Страница 33, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. 1) Увеличь в 6 раз числа: 3, 5, 7, 9, 10, 1.

2) Уменьши в 6 раз числа: 12, 24, 48, 42, 60, 6.

1) Чтобы увеличить число в несколько раз, нужно выполнить операцию умножения. В данном случае, каждое число из списка необходимо умножить на 6.

Увеличим число 3 в 6 раз: $3 \times 6 = 18$

Увеличим число 5 в 6 раз: $5 \times 6 = 30$

Увеличим число 7 в 6 раз: $7 \times 6 = 42$

Увеличим число 9 в 6 раз: $9 \times 6 = 54$

Увеличим число 10 в 6 раз: $10 \times 6 = 60$

Увеличим число 1 в 6 раз: $1 \times 6 = 6$

Ответ: 18, 30, 42, 54, 60, 6.

2) Чтобы уменьшить число в несколько раз, нужно выполнить операцию деления. В данном случае, каждое число из списка необходимо разделить на 6.

Уменьшим число 12 в 6 раз: $12 \div 6 = 2$

Уменьшим число 24 в 6 раз: $24 \div 6 = 4$

Уменьшим число 48 в 6 раз: $48 \div 6 = 8$

Уменьшим число 42 в 6 раз: $42 \div 6 = 7$

Уменьшим число 60 в 6 раз: $60 \div 6 = 10$

Уменьшим число 6 в 6 раз: $6 \div 6 = 1$

Ответ: 2, 4, 8, 7, 10, 1.

6 · 8
Произведение чисел 6 и 8 равно 48.
$6 \cdot 8 = 48$
Ответ: 48

7 · 6
Произведение чисел 7 и 6 равно 42.
$7 \cdot 6 = 42$
Ответ: 42

6 · 6
Произведение чисел 6 и 6 равно 36.
$6 \cdot 6 = 36$
Ответ: 36

54 : 9
Частное от деления 54 на 9 равно 6.
$54 : 9 = 6$
Ответ: 6

48 : 6
Частное от деления 48 на 6 равно 8.
$48 : 6 = 8$
Ответ: 8

42 : 7
Частное от деления 42 на 7 равно 6.
$42 : 7 = 6$
Ответ: 6

52 – 20 : 5
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется деление, а затем вычитание.
1. Первое действие (деление): $20 : 5 = 4$.
2. Второе действие (вычитание): $52 - 4 = 48$.
Ответ: 48

49 + 30 : 6
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется деление, а затем сложение.
1. Первое действие (деление): $30 : 6 = 5$.
2. Второе действие (сложение): $49 + 5 = 54$.
Ответ: 54

18 : 9 + 58
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется деление, а затем сложение.
1. Первое действие (деление): $18 : 9 = 2$.
2. Второе действие (сложение): $2 + 58 = 60$.
Ответ: 60

36 – 4 · 9
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
1. Первое действие (умножение): $4 \cdot 9 = 36$.
2. Второе действие (вычитание): $36 - 36 = 0$.
Ответ: 0

40 + 7 · 5
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем сложение.
1. Первое действие (умножение): $7 \cdot 5 = 35$.
2. Второе действие (сложение): $40 + 35 = 75$.
Ответ: 75

60 – 8 · 4
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется умножение, а затем вычитание.
1. Первое действие (умножение): $8 \cdot 4 = 32$.
2. Второе действие (вычитание): $60 - 32 = 28$.
Ответ: 28

24 : 8
Частное от деления 24 на 8 равно 3.
$24 : 8 = 3$
Ответ: 3

18 : 6
Частное от деления 18 на 6 равно 3.
$18 : 6 = 3$
Ответ: 3

42 : 6
Частное от деления 42 на 6 равно 7.
$42 : 6 = 7$
Ответ: 7

3. Запиши выражение. Найди значение частного чисел 24 и с, если с = 3, с = 4, с = 24, с = 1.

В задании требуется найти значение частного чисел 24 и c. Частное — это результат деления одного числа на другое. Таким образом, выражение, которое нужно составить, выглядит так: $24 \div c$.

Теперь вычислим значение этого выражения для каждого из предложенных значений c.

если c=3
Подставляем значение $c=3$ в выражение $24 \div c$:
$24 \div 3 = 8$
Ответ: 8

если c=4
Подставляем значение $c=4$ в выражение $24 \div c$:
$24 \div 4 = 6$
Ответ: 6

если c=24
Подставляем значение $c=24$ в выражение $24 \div c$:
$24 \div 24 = 1$
Ответ: 1

если c=1
Подставляем значение $c=1$ в выражение $24 \div c$:
$24 \div 1 = 24$
Ответ: 24

4. Найди ошибки и реши уравнения правильно.

