Страница 84, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. У Лены были такие монеты:

Сколько всего рублей было у Лены?

Составь выражение по задаче и реши задачу.

Составь выражение по задаче
Чтобы найти, сколько всего рублей было у Лены, нужно сложить общую стоимость всех монет. У Лены было 3 монеты номиналом 5 рублей и 4 монеты номиналом 2 рубля. Стоимость всех пятирублевых монет можно найти умножением их количества на номинал: $3 \cdot 5$. Стоимость всех двухрублевых монет находится аналогично: $4 \cdot 2$. Чтобы найти итоговую сумму, нужно сложить эти два значения.
Ответ: Выражение для решения задачи: $3 \cdot 5 + 4 \cdot 2$.

Реши задачу
Теперь решим составленное выражение, соблюдая правильный порядок действий: сначала выполняются действия умножения, а затем — сложения.
1. Найдем общую стоимость пятирублевых монет:
$3 \cdot 5 = 15$ рублей.
2. Найдем общую стоимость двухрублевых монет:
$4 \cdot 2 = 8$ рублей.
3. Сложим полученные суммы, чтобы найти общее количество денег у Лены:
$15 + 8 = 23$ рубля.
Ответ: Всего у Лены было 23 рубля.

2. В детский сад привезли 4 коробки конфет, по 9 кг в каждой, и 3 коробки печенья, по 8 кг в каждой. Сколько всего килограммов конфет и печенья привезли в детский сад?

Рассмотри краткую запись задачи, составь по ней выражение для решения этой задачи. Дай ответ на вопрос задачи.

Для решения этой задачи необходимо выполнить действия по порядку, основываясь на краткой записи.

1. Найдем общую массу конфет.
Согласно условию, привезли 4 коробки конфет, по 9 кг в каждой. Чтобы узнать общую массу конфет, нужно умножить количество коробок на массу одной коробки:
$4 \times 9 = 36$ (кг)

2. Найдем общую массу печенья.
Также привезли 3 коробки печенья, по 8 кг в каждой. Найдем их общую массу таким же способом:
$3 \times 8 = 24$ (кг)

3. Составим выражение и найдем общую массу.
Чтобы найти, сколько всего килограммов конфет и печенья привезли, нужно сложить массу всех конфет и массу всего печенья. Выражение для решения задачи будет таким:
$4 \times 9 + 3 \times 8$
Теперь вычислим его значение:
$36 + 24 = 60$ (кг)

Ответ: всего в детский сад привезли 60 килограммов конфет и печенья.

3. Для уроков технологии купили 6 наборов красной бумаги, по 9 листов в каждом, и 5 наборов зелёной бумаги, по 7 листов в каждом.

1) Объясни, что означают выражения:

2) На какой вопрос задачи отвечает выражение 9 • 6 - 7 • 5?

1) Объясни, что означают выражения:

Для решения этой задачи сначала определим, что известно из условия:

• Купили 6 наборов красной бумаги, в каждом наборе по 9 листов.
• Купили 5 наборов зелёной бумаги, в каждом наборе по 7 листов.

Рассмотрим каждое выражение:

Выражение $9 \cdot 6$
Здесь 9 – это количество листов красной бумаги в одном наборе, а 6 – это количество таких наборов. Умножая количество листов в одном наборе на количество наборов, мы находим общее количество листов красной бумаги.
$9 \cdot 6 = 54$ (листа) – всего красной бумаги.

Выражение $7 \cdot 5$
Здесь 7 – это количество листов зелёной бумаги в одном наборе, а 5 – это количество таких наборов. Умножая количество листов в одном наборе на количество наборов, мы находим общее количество листов зелёной бумаги.
$7 \cdot 5 = 35$ (листов) – всего зелёной бумаги.

Выражение $9 \cdot 6 + 7 \cdot 5$
Это выражение является суммой двух предыдущих. $9 \cdot 6$ – это общее количество красных листов, а $7 \cdot 5$ – общее количество зелёных листов. Складывая их, мы находим общее количество листов бумаги обоих цветов, купленных для уроков технологии.
$9 \cdot 6 + 7 \cdot 5 = 54 + 35 = 89$ (листов) – всего бумаги.

Ответ: Выражение $9 \cdot 6$ означает общее количество листов красной бумаги. Выражение $7 \cdot 5$ означает общее количество листов зелёной бумаги. Выражение $9 \cdot 6 + 7 \cdot 5$ означает общее количество листов бумаги обоих цветов.

