Страница 26, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. Оля хочет вышить золотой тесьмой на каждом рукаве блузки по 2 таких узора, как на рисунке.

1) Хватит ли для этого 1 м тесьмы? Сколько сантиметров тесьмы потребуется, чтобы закончить вышивку?

2) Можно ли этот узор назвать симметричным? Почему?

3) Хватит ли 100 р. на покупку всей нужной для вышивки тесьмы, если 1 м тесьмы стоит 60 р.?

1) Чтобы определить, хватит ли тесьмы, нужно рассчитать общую необходимую длину. В условии не указаны размеры узора, поэтому сделаем логичное предположение, что сторона одного ромба, из которых состоит узор, равна 2 см.
Сначала найдем длину тесьмы для одного узора. Узор состоит из трех одинаковых ромбов, у каждого из которых 4 стороны. Значит, один узор состоит из $3 \times 4 = 12$ отрезков. Длина одного узора равна: $12 \times 2 \text{ см} = 24$ см.
Далее найдем общее количество узоров. На каждом из двух рукавов Оля хочет вышить по 2 узора, то есть всего узоров: $2 \times 2 = 4$.
Теперь найдем общую длину тесьмы для всей вышивки. Для 4 узоров потребуется: $4 \times 24 \text{ см} = 96$ см.
В 1 метре 100 сантиметров. Сравним необходимую длину с имеющейся: $96 \text{ см} < 100 \text{ см}$. Это означает, что одного метра тесьмы будет достаточно.
Ответ: Чтобы закончить вышивку, потребуется 96 см тесьмы. Да, 1 м тесьмы для этого хватит.

2) Да, этот узор можно назвать симметричным. У него есть несколько видов симметрии:
- Осевая симметрия (зеркальная): Узор имеет две оси симметрии. Во-первых, горизонтальная ось, проходящая через центры всех ромбов. Верхняя часть узора является точным зеркальным отражением нижней. Во-вторых, вертикальная ось, проходящая через центр среднего ромба. Левая часть узора является зеркальным отражением правой.
- Центральная симметрия (поворотная): Если повернуть узор на $180^\circ$ вокруг его центра (центра среднего ромба), он полностью совпадет со своим первоначальным положением.
Ответ: Да, узор можно назвать симметричным, потому что он имеет как оси симметрии (горизонтальную и вертикальную), так и центр симметрии.

3) Из первого пункта мы знаем, что для всей вышивки необходимо 96 см тесьмы.
Стоимость 1 метра (100 см) тесьмы составляет 60 рублей.
Поскольку Оле нужно 96 см, ей придется купить как минимум 1 метр тесьмы, так как обычно тесьму продают целыми метрами. Стоимость этой покупки составит 60 рублей.
У Оли есть 100 рублей. Сравним стоимость покупки с имеющейся суммой: $60 \text{ р.} < 100 \text{ р.}$.
Денег на покупку хватит.
Ответ: Да, 100 рублей хватит на покупку всей нужной для вышивки тесьмы.

2. Масса одного щенка и одного котёнка вместе равна 8 кг, а масса трёх таких щенков и двух котят — 22 кг. Найди массу одного котёнка и массу одного щенка.

Для решения этой задачи можно составить и решить систему уравнений или использовать логические рассуждения. Рассмотрим второй способ, так как он более наглядный.

Обозначим массу одного щенка как $щ$, а массу одного котёнка — как $к$.

Из условия нам известно:

1. $щ + к = 8$ (масса одного щенка и одного котёнка равна 8 кг)
2. $3щ + 2к = 22$ (масса трёх щенков и двух котят равна 22 кг)

1. Найдём массу одного щенка.

Мы знаем, что один щенок и один котёнок вместе весят 8 кг. Если мы возьмём двух щенков и двух котят, их общая масса будет в два раза больше:

$2 \times (щ + к) = 2 \times 8 = 16$ кг.

