Номер 7, страница 84, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

Часть 2. Числа от 1 до 1000. Умножение и деление. Приёмы устных вычислений стр. 84 - номер 7, страница 84.

Условие.

7. Стороны шестиугольника ABCDEK равны. Найди и выпиши названия шести разносторонних треугольников и четырёх равнобедренных. Есть ли среди равнобедренных треугольников равносторонние?

Решение.

Решение.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо предположить, что шестиугольник $ABCDEK$ является правильным, так как в условии дано только равенство его сторон. В правильном шестиугольнике все стороны равны и все внутренние углы равны $120^\circ$. Только при этом условии задача имеет однозначное решение. Пусть длина стороны шестиугольника равна $a$.

В правильном шестиугольнике можно выделить три типа отрезков, соединяющих его вершины:

1. Стороны шестиугольника (например, $AB, BC, ...$), длина которых равна $a$.
2. Короткие диагонали, соединяющие вершины через одну (например, $AC, BD, ...$). Их длину можно найти по теореме косинусов. Для треугольника $\triangle ABC$ со сторонами $AB=BC=a$ и углом $\angle ABC = 120^\circ$, длина диагонали $AC$ вычисляется так: $AC^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3a^2$. Таким образом, длина короткой диагонали равна $a\sqrt{3}$. Все короткие диагонали ($AC, BD, CE, DK, EA, KB$) равны между собой.
3. Длинные диагонали, соединяющие противоположные вершины (например, $AD, BE, CK$). Длина длинной диагонали в правильном шестиугольнике равна диаметру описанной окружности, что составляет $2a$. Все длинные диагонали равны между собой.

Таким образом, все треугольники, образованные вершинами шестиугольника, будут иметь стороны с длинами из набора {$a, a\sqrt{3}, 2a$}. Это позволяет нам классифицировать их.

шести разносторонних треугольников

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. В нашем случае это будут треугольники со сторонами, равными $a$, $a\sqrt{3}$ и $2a$. Такие треугольники состоят из одной стороны шестиугольника, одной короткой диагонали и одной длинной диагонали. Например, для треугольника $\triangle ABD$ стороны равны $AB=a$, $BD=a\sqrt{3}$ и $AD=2a$. Вот шесть примеров таких треугольников: $\triangle ABD, \triangle ABE, \triangle ACD, \triangle ACK, \triangle BCE, \triangle BCK$.

Ответ: $\triangle ABD, \triangle ABE, \triangle ACD, \triangle ACK, \triangle BCE, \triangle BCK$.

четырёх равнобедренных

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. В правильном шестиугольнике можно найти треугольники, образованные двумя смежными сторонами и короткой диагональю. Их стороны равны $a, a, a\sqrt{3}$. Они являются равнобедренными, но не равносторонними. Примерами таких треугольников служат: $\triangle ABC$ (стороны $AB=BC=a$), $\triangle BCD$ (стороны $BC=CD=a$), $\triangle CDE$ (стороны $CD=DE=a$), $\triangle DEK$ (стороны $DE=EK=a$).

Ответ: $\triangle ABC, \triangle BCD, \triangle CDE, \triangle DEK$.

Есть ли среди равнобедренных треугольников равносторонние?

Да, есть. Равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного, у которого равны все три стороны. В правильном шестиугольнике можно образовать два равносторонних треугольника, соединив вершины через одну. Сторонами таких треугольников будут три короткие диагонали, каждая длиной $a\sqrt{3}$. Этими треугольниками являются $\triangle ACE$ (со сторонами $AC=CE=EA=a\sqrt{3}$) и $\triangle BDK$ (со сторонами $BD=DK=KB=a\sqrt{3}$). Так как у них равны все три стороны, они равносторонние, а следовательно, и равнобедренные.

Ответ: Да, среди равнобедренных треугольников есть и равносторонние, например, $\triangle ACE$ и $\triangle BDK$.