2) На какой вопрос задачи отвечает выражение $9 \cdot 6 – 7 \cdot 5$?

Выражение $9 \cdot 6 – 7 \cdot 5$ представляет собой разность. Мы уже знаем, что $9 \cdot 6$ – это общее количество листов красной бумаги, а $7 \cdot 5$ – это общее количество листов зелёной бумаги. В математике вычитание используется для сравнения двух величин, чтобы узнать, на сколько одна больше другой.

В данном случае мы из большего количества листов (красных) вычитаем меньшее количество (зелёных).
$9 \cdot 6 - 7 \cdot 5 = 54 - 35 = 19$ (листов).
Результат показывает, на сколько листов красной бумаги больше, чем листов зелёной бумаги.

Ответ: Выражение $9 \cdot 6 – 7 \cdot 5$ отвечает на вопрос: «На сколько листов красной бумаги купили больше, чем зелёной?».

4. Во сколько раз 35 больше, чем 7?

Во сколько раз 8 меньше, чем 48?

На сколько 54 больше, чем 6?

Во сколько раз 35 больше, чем 7?

Чтобы определить, во сколько раз одно число больше другого, необходимо большее число разделить на меньшее. В данном случае нужно разделить 35 на 7.

Выполним деление:

$35 \div 7 = 5$

Таким образом, число 35 больше числа 7 в 5 раз.

Ответ: в 5 раз.

Во сколько раз 8 меньше, чем 48?

Чтобы узнать, во сколько раз одно число меньше другого, также используется деление: большее число делится на меньшее. Разделим 48 на 8.

Выполним деление:

$48 \div 8 = 6$

Следовательно, число 8 меньше числа 48 в 6 раз.

Ответ: в 6 раз.

На сколько 54 больше, чем 6?

Вопрос "на сколько" означает, что нужно найти разницу между числами. Для этого необходимо из большего числа вычесть меньшее. В данном случае нужно из 54 вычесть 6.

Выполним вычитание:

$54 - 6 = 48$

Значит, число 54 больше числа 6 на 48.

Ответ: на 48.

1 ? 17 0 17 ? 1

Для того чтобы сравнить эти два выражения, необходимо вычислить их значения.

Вычислим значение левой части: $1 \cdot 17 = 17$.

Вычислим значение правой части: $17 \cdot 1 = 17$.

В данном случае применяется переместительное свойство умножения, которое гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$).

Сравниваем полученные результаты: $17 = 17$. Следовательно, между выражениями следует поставить знак "равно".

Ответ: $1 \cdot 17 = 17 \cdot 1$

33 ? 0 0 0 ? 33

Сравним значения левой и правой частей.

В левой части мы умножаем число 33 на 0. Согласно свойству умножения на ноль, любое число, умноженное на ноль, дает в результате ноль. Таким образом, $33 \cdot 0 = 0$.

В правой части мы умножаем 0 на 33. Результат также будет равен нулю: $0 \cdot 33 = 0$.

Сравниваем результаты: $0 = 0$. Выражения равны.

Ответ: $33 \cdot 0 = 0 \cdot 33$

68 ? 1 0 68 ? 0

Чтобы поставить правильный знак, найдем значения выражений слева и справа.

Вычислим левую часть: $68 \cdot 1$. При умножении любого числа на единицу получается то же самое число. Значит, $68 \cdot 1 = 68$.

Вычислим правую часть: $68 \cdot 0$. При умножении любого числа на ноль в результате получается ноль. Значит, $68 \cdot 0 = 0$.

Теперь сравним полученные значения: $68$ и $0$. Число $68$ больше, чем $0$.

Ответ: $68 \cdot 1 > 68 \cdot 0$

0 ? (32 ? 8) 0 (32 ? 8) ? 0

Сравним два выражения, содержащие скобки.

Сначала выполним действие в скобках: $32 - 8 = 24$.

Теперь подставим полученное значение в оба выражения.

Левая часть: $0 \cdot 24 = 0$.

Правая часть: $24 \cdot 0 = 0$.

Как и в первом примере, здесь действует переместительное свойство умножения. Множители (0 и результат вычисления в скобках) просто поменялись местами.

Сравниваем результаты: $0 = 0$. Следовательно, выражения равны.

Ответ: $0 \cdot (32 - 8) = (32 - 8) \cdot 0$

6. Какие равенства и неравенства станут верными, если в окошки записать число 8?