Теперь сравним эту массу с массой трёх щенков и двух котят (22 кг). Разница между этими двумя группами животных состоит ровно в одном щенке:

$(3 \text{ щенка} + 2 \text{ котёнка}) - (2 \text{ щенка} + 2 \text{ котёнка}) = 1 \text{ щенок}$

Соответственно, разница в массе и будет равна массе одного щенка:

$22 \text{ кг} - 16 \text{ кг} = 6 \text{ кг}.$

Таким образом, масса одного щенка ($щ$) равна 6 кг.

2. Найдём массу одного котёнка.

Теперь, зная массу щенка, мы можем легко найти массу котёнка, используя первое условие ($щ + к = 8$):

$6 + к = 8$

Чтобы найти $к$, вычтем из общей массы массу щенка:

$к = 8 - 6 = 2$ кг.

Таким образом, масса одного котёнка ($к$) равна 2 кг.

3. Проверка.

Подставим найденные значения в исходное второе условие: масса трёх щенков и двух котят должна быть равна 22 кг.

$(3 \times 6 \text{ кг}) + (2 \times 2 \text{ кг}) = 18 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 22 \text{ кг}.

Всё сходится.

Ответ: масса одного щенка — 6 кг, масса одного котёнка — 2 кг.

3. Используя в каждом случае 4 раза цифру 4, знаки арифметических действий и, если надо, скобки, составь 10 выражений со значениями от 1 до 10.

Если понадобится, то две рядом стоящие цифры можно считать двузначным числом.

Ниже представлены 10 математических выражений, в каждом из которых 4 раза используется цифра 4, а результатом являются числа от 1 до 10. Для составления выражений используются арифметические действия, скобки и возможность объединять две четверки в число 44.

1. Для получения единицы можно разделить 4 на 4, прибавить 4 и вычесть 4. В соответствии с порядком действий сначала выполняется деление:
$4 : 4 + 4 - 4 = 1 + 4 - 4 = 1$.
Ответ: $4 : 4 + 4 - 4 = 1$

2. Чтобы получить два, нужно сложить результаты деления двух пар четверок:
$4 : 4 + 4 : 4 = 1 + 1 = 2$.
Ответ: $4 : 4 + 4 : 4 = 2$

3. Для получения тройки необходимо сумму трех четверок разделить на четвертую:
$(4 + 4 + 4) : 4 = 12 : 4 = 3$.
Ответ: $(4 + 4 + 4) : 4 = 3$

4. Чтобы получить четыре, можно к 4 прибавить результат умножения разности двух четверок на оставшуюся четверку:
$4 + (4 - 4) \cdot 4 = 4 + 0 \cdot 4 = 4 + 0 = 4$.
Ответ: $4 + (4 - 4) \cdot 4 = 4$

5. Пятерку можно получить, если сумму произведения двух четверок и еще одной четверки разделить на оставшуюся четверку:
$(4 \cdot 4 + 4) : 4 = (16 + 4) : 4 = 20 : 4 = 5$.
Ответ: $(4 \cdot 4 + 4) : 4 = 5$

6. Чтобы получить шесть, нужно к 4 прибавить результат деления суммы двух четверок на оставшуюся четверку:
$4 + (4 + 4) : 4 = 4 + 8 : 4 = 4 + 2 = 6$.
Ответ: $4 + (4 + 4) : 4 = 6$

7. Для получения семерки воспользуемся возможностью составить двузначное число 44. Разделим 44 на 4 и вычтем 4:
$44 : 4 - 4 = 11 - 4 = 7$.
Ответ: $44 : 4 - 4 = 7$

8. Восьмерку можно получить простым сложением и вычитанием:
$4 + 4 + 4 - 4 = 8$.
Ответ: $4 + 4 + 4 - 4 = 8$

9. Чтобы получить девять, к сумме двух четверок нужно прибавить результат деления двух других четверок:
$4 + 4 + 4 : 4 = 4 + 4 + 1 = 9$.
Ответ: $4 + 4 + 4 : 4 = 9$

10. Для получения десяти из двузначного числа 44 вычтем 4, а результат разделим на 4:
$(44 - 4) : 4 = 40 : 4 = 10$.
Ответ: $(44 - 4) : 4 = 10$

1. Рассуждая так же, выполни деление с остатком.