21 – x = 14

В этом уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (21) вычесть разность (14). В предложенном решении допущена ошибка: вместо вычитания выполнено сложение.

Правильное решение:

$21 - x = 14$

$x = 21 - 14$

$x = 7$

Проверка:

$21 - 7 = 14$

$14 = 14$

Ответ: $x = 7$

x + 9 = 63

Здесь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (63) вычесть известное слагаемое (9). В предложенном решении допущена ошибка: вместо вычитания выполнено сложение.

Правильное решение:

$x + 9 = 63$

$x = 63 - 9$

$x = 54$

Проверка:

$54 + 9 = 63$

$63 = 63$

Ответ: $x = 54$

10 + x = 100

В данном уравнении $x$ также является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы (100) вычесть известное слагаемое (10). Предложенный шаг $x = 100 - 10$ является верным, ошибки в нем нет. Требуется только завершить вычисление.

Решение:

$10 + x = 100$

$x = 100 - 10$

$x = 90$

Проверка:

$10 + 90 = 100$

$100 = 100$

Ответ: $x = 90$

5. Масса деревянного бруска 5 кг, а масса такого же по размеру металлического бруска — 40 кг. Во сколько раз масса металлического бруска больше массы деревянного бруска? На сколько килограммов масса деревянного бруска меньше, чем масса металлического?

Во сколько раз масса металлического бруска больше массы деревянного бруска?

Чтобы определить, во сколько раз масса металлического бруска больше массы деревянного, нужно разделить массу металлического бруска на массу деревянного.

Масса металлического бруска — $40$ кг.
Масса деревянного бруска — $5$ кг.

Выполним деление: $40 \div 5 = 8$.

Следовательно, масса металлического бруска в 8 раз больше массы деревянного.
Ответ: в 8 раз.

На сколько килограммов масса деревянного бруска меньше, чем масса металлического?

Чтобы определить, на сколько килограммов масса деревянного бруска меньше массы металлического, нужно из массы металлического бруска вычесть массу деревянного.

Выполним вычитание: $40 - 5 = 35$ кг.

Следовательно, масса деревянного бруска на 35 кг меньше массы металлического.
Ответ: на 35 кг.

6. Масса яблок вместе с массой ящика составляет 48 кг. Масса ящика — 6 кг. Во сколько раз масса ящика меньше, чем масса яблок?

Для решения задачи необходимо выполнить два основных действия: сначала найти массу яблок, а затем сравнить ее с массой ящика.

1. Найдем массу яблок.
Общая масса яблок вместе с ящиком составляет 48 кг. Масса пустого ящика равна 6 кг. Чтобы найти массу только яблок, нужно из общей массы вычесть массу ящика.
Масса яблок = (Масса яблок с ящиком) - (Масса ящика)
$48 \text{ кг} - 6 \text{ кг} = 42 \text{ кг}$.
Следовательно, масса яблок составляет 42 кг.

2. Определим, во сколько раз масса ящика меньше массы яблок.
Чтобы узнать, во сколько раз одна величина меньше другой, необходимо большую величину разделить на меньшую. В данном случае нужно разделить массу яблок на массу ящика.
(Масса яблок) ? (Масса ящика)
$42 \text{ кг} \div 6 \text{ кг} = 7$.
Это означает, что масса ящика в 7 раз меньше, чем масса яблок.

Ответ: масса ящика в 7 раз меньше, чем масса яблок.

7. Тетрадь в клетку стоит □ р., альбом на □ р. дороже, чем тетрадь, а ручка на □ р. дешевле, чем альбом.

Дополни условие задачи и задай вопрос так, чтобы задача решалась двумя действиями.

Для того чтобы задача решалась в два действия, нужно дополнить условие задачи числами и задать вопрос, для ответа на который потребуется два последовательных вычисления. Таким вопросом будет "Сколько стоит ручка?".

Дополненное условие и вопрос

Тетрадь в клетку стоит 10 р., альбом на 15 р. дороже, чем тетрадь, а ручка на 20 р. дешевле, чем альбом. Сколько стоит ручка?

Решение

1. Первым действием найдём стоимость альбома. В условии сказано, что он на 15 рублей дороже тетради, которая стоит 10 рублей. Для этого к стоимости тетради прибавим 15.

$10 + 15 = 25$ (р.) – стоимость альбома.

2. Вторым действием найдём стоимость ручки. Известно, что она на 20 рублей дешевле альбома. Для этого из найденной стоимости альбома вычтем 20.

$25 - 20 = 5$ (р.) – стоимость ручки.

Таким образом, мы решили задачу в два действия.

Ответ: 5 рублей.