Чтобы определить, какие равенства и неравенства станут верными, подставим число 8 в каждое окошко и проверим истинность полученных утверждений.

$56 : \Box > 7$

Подставим число 8 вместо окошка: $56 : 8 > 7$.

Вычислим значение выражения в левой части: $56 : 8 = 7$.

Теперь сравним левую и правую части: $7 > 7$.

Данное неравенство является неверным, поскольку число 7 равно самому себе, а не строго больше.

Ответ: неверно.

$\Box \cdot 4 > 20$

Подставим число 8 вместо окошка: $8 \cdot 4 > 20$.

Вычислим значение выражения в левой части: $8 \cdot 4 = 32$.

Теперь сравним левую и правую части: $32 > 20$.

Данное неравенство является верным, так как 32 действительно больше, чем 20.

Ответ: верно.

$72 = \Box \cdot 9$

Подставим число 8 вместо окошка: $72 = 8 \cdot 9$.

Вычислим значение выражения в правой части: $8 \cdot 9 = 72$.

Теперь сравним левую и правую части: $72 = 72$.

Данное равенство является верным.

Ответ: верно.

$\Box : 4 < 4$

Подставим число 8 вместо окошка: $8 : 4 < 4$.

Вычислим значение выражения в левой части: $8 : 4 = 2$.

Теперь сравним левую и правую части: $2 < 4$.

Данное неравенство является верным, так как 2 действительно меньше, чем 4.

Ответ: верно.

Таким образом, при подстановке числа 8 верными становятся равенство $72 = 8 \cdot 9$ и неравенства $8 \cdot 4 > 20$ и $8 : 4 < 4$.

НАЙДИ 2 ОДИНАКОВЫХ РИСУНКА:

Чтобы найти два одинаковых рисунка, необходимо последовательно сравнить каждую карточку с остальными, обращая внимание на форму, цвет и расположение фигур в каждой ячейке.

Начнем с анализа рисунка 1 и будем сравнивать его с остальными.

• В рисунке 1 фигуры расположены так:
  • Верхний ряд: красный треугольник, синий круг, красный треугольник.
  • Нижний ряд: синий круг, красный треугольник, синий круг.
• Сравним с рисунком 2. Рисунки отличаются. Например, в левой верхней ячейке у рисунка 1 находится красный треугольник, а у рисунка 2 — красный круг.
• Сравним с рисунком 3. Рисунки также отличаются. В них разные как формы, так и цвета фигур в одних и тех же позициях.
• Сравним с рисунком 4. Расположение, форма и цвет всех фигур полностью совпадают с рисунком 1.
  • Верхний ряд: красный треугольник, синий круг, красный треугольник.
  • Нижний ряд: синий круг, красный треугольник, синий круг.
  Следовательно, рисунки 1 и 4 одинаковые.
• Сравним с рисунком 5. Рисунки отличаются. Например, в левой верхней ячейке у рисунка 1 — красный треугольник, а у рисунка 5 — синий треугольник.

Таким образом, в результате сравнения мы установили, что одинаковыми являются рисунки под номерами 1 и 4.

Ответ: 1 и 4.

1. Вычисли с устным объяснением.

100 : 50

Чтобы разделить 100 на 50, нужно найти, сколько раз число 50 помещается в числе 100. Можно рассуждать так: $50 + 50 = 100$. Число 50 мы взяли 2 раза. Следовательно, $100 : 50 = 2$.
Другой способ — это упрощение. Если и в делимом, и в делителе есть нули на конце, их можно убрать (поровну в каждом числе). Убираем по одному нулю: у 100 забираем один ноль, получаем 10; у 50 забираем один ноль, получаем 5. Теперь задача выглядит как $10 : 5$, что равно 2.

Ответ: 2

800 : 400

Чтобы разделить 800 на 400, можно представить эти числа в сотнях. 800 — это 8 сотен, а 400 — это 4 сотни. Задача сводится к делению 8 сотен на 4 сотни. Это то же самое, что разделить 8 на 4. $8 : 4 = 2$.
Также можно использовать правило сокращения нулей. В числе 800 два нуля и в числе 400 два нуля. Убираем по два нуля в каждом числе, и пример становится намного проще: $8 : 4 = 2$.