17 : 4

Чтобы разделить 17 на 4 с остатком, нужно найти самое большое число до 17, которое делится на 4 без остатка. Это число 16. Делим 16 на 4, чтобы найти неполное частное:

$16 : 4 = 4$

Теперь найдем остаток, вычтя 16 из 17:

$17 - 16 = 1$

Остаток (1) меньше делителя (4), значит, деление выполнено верно. Проверим: делитель умножаем на неполное частное и прибавляем остаток. $4 \times 4 + 1 = 16 + 1 = 17$.

Ответ: 17 : 4 = 4 (ост. 1)

22 : 6

Найдем самое большое число до 22, которое делится на 6 нацело. Перебираем числа, кратные 6: 6, 12, 18, 24... Самое большое подходящее число — 18. Находим неполное частное:

$18 : 6 = 3$

Вычисляем остаток:

$22 - 18 = 4$

Остаток (4) меньше делителя (6), значит, решение верное. Проверка: $3 \times 6 + 4 = 18 + 4 = 22$.

Ответ: 22 : 6 = 3 (ост. 4)

27 : 5

Для деления 27 на 5 с остатком ищем ближайшее к 27 меньшее число, которое делится на 5. Это число 25. Находим неполное частное:

$25 : 5 = 5$

Находим остаток:

$27 - 25 = 2$

Проверяем: остаток (2) меньше делителя (5), значит, все верно. Проверка: $5 \times 5 + 2 = 25 + 2 = 27$.

Ответ: 27 : 5 = 5 (ост. 2)

59 : 9

Нам нужно разделить 59 на 9 с остатком. Подбираем самое большое число, которое меньше 59 и делится на 9. Это $9 \times 6 = 54$. Значит, неполное частное равно 6. Теперь вычисляем остаток:

$59 - 54 = 5$

Остаток (5) меньше делителя (9), следовательно, деление выполнено правильно. Проверка: $6 \times 9 + 5 = 54 + 5 = 59$.

Ответ: 59 : 9 = 6 (ост. 5)

27 : 7

Чтобы разделить 27 на 7 с остатком, найдем самое большое число до 27, которое делится на 7 без остатка. Это число 21. Делим 21 на 7:

$21 : 7 = 3$

Это неполное частное. Найдем остаток:

$27 - 21 = 6$

Остаток (6) меньше делителя (7), значит, деление верное. Проверка: $3 \times 7 + 6 = 21 + 6 = 27$.

Ответ: 27 : 7 = 3 (ост. 6)

2. Брат собрал 18 стаканов клюквы, а сестра — 6. Чтобы сварить варенье из этой клюквы, мама брала на каждый стакан ягод 2 стакана сахара. Сколько стаканов сахара ей потребовалось?

Чтобы решить задачу, сначала нужно найти общее количество клюквы, которое собрали брат и сестра. Для этого сложим количество стаканов клюквы, собранных каждым из них.

1. Найдем общее количество стаканов клюквы:
Брат собрал 18 стаканов, а сестра — 6. $18 + 6 = 24$ (стакана) — всего клюквы.

2. Теперь рассчитаем, сколько сахара потребуется для варенья. По условию, на каждый стакан ягод мама брала 2 стакана сахара. Чтобы найти общее количество сахара, нужно общее количество стаканов клюквы умножить на 2.
$24 \times 2 = 48$ (стаканов) — сахара потребуется.

Ответ: маме потребовалось 48 стаканов сахара.

3. Какое самое большое число до 23 делится без остатка на 3? на 4? на 6? на 8? на 9?