8. В школьной столовой было 50 кг сахара. Его расходовали 6 дней, по 2 кг каждый день. Сколько килограммов сахара осталось?

Для того чтобы определить, сколько килограммов сахара осталось, необходимо сначала рассчитать общее количество сахара, которое было израсходовано за 6 дней.

1. Найдём, сколько сахара израсходовали за 6 дней. Для этого умножим количество дней на ежедневный расход:
$6 \text{ дней} \cdot 2 \frac{\text{кг}}{\text{день}} = 12 \text{ кг}$

2. Теперь, зная, что изначально было 50 кг сахара, а израсходовали 12 кг, найдём остаток. Для этого из начального количества вычтем израсходованное:
$50 \text{ кг} - 12 \text{ кг} = 38 \text{ кг}$

Ответ: осталось 38 килограммов сахара.

9. Начерти ломаную из четырёх равных по длине звеньев, если длина ломаной 12 см.

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, которые называются звеньями. Длина ломаной линии равна сумме длин всех её звеньев.

По условию задачи, ломаная состоит из четырёх равных по длине звеньев, а её общая длина составляет 12 см. Чтобы найти длину одного звена, необходимо общую длину ломаной разделить на количество звеньев.

Выполним вычисление:
$12 \text{ см} \div 4 = 3 \text{ см}$

Следовательно, длина каждого из четырёх звеньев ломаной составляет 3 см.

Чтобы начертить такую ломаную, нужно с помощью линейки начертить первый отрезок длиной 3 см. Затем от его конца начертить второй отрезок такой же длины (3 см) под любым углом. Повторить это действие ещё два раза, соединяя отрезки последовательно.

Ответ: Нужно начертить ломаную, состоящую из четырех последовательно соединенных отрезков (звеньев), где длина каждого отрезка равна 3 см.

ЗАНИМAТЕЛЬНЫЕ РАМКИ:

Для решения этой головоломки необходимо найти закономерность, связывающую числа во внешней рамке (20, 34, 18, 30, 15, 43) с числом в центре (78).

Закономерность заключается в следующем: число в центре является суммой самого большого числа во внешней рамке и двух его соседей.

1. Находим самое большое число среди чисел во внешней рамке: 20, 34, 18, 30, 15, 43. Это число 43.

2. Определяем его соседей в рамке. Соседями числа 43 являются числа 15 и 20.

3. Складываем найденное наибольшее число с его соседями: $43 + 15 + 20 = 78$.

Полученный результат совпадает с числом в центре шестиугольника.

Ответ: Число в центре (78) равно сумме наибольшего числа во внешней рамке (43) и двух его соседних чисел (15 и 20).

Для решения этой головоломки необходимо установить связь между числами в углах рамки (57, 13, 36, 21) и числом в центре (90).

Здесь действует другое правило, основанное на операциях с числами, расположенными на диагоналях.

1. Находим наибольшее число в углах — это 57. Оно находится на диагонали вместе с числом 36.

2. Складываем числа на этой "главной" диагонали: $57 + 36 = 93$.

3. Рассматриваем вторую диагональ с числами 13 и 21.

4. Из этих двух чисел выбираем наибольшее — это 21.

5. Находим сумму цифр этого числа: $2 + 1 = 3$.

6. Вычитаем полученную сумму цифр (3) из суммы чисел первой диагонали (93): $93 - 3 = 90$.

Результат совпадает с числом в центре квадрата.

Ответ: Число в центре (90) получается, если из суммы чисел на диагонали с наибольшим значением ($57+36$) вычесть сумму цифр наибольшего числа со второй диагонали ($2+1$).

Вычисли значение выражения 4 • b, если b = 3, b = 5, b = 6, b = 10.

Чтобы найти значение выражения при $b=3$, нужно подставить это число в выражение $4 \cdot b$ вместо переменной $b$ и выполнить умножение.
$4 \cdot 3 = 12$
Ответ: 12

Подставляем значение $b=5$ в выражение $4 \cdot b$ и вычисляем:
$4 \cdot 5 = 20$
Ответ: 20

Подставляем значение $b=6$ в выражение $4 \cdot b$ и вычисляем:
$4 \cdot 6 = 24$
Ответ: 24

Подставляем значение $b=10$ в выражение $4 \cdot b$ и вычисляем:
$4 \cdot 10 = 40$
Ответ: 40

15. Найди на рисунке прямые, острые и тупые углы. Выпиши их номера.

В предоставленном изображении отсутствует рисунок с углами, поэтому невозможно указать их конкретные номера. Однако, я могу подробно объяснить, как определить тип каждого угла, чтобы вы смогли выполнить задание самостоятельно.