Ответ: 2

600 : 200

Чтобы разделить 600 на 200, можно рассуждать аналогично предыдущему примеру. Представим числа в сотнях: 600 — это 6 сотен, а 200 — это 2 сотни. Делим 6 на 2, получаем 3. Значит, $600 : 200 = 3$.
Можно проверить умножением: $200 \cdot 3 = 600$. Всё верно.
Или, убрав по два нуля у делимого и делителя, получим пример: $6 : 2 = 3$.

Ответ: 3

1 000 : 500

Чтобы разделить 1000 на 500, представим 1000 как 10 сотен, а 500 как 5 сотен. Тогда нам нужно разделить 10 сотен на 5 сотен. Это то же самое, что и $10 : 5$, что равно 2.
Можно также убрать одинаковое количество нулей. В обоих числах есть по два нуля на конце. Убираем их: $1000 \rightarrow 10$, $500 \rightarrow 5$. Получаем простой пример: $10 : 5 = 2$.
Проверка: $500 \cdot 2 = 1000$.

Ответ: 2

240 : 3 + 7 · 2

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем сложение и вычитание (слева направо).

1. Первое действие — деление: $240 : 3 = 80$.

2. Второе действие — умножение: $7 \cdot 2 = 14$.

3. Третье действие — сложение: $80 + 14 = 94$.

Ответ: 94

240 : (3 + 7) · 2

В этом выражении сначала выполняется действие в скобках, так как оно имеет наивысший приоритет.

1. Действие в скобках: $3 + 7 = 10$.

2. Теперь выражение выглядит так: $240 : 10 \cdot 2$. Выполняем оставшиеся действия деления и умножения в порядке их следования, слева направо.

3. Деление: $240 : 10 = 24$.

4. Умножение: $24 \cdot 2 = 48$.

Ответ: 48

640 : 8 - 4 · 5

Сначала выполняем действия деления и умножения, а затем — вычитание.

1. Деление: $640 : 8 = 80$.

2. Умножение: $4 \cdot 5 = 20$.

3. Вычитание: $80 - 20 = 60$.

Ответ: 60

640 : (8 - 4) · 5

Первым делом выполняем действие в скобках.

1. Действие в скобках: $8 - 4 = 4$.

2. Выражение принимает вид: $640 : 4 \cdot 5$. Выполняем оставшиеся действия слева направо.

3. Деление: $640 : 4 = 160$.

4. Умножение: $160 \cdot 5 = 800$.

Ответ: 800

0 · 28 : 4

Умножение и деление имеют одинаковый приоритет и выполняются в порядке их следования в выражении, то есть слева направо.

1. Умножение: $0 \cdot 28 = 0$.

2. Деление: $0 : 4 = 0$.

Ответ: 0

1 · 28 : 4

Выполняем действия умножения и деления по порядку слева направо.

1. Умножение: $1 \cdot 28 = 28$.

2. Деление: $28 : 4 = 7$.

Ответ: 7

3. Расставь скобки так, чтобы равенства стали верными.

15 + 75 - 25 : 5 = 25

Чтобы данное равенство стало верным, необходимо изменить стандартный порядок выполнения арифметических действий. Если выполнять действия по порядку (сначала деление, затем сложение и вычитание слева направо), то получится: $15 + 75 - 25 : 5 = 15 + 75 - 5 = 90 - 5 = 85$. Результат $85$ не равен $25$.

Нужно расставить скобки. Проанализируем выражение. Мы видим, что в конце должно получиться $25$. Если от $25$ отнять $15$, получится $10$. Значит, результат выражения $(75 - 25 : 5)$ должен быть равен $10$. Чтобы это было так, необходимо сначала выполнить вычитание. Для этого поставим скобки вокруг $75 - 25$.

Получаем выражение: $15 + (75 - 25) : 5$.

Проверим его, выполняя действия в правильном порядке:
1) Сначала действие в скобках: $75 - 25 = 50$.
2) Затем деление: $50 : 5 = 10$.
3) Последним действием выполняем сложение: $15 + 10 = 25$.

Равенство $25 = 25$ верно. Значит, скобки расставлены правильно.

Ответ: $15 + (75 - 25) : 5 = 25$.

72 : 9 * 8 - 1 = 0

Рассмотрим второе выражение. Без скобок результат вычисляется так: $72 : 9 \cdot 8 - 1 = 8 \cdot 8 - 1 = 64 - 1 = 63$. Результат $63$ не равен $0$.