на 3?
Чтобы найти самое большое число до 23, которое делится на 3 без остатка, нужно найти наибольшее кратное числа 3, которое не превышает 23. Для этого можно разделить 23 на 3 с остатком:
$23 \div 3 = 7$ (остаток 2)
Целая часть от деления (неполное частное) равна 7. Теперь умножим делитель (3) на это число:
$3 \times 7 = 21$
Число 21 делится на 3 без остатка. Следующее число, кратное 3, это $3 \times 8 = 24$, что уже больше 23. Следовательно, искомое число — 21.
Ответ: 21

на 4?
Чтобы найти самое большое число до 23, которое делится на 4 без остатка, нужно найти наибольшее кратное числа 4, не превышающее 23. Разделим 23 на 4 с остатком:
$23 \div 4 = 5$ (остаток 3)
Неполное частное равно 5. Умножим делитель (4) на это число:
$4 \times 5 = 20$
Число 20 делится на 4 без остатка. Следующее число, кратное 4, это $4 \times 6 = 24$, что больше 23. Следовательно, искомое число — 20.
Ответ: 20

на 6?
Чтобы найти самое большое число до 23, которое делится на 6 без остатка, нужно найти наибольшее кратное числа 6, не превышающее 23. Разделим 23 на 6 с остатком:
$23 \div 6 = 3$ (остаток 5)
Неполное частное равно 3. Умножим делитель (6) на это число:
$6 \times 3 = 18$
Число 18 делится на 6 без остатка. Следующее число, кратное 6, это $6 \times 4 = 24$, что больше 23. Следовательно, искомое число — 18.
Ответ: 18

на 8?
Чтобы найти самое большое число до 23, которое делится на 8 без остатка, нужно найти наибольшее кратное числа 8, не превышающее 23. Разделим 23 на 8 с остатком:
$23 \div 8 = 2$ (остаток 7)
Неполное частное равно 2. Умножим делитель (8) на это число:
$8 \times 2 = 16$
Число 16 делится на 8 без остатка. Следующее число, кратное 8, это $8 \times 3 = 24$, что больше 23. Следовательно, искомое число — 16.
Ответ: 16

на 9?
Чтобы найти самое большое число до 23, которое делится на 9 без остатка, нужно найти наибольшее кратное числа 9, не превышающее 23. Разделим 23 на 9 с остатком:
$23 \div 9 = 2$ (остаток 5)
Неполное частное равно 2. Умножим делитель (9) на это число:
$9 \times 2 = 18$
Число 18 делится на 9 без остатка. Следующее число, кратное 9, это $9 \times 3 = 27$, что больше 23. Следовательно, искомое число — 18.
Ответ: 18

4. 1) Длина одной шестой части отрезка АВ равна 15 мм. Начерти этот отрезок.

2) Длина отрезка CD 28 мм. Сколько миллиметров в одной седьмой части этого отрезка?

1) По условию задачи, длина одной шестой части ($\frac{1}{6}$) отрезка AB равна 15 мм. Это значит, что весь отрезок состоит из 6 таких равных частей. Чтобы найти полную длину отрезка AB, необходимо длину одной части умножить на их общее количество.

Выполним вычисление:

$15 \text{ мм} \times 6 = 90 \text{ мм}$

Таким образом, полная длина отрезка AB составляет 90 мм. Для удобства построения можно перевести это значение в сантиметры: $90 \text{ мм} = 9 \text{ см}$. Чтобы начертить отрезок, с помощью линейки проведите линию длиной 9 см (или 90 мм) и обозначьте ее концы буквами A и B.

Ответ: Длина отрезка AB, который нужно начертить, равна 90 мм.

2) Длина отрезка CD составляет 28 мм. Чтобы найти, сколько миллиметров в одной седьмой части ($\frac{1}{7}$) этого отрезка, нужно его общую длину разделить на 7.

Выполним вычисление:

$28 \text{ мм} \div 7 = 4 \text{ мм}$

Ответ: В одной седьмой части этого отрезка 4 мм.

