Номер 7, страница 83, часть 2 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

7 Сравни выражения с помощью знаков $>, <, =:$

$14 \cdot 2$ $14 + 14 + 14$ $m \cdot n$ $n \cdot m$ $12 : c$ $18 : c$

$56 \cdot 3$ $56 \cdot 8$ $a \cdot 2$ $a : 2$ $d : 4$ $d : 5$

$25 \cdot 4$ $4 \cdot 20$ $b \cdot 7$ $8 \cdot b$ $y \cdot 1$ $y : 1$

14 · 2 [ ] 14 + 14 + 14
Чтобы сравнить эти два выражения, вычислим значение каждого из них.
Левое выражение: $14 \cdot 2$. По определению умножения, это то же самое, что $14 + 14$.
$14 \cdot 2 = 28$.
Правое выражение: $14 + 14 + 14$. Это сумма трех одинаковых слагаемых, что можно записать как $14 \cdot 3$.
$14 + 14 + 14 = 28 + 14 = 42$.
Теперь сравним полученные результаты: $28$ и $42$.
$28 < 42$.
Следовательно, выражение слева меньше выражения справа.
Ответ: $14 \cdot 2 < 14 + 14 + 14$

56 · 3 [ ] 56 · 8
В обоих выражениях первый множитель одинаковый и равен $56$. Мы сравниваем произведения, где один и тот же множитель умножается на разные числа.
Поскольку мы умножаем положительное число ($56$) на положительные множители ($3$ и $8$), результат будет больше там, где больше второй множитель.
Сравниваем вторые множители: $3 < 8$.
Это означает, что произведение $56 \cdot 3$ будет меньше, чем произведение $56 \cdot 8$.
Ответ: $56 \cdot 3 < 56 \cdot 8$

25 · 4 [ ] 4 · 20
Вычислим значения обоих выражений.
Левое выражение: $25 \cdot 4 = 100$.
Правое выражение: $4 \cdot 20 = 80$.
Сравниваем полученные результаты: $100$ и $80$.
$100 > 80$.
Таким образом, левое выражение больше правого.
Ответ: $25 \cdot 4 > 4 \cdot 20$

m · n [ ] n · m
Это сравнение демонстрирует переместительное (коммутативное) свойство умножения.
Согласно этому свойству, от перестановки мест множителей произведение не меняется.
Для любых чисел $m$ и $n$ всегда будет верно, что $m \cdot n = n \cdot m$.
Ответ: $m \cdot n = n \cdot m$

a · 2 [ ] a : 2
Предположим, что $a$ — это положительное число (что обычно подразумевается в таких задачах).
Умножение положительного числа $a$ на $2$ удваивает его, то есть делает его в два раза больше.
Деление положительного числа $a$ на $2$ уменьшает его в два раза.
Для любого положительного числа $a$, удвоенное число ($a \cdot 2$) всегда больше, чем его половина ($a : 2$). Например, если $a = 10$, то $10 \cdot 2 = 20$, а $10 : 2 = 5$, и $20 > 5$.
(Примечание: если $a=0$, выражения равны. Если $a$ — отрицательное число, знак будет <.)
Ответ: $a \cdot 2 > a : 2$

b · 7 [ ] 8 · b
Используя переместительное свойство умножения, мы можем переписать правое выражение как $b \cdot 8$.
Теперь нам нужно сравнить $b \cdot 7$ и $b \cdot 8$.
Предположим, что $b$ — положительное число. При умножении на $b$ большее число ($8$) даст больший результат.
Так как $7 < 8$, то и $b \cdot 7$ будет меньше, чем $b \cdot 8$ (при $b > 0$).
Ответ: $b \cdot 7 < 8 \cdot b$

12 : c [ ] 18 : c
В этих выражениях мы делим разные числа ($12$ и $18$) на один и тот же делитель $c$.
Предположим, что делитель $c$ — положительное число.
При делении на одно и то же положительное число частное будет больше там, где больше делимое.
Сравниваем делимые: $12 < 18$.
Следовательно, результат деления $12$ на $c$ будет меньше результата деления $18$ на $c$.
Ответ: $12 : c < 18 : c$

d : 4 [ ] d : 5
Здесь мы делим одно и то же число $d$ на разные делители ($4$ и $5$).
Предположим, что делимое $d$ — положительное число.
При делении одного и того же положительного числа частное будет больше там, где меньше делитель.
Сравниваем делители: $4 < 5$.
Поскольку мы делим на меньшее число слева, результат слева будет больше. Например, если $d=20$, то $20:4 = 5$, а $20:5=4$, и $5 > 4$.
Ответ: $d : 4 > d : 5$

y · 1 [ ] y : 1
Рассмотрим каждое выражение по отдельности.
Левое выражение: $y \cdot 1$. По свойству умножения на единицу, любое число, умноженное на 1, равно самому себе. То есть, $y \cdot 1 = y$.
Правое выражение: $y : 1$. По свойству деления на единицу, любое число, разделенное на 1, равно самому себе. То есть, $y : 1 = y$.
Так как оба выражения равны $y$, они равны между собой.
Ответ: $y \cdot 1 = y : 1$