Чтобы в результате вычитания получился $0$, уменьшаемое должно быть равно вычитаемому. В нашем случае вычитаемое равно $1$. Значит, выражение $72 : 9 \cdot 8$ должно быть равно $1$.

Чтобы частное было равно $1$, делимое должно быть равно делителю. Делимое у нас $72$. Значит, нам нужно, чтобы выражение $9 \cdot 8$ стало делителем. Для этого заключим его в скобки.

Получаем выражение: $72 : (9 \cdot 8) - 1$.

Проверим его, выполняя действия в правильном порядке:
1) Сначала действие в скобках: $9 \cdot 8 = 72$.
2) Затем деление: $72 : 72 = 1$.
3) Последним действием выполняем вычитание: $1 - 1 = 0$.

Равенство $0 = 0$ верно. Значит, скобки расставлены правильно.

Ответ: $72 : (9 \cdot 8) - 1 = 0$.

4. Найди уравнения, которые решены неправильно, и реши их.

Для выполнения задания необходимо проверить решение каждого из трех уравнений.

Уравнение $768 - x = 700$ решено правильно. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: $x = 768 - 700 = 68$.

Уравнения, которые решены неправильно: $x + 10 = 190$ и $x - 380 = 100$.

Ниже приведено правильное решение для этих двух уравнений.

$x + 10 = 190$

В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. В примере в задании была допущена ошибка: слагаемое находили сложением, а не вычитанием.

$x = 190 - 10$

$x = 180$

Проверка: $180 + 10 = 190$. Равенство верное.

Ответ: $x = 180$.

$x - 380 = 100$

В данном уравнении $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. В примере в задании была допущена ошибка: уменьшаемое находили вычитанием, а не сложением.

$x = 100 + 380$

$x = 480$

Проверка: $480 - 380 = 100$. Равенство верное.

Ответ: $x = 480$.

5. В одну столовую привезли 40 банок огурцов, по 5 кг в каждой, а в другую — 50 банок, по 3 кг в каждой. Объясни, что означают выражения:

Для того чтобы объяснить значение выражений, разберем каждое действие в них по порядку, исходя из условия задачи: в первую столовую привезли 40 банок по 5 кг, а во вторую — 50 банок по 3 кг.

$5 \cdot 40 + 3 \cdot 50$

Первое произведение, $5 \cdot 40$, вычисляет общую массу огурцов, привезенных в первую столовую. Мы умножаем массу огурцов в одной банке (5 кг) на количество банок (40):
$5 \cdot 40 = 200$ кг.

Второе произведение, $3 \cdot 50$, вычисляет общую массу огурцов, привезенных во вторую столовую. Мы умножаем массу огурцов в одной банке (3 кг) на количество банок (50):
$3 \cdot 50 = 150$ кг.

Действие сложения этих двух результатов позволяет найти общую массу огурцов, привезенных в обе столовые вместе:
$200 + 150 = 350$ кг.

Ответ: выражение $5 \cdot 40 + 3 \cdot 50$ означает, сколько всего килограммов огурцов привезли в обе столовые.

$5 \cdot 40 - 3 \cdot 50$

Как и в предыдущем случае, $5 \cdot 40 = 200$ кг — это общая масса огурцов в первой столовой, а $3 \cdot 50 = 150$ кг — общая масса огурцов во второй столовой.

Действие вычитания позволяет найти разницу между этими массами. Таким образом, мы определяем, на сколько килограммов больше огурцов привезли в первую столовую, чем во вторую:
$200 - 150 = 50$ кг.

Ответ: выражение $5 \cdot 40 - 3 \cdot 50$ означает, на сколько килограммов огурцов в первую столовую привезли больше, чем во вторую.

6. Что больше:

1) одна третья часть суток или 9 ч;

2) одна четвёртая часть года или 4 месяца?

1) Чтобы сравнить одну третью часть суток и 9 часов, необходимо привести обе величины к одной единице измерения — часам. Мы знаем, что в одних сутках 24 часа. Вычислим, сколько часов составляет одна третья часть суток.

Для этого нужно общее количество часов в сутках разделить на 3:

$$ \frac{1}{3} \text{ суток} = 24 \text{ ч} \div 3 = 8 \text{ ч} $$

Теперь сравним полученное значение (8 часов) с 9 часами:

$$ 8 \text{ ч} < 9 \text{ ч} $$

Таким образом, 9 часов — это большая величина.