5. С двух ульев за год получили 78 кг мёда. С одного из них получили 43 кг. На сколько килограммов мёда получили больше с одного улья, чем с другого?

1. Найдём количество мёда со второго улья.
Чтобы найти, сколько мёда собрали со второго улья, нужно из общего количества мёда ($78$ кг) вычесть количество, собранное с первого улья ($43$ кг).
$78 - 43 = 35$ (кг) – мёда получили со второго улья.

2. Найдём разницу в количестве мёда.
Теперь, чтобы узнать, на сколько килограммов мёда с одного улья получили больше, чем с другого, нужно из большего количества ($43$ кг) вычесть меньшее ($35$ кг).
$43 - 35 = 8$ (кг).

Ответ: с одного улья получили на 8 кг мёда больше, чем с другого.

90 ? (15 + 9) : 8

Для решения этого примера следуем порядку действий: сначала выполняются действия в скобках, затем деление и в последнюю очередь вычитание.

1. Выполняем действие в скобках: $15 + 9 = 24$.

2. Далее выполняем деление: $24 : 8 = 3$.

3. Последнее действие — вычитание: $90 - 3 = 87$.

Ответ: 87

18 + 9 · (13 ? 7)

Сначала выполняем вычитание в скобках, затем умножение и в последнюю очередь сложение.

1. Вычитание в скобках: $13 - 7 = 6$.

2. Умножение: $9 \cdot 6 = 54$.

3. Сложение: $18 + 54 = 72$.

Ответ: 72

64 ? (28 + 4) : 4

Порядок действий: сначала сложение в скобках, затем деление и в конце вычитание.

1. Сложение в скобках: $28 + 4 = 32$.

2. Деление: $32 : 4 = 8$.

3. Вычитание: $64 - 8 = 56$.

Ответ: 56

72 : 9 + 2 · 7

В этом выражении сначала выполняются деление и умножение (слева направо), а затем сложение.

1. Деление: $72 : 9 = 8$.

2. Умножение: $2 \cdot 7 = 14$.

3. Сложение: $8 + 14 = 22$.

Ответ: 22

9 · 6 ? 30 : 3

Сначала выполняем умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.

1. Умножение: $9 \cdot 6 = 54$.

2. Деление: $30 : 3 = 10$.

3. Вычитание: $54 - 10 = 44$.

Ответ: 44

28 : 7 + 5 · 6

Первыми выполняются деление и умножение, затем сложение.

1. Деление: $28 : 7 = 4$.

2. Умножение: $5 \cdot 6 = 30$.

3. Сложение: $4 + 30 = 34$.

Ответ: 34

? · 8 = 56

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($56$) разделить на известный множитель ($8$).

$56 : 8 = 7$.

Проверка: $7 \cdot 8 = 56$.

Ответ: 7

6 · ? = 54

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($54$) разделить на известный множитель ($6$).

$54 : 6 = 9$.

Проверка: $6 \cdot 9 = 54$.

Ответ: 9

? · 9 = 63

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($63$) разделить на известный множитель ($9$).

$63 : 9 = 7$.

Проверка: $7 \cdot 9 = 63$.

Ответ: 7

7. По какому правилу из каждого числа первой строки получено записанное под ним число во второй строке?

Продолжи второй ряд чисел.

1) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

2) 7, 10, 13, 16, 19, 22, ..., ..., ....

По какому правилу из каждого числа первой строки получено записанное под ним число во второй строке?

Чтобы найти правило, сопоставим числа из первой и второй строки и проанализируем зависимость между ними.

Первая строка: 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Вторая строка: 7, 10, 13, 16, 19, 22, ...

Рассмотрим пары чисел (число из первой строки $\rightarrow$ число из второй строки):

• $2 \rightarrow 7$
• $3 \rightarrow 10$
• $4 \rightarrow 13$
• $5 \rightarrow 16$
• $6 \rightarrow 19$
• $7 \rightarrow 22$

Можно заметить, что числа во второй строке образуют арифметическую прогрессию, где каждый следующий член на 3 больше предыдущего: $7 + 3 = 10$; $10 + 3 = 13$; $13 + 3 = 16$ и так далее.

