаты левой и правой частей:

$27 = 24$

Данное равенство является ложным, поскольку число 27 не равно числу 24. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Чтобы определить, какое число на самом деле сделало бы равенство верным, решим соответствующее уравнение. Обозначим неизвестное число в окошке за $x$:

$9 \cdot x = 3 \cdot 8$

$9 \cdot x = 24$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9:

$x = \frac{24}{9}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

Таким образом, равенство станет верным, если в окошко записать число $\frac{8}{3}$ (или $2\frac{2}{3}$), а не 3.

Ответ: утверждение неверно.