Ответ: 9 часов больше, чем одна третья часть суток.

2) Чтобы сравнить одну четвёртую часть года и 4 месяца, нужно привести обе величины к одной единице измерения — месяцам. Мы знаем, что в одном году 12 месяцев. Вычислим, сколько месяцев составляет одна четвёртая часть года.

Для этого нужно общее количество месяцев в году разделить на 4:

$$ \frac{1}{4} \text{ года} = 12 \text{ мес.} \div 4 = 3 \text{ мес.} $$

Теперь сравним полученное значение (3 месяца) с 4 месяцами:

$$ 3 \text{ мес.} < 4 \text{ мес.} $$

Таким образом, 4 месяца — это большая величина.

Ответ: 4 месяца больше, чем одна четвёртая часть года.

7. Стороны шестиугольника ABCDEK равны. Найди и выпиши названия шести разносторонних треугольников и четырёх равнобедренных. Есть ли среди равнобедренных треугольников равносторонние?

Для решения этой задачи необходимо предположить, что шестиугольник $ABCDEK$ является правильным, так как в условии дано только равенство его сторон. В правильном шестиугольнике все стороны равны и все внутренние углы равны $120^\circ$. Только при этом условии задача имеет однозначное решение. Пусть длина стороны шестиугольника равна $a$.

В правильном шестиугольнике можно выделить три типа отрезков, соединяющих его вершины:

1. Стороны шестиугольника (например, $AB, BC, ...$), длина которых равна $a$.
2. Короткие диагонали, соединяющие вершины через одну (например, $AC, BD, ...$). Их длину можно найти по теореме косинусов. Для треугольника $\triangle ABC$ со сторонами $AB=BC=a$ и углом $\angle ABC = 120^\circ$, длина диагонали $AC$ вычисляется так: $AC^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3a^2$. Таким образом, длина короткой диагонали равна $a\sqrt{3}$. Все короткие диагонали ($AC, BD, CE, DK, EA, KB$) равны между собой.
3. Длинные диагонали, соединяющие противоположные вершины (например, $AD, BE, CK$). Длина длинной диагонали в правильном шестиугольнике равна диаметру описанной окружности, что составляет $2a$. Все длинные диагонали равны между собой.

Таким образом, все треугольники, образованные вершинами шестиугольника, будут иметь стороны с длинами из набора {$a, a\sqrt{3}, 2a$}. Это позволяет нам классифицировать их.

шести разносторонних треугольников

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. В нашем случае это будут треугольники со сторонами, равными $a$, $a\sqrt{3}$ и $2a$. Такие треугольники состоят из одной стороны шестиугольника, одной короткой диагонали и одной длинной диагонали. Например, для треугольника $\triangle ABD$ стороны равны $AB=a$, $BD=a\sqrt{3}$ и $AD=2a$. Вот шесть примеров таких треугольников: $\triangle ABD, \triangle ABE, \triangle ACD, \triangle ACK, \triangle BCE, \triangle BCK$.

Ответ: $\triangle ABD, \triangle ABE, \triangle ACD, \triangle ACK, \triangle BCE, \triangle BCK$.

четырёх равнобедренных

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. В правильном шестиугольнике можно найти треугольники, образованные двумя смежными сторонами и короткой диагональю. Их стороны равны $a, a, a\sqrt{3}$. Они являются равнобедренными, но не равносторонними. Примерами таких треугольников служат: $\triangle ABC$ (стороны $AB=BC=a$), $\triangle BCD$ (стороны $BC=CD=a$), $\triangle CDE$ (стороны $CD=DE=a$), $\triangle DEK$ (стороны $DE=EK=a$).

Ответ: $\triangle ABC, \triangle BCD, \triangle CDE, \triangle DEK$.

Есть ли среди равнобедренных треугольников равносторонние?

Да, есть. Равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного, у которого равны все три стороны. В правильном шестиугольнике можно образовать два равносторонних треугольника, соединив вершины через одну. Сторонами таких треугольников будут три короткие диагонали, каждая длиной $a\sqrt{3}$. Этими треугольниками являются $\triangle ACE$ (со сторонами $AC=CE=EA=a\sqrt{3}$) и $\triangle BDK$ (со сторонами $BD=DK=KB=a\sqrt{3}$). Так как у них равны все три стороны, они равносторонние, а следовательно, и равнобедренные.