Теперь установим связь между числом из первой строки (обозначим его как $x$) и соответствующим числом из второй строки (обозначим его как $y$). Попробуем найти такую формулу $y = a \cdot x + b$.

Проверим гипотезу: чтобы получить число во второй строке, нужно соответствующее число из первой строки умножить на 3 и прибавить 1.

• Для числа 2: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$. Верно.
• Для числа 3: $3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10$. Верно.
• Для числа 4: $4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13$. Верно.
• Для числа 5: $5 \cdot 3 + 1 = 15 + 1 = 16$. Верно.
• Для числа 6: $6 \cdot 3 + 1 = 18 + 1 = 19$. Верно.
• Для числа 7: $7 \cdot 3 + 1 = 21 + 1 = 22$. Верно.

Гипотеза подтвердилась. Правило можно сформулировать так: каждое число из первой строки умножается на 3, и к результату прибавляется 1.

Ответ: Чтобы получить число во второй строке, нужно соответствующее ему число из первой строки умножить на 3 и к полученному произведению прибавить 1.

Продолжи второй ряд чисел.

Первая строка продолжается числами 8, 9, 10. Чтобы продолжить второй ряд, нужно применить к этим числам найденное правило: умножить на 3 и прибавить 1.

• Для числа 8 из первой строки: $8 \cdot 3 + 1 = 24 + 1 = 25$
• Для числа 9 из первой строки: $9 \cdot 3 + 1 = 27 + 1 = 28$
• Для числа 10 из первой строки: $10 \cdot 3 + 1 = 30 + 1 = 31$

Также можно было просто продолжить арифметическую прогрессию во второй строке, прибавляя каждый раз 3 к последнему известному числу:

• $22 + 3 = 25$
• $25 + 3 = 28$
• $28 + 3 = 31$

Таким образом, продолжение второго ряда чисел: 25, 28, 31.

Ответ: 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31.

РЕБУСЫ:

Какое самое большое число до 47 делится без остатка на 5? на 6? на 8? на 9?

на 5? Чтобы найти самое большое число до 47, которое делится на 5 без остатка, нужно найти наибольшее кратное числу 5, не превышающее 47. Для этого можно разделить 47 на 5 и взять целую часть от результата.
$47 \div 5 = 9$ (остаток 2).
Целая часть от деления равна 9. Теперь умножим эту целую часть на делитель 5, чтобы найти искомое число:
$9 \times 5 = 45$.
Проверим: 45 меньше 47 и делится на 5. Следующее число, кратное 5, это 50, что уже больше 47.
Ответ: 45.

на 6? Аналогично, ищем самое большое число до 47, которое делится на 6 без остатка. Разделим 47 на 6:
$47 \div 6 = 7$ (остаток 5).
Целая часть от деления равна 7. Умножаем её на 6:
$7 \times 6 = 42$.
Проверим: 42 меньше 47 и делится на 6. Следующее число, кратное 6, это 48, что больше 47.
Ответ: 42.

на 8? Найдём самое большое число до 47, которое делится на 8 без остатка. Выполним деление 47 на 8:
$47 \div 8 = 5$ (остаток 7).
Целая часть от деления равна 5. Умножаем её на 8:
$5 \times 8 = 40$.
Проверим: 40 меньше 47 и делится на 8. Следующее число, кратное 8, это 48, что больше 47.
Ответ: 40.

на 9? Теперь ищем самое большое число до 47, которое делится на 9 без остатка. Снова делим 47, но уже на 9:
$47 \div 9 = 5$ (остаток 2).
Целая часть от деления равна 5. Умножаем её на 9:
$5 \times 9 = 45$.
Проверим: 45 меньше 47 и делится на 9. Следующее число, кратное 9, это 54, что больше 47.
Ответ: 45.