Ответ: Да, среди равнобедренных треугольников есть и равносторонние, например, $\triangle ACE$ и $\triangle BDK$.

8. Заполни магические квадраты и сравни их.

Заполнение магических квадратов

Магический квадрат — это квадратная таблица, в которой суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях равны одному и тому же числу (магической константе). Поскольку в задании не приведены конкретные квадраты, мы решим задачу на примере двух типичных магических квадратов 3x3, которые нужно заполнить.

Первый магический квадрат

Допустим, нам дан следующий частично заполненный квадрат:

1. Найдём магическую константу. Одна из диагоналей заполнена: $8, 5, 2$. Сумма чисел на ней: $8 + 5 + 2 = 15$. Значит, магическая константа равна 15.

2. Заполним пустые клетки, исходя из того, что сумма в каждой строке, столбце и диагонали должна быть равна 15.
- Первая строка: $15 - (8 + 6) = 15 - 14 = 1$.
- Третья строка: $15 - (4 + 2) = 15 - 6 = 9$.
- Первый столбец: $15 - (8 + 4) = 15 - 12 = 3$.
- Третий столбец: $15 - (6 + 2) = 15 - 8 = 7$.
- Вторая строка (проверка): $3 + 5 + 7 = 15$. Всё верно.

Второй магический квадрат

Допустим, второй квадрат имеет следующий вид:

1. Найдём магическую константу. Для квадрата 3x3 она равна утроенному значению центральной клетки. Центр равен 10, значит, константа: $3 \times 10 = 30$.

2. Заполним пустые клетки, используя магическую константу 30.
- Первая строка: $30 - (6 + 11) = 30 - 17 = 13$.
- Первый столбец: $30 - (13 + 9) = 30 - 22 = 8$.
- Вторая строка: $30 - (8 + 10) = 30 - 18 = 12$.
- Третий столбец: $30 - (11 + 12) = 30 - 23 = 7$.
- Третья строка (проверка): $9 + 14 + 7 = 30$ (где $14 = 30 - (6+10)$). Всё верно.

Ответ: Заполненные магические квадраты выглядят следующим образом:

Сравнение магических квадратов

Теперь сравним полученные результаты.
Магическая константа первого квадрата равна 15.
Магическая константа второго квадрата равна 30.

Проанализировав числа в ячейках обоих квадратов, можно выявить следующую закономерность:
1. Числа в ячейках: Каждое число во втором квадрате ровно на 5 больше, чем число в соответствующей ячейке первого квадрата.
Например: $13-8=5$; $6-1=5$; $11-6=5$; $8-3=5$; $10-5=5$ и так далее для всех ячеек.
2. Магические константы: Магическая константа второго квадрата (30) больше магической константы первого (15) ровно на 15. Эту разницу можно объяснить. Так как каждая строка/столбец/диагональ состоит из трёх чисел, и каждое из этих чисел увеличилось на 5, то и вся сумма увеличилась на $3 \times 5 = 15$.

Ответ: Второй магический квадрат можно получить из первого, если к каждому его числу прибавить 5. В результате этого преобразования магическая константа увеличивается на 15 (с 15 до 30).

Вычисли. 900 : 300 270 : 90 560 : 80

900 : 300
Чтобы разделить одно круглое число на другое, можно убрать у них одинаковое количество нулей. В данном случае, у делимого (900) и у делителя (300) можно убрать по два нуля. Это упрощает вычисление.
$900 : 300 = 9 : 3$
Теперь осталось разделить 9 на 3.
$9 : 3 = 3$
Следовательно, результат исходного выражения равен 3.
Ответ: 3

270 : 90
Для решения этого примера также можно применить метод сокращения нулей. У делимого (270) и делителя (90) есть по одному нулю в конце, которые можно убрать.
$270 : 90 = 27 : 9$
Далее, согласно таблице умножения, мы знаем, что 27 разделить на 9 равно 3, так как $9 \times 3 = 27$.
$27 : 9 = 3$
Таким образом, результат деления 270 на 90 равен 3.
Ответ: 3

560 : 80
Аналогично предыдущим примерам, упрощаем деление, убрав по одному нулю у делимого (560) и делителя (80).
$560 : 80 = 56 : 8$
Теперь необходимо найти частное от деления 56 на 8. Из таблицы умножения известно, что $8 \times 7 = 56$.
$56 : 8 = 7$
Значит, искомый результат равен 7.
Ответ: 7