Для определения типа угла можно сравнить его с прямым углом. Прямой угол — это угол как у листа бумаги или книги.

Прямые углы

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. Визуально он выглядит как угол квадрата. На чертежах прямые углы часто помечаются маленьким квадратиком в вершине угла. Вам нужно найти на вашем рисунке углы, которые в точности равны $90^\circ$.

Ответ: Выпишите номера всех углов, которые равны $90^\circ$.

Острые углы

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла. Его градусная мера больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$ ($0^\circ < \text{угол} < 90^\circ$). Он выглядит более "узким" или "острым", чем прямой угол.

Ответ: Выпишите номера всех углов, которые меньше $90^\circ$.

Тупые углы

Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развернутого угла (прямой линии). Его градусная мера больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$ ($90^\circ < \text{угол} < 180^\circ$). Он выглядит более "широким" или "раскрытым", чем прямой угол.

Ответ: Выпишите номера всех углов, которые больше $90^\circ$.

16. Выполни деление с остатком.

36 : 7

Чтобы разделить 36 на 7 с остатком, найдем наибольшее число до 36, которое делится на 7 без остатка. Это число 35.

Найдем неполное частное: $35 : 7 = 5$.

Найдем остаток: $36 - 35 = 1$.

Остаток (1) меньше делителя (7), следовательно, деление выполнено верно.

Проверка: $5 \cdot 7 + 1 = 35 + 1 = 36$.

Ответ: 5 (ост. 1)

44 : 5

Найдем наибольшее число до 44, которое делится на 5 без остатка. Это число 40.

Найдем неполное частное: $40 : 5 = 8$.

Найдем остаток: $44 - 40 = 4$.

Остаток (4) меньше делителя (5), следовательно, деление выполнено верно.

Проверка: $8 \cdot 5 + 4 = 40 + 4 = 44$.

Ответ: 8 (ост. 4)

60 : 8

Найдем наибольшее число до 60, которое делится на 8 без остатка. Это число 56.

Найдем неполное частное: $56 : 8 = 7$.

Найдем остаток: $60 - 56 = 4$.

Остаток (4) меньше делителя (8), следовательно, деление выполнено верно.

Проверка: $7 \cdot 8 + 4 = 56 + 4 = 60$.

Ответ: 7 (ост. 4)

80 : 12

Найдем наибольшее число до 80, которое делится на 12 без остатка. Это число 72.

Найдем неполное частное: $72 : 12 = 6$.

Найдем остаток: $80 - 72 = 8$.

Остаток (8) меньше делителя (12), следовательно, деление выполнено верно.

Проверка: $6 \cdot 12 + 8 = 72 + 8 = 80$.

Ответ: 6 (ост. 8)

44 : 18

Найдем наибольшее число до 44, которое делится на 18 без остатка. Это число 36.

Найдем неполное частное: $36 : 18 = 2$.

Найдем остаток: $44 - 36 = 8$.

Остаток (8) меньше делителя (18), следовательно, деление выполнено верно.

Проверка: $2 \cdot 18 + 8 = 36 + 8 = 44$.

Ответ: 2 (ост. 8)

17. Запиши по 3 числа, при делении которых на 8 в остатке получается 5; 6; 2; 0.

в остатке получается 5

Чтобы найти числа, которые при делении на 8 дают в остатке 5, используется общая формула деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где $a$ — искомое число (делимое), $b$ — делитель (в нашем случае 8), $q$ — неполное частное (любое целое неотрицательное число), а $r$ — остаток (в нашем случае 5). Таким образом, формула для нашего случая: $a = 8 \cdot q + 5$.

Чтобы найти три таких числа, подставим в формулу три разных значения для $q$. Возьмем самые простые: 0, 1 и 2.

1. При $q=0$, число $a = 8 \cdot 0 + 5 = 5$. Проверка: $5 : 8 = 0$ (остаток 5).

2. При $q=1$, число $a = 8 \cdot 1 + 5 = 13$. Проверка: $13 : 8 = 1$ (остаток 5).

3. При $q=2$, число $a = 8 \cdot 2 + 5 = 21$. Проверка: $21 : 8 = 2$ (остаток 5).

Ответ: 5, 13, 21.

в остатке получается 6

Аналогично, используем формулу $a = 8 \cdot q + r$, но с остатком $r=6$. Получаем: $a = 8 \cdot q + 6$.

Подставим в формулу значения $q=0, 1, 2$:

1. При $q=0$, число $a = 8 \cdot 0 + 6 = 6$. Проверка: $6 : 8 = 0$ (остаток 6).

2. При $q=1$, число $a = 8 \cdot 1 + 6 = 14$. Проверка: $14 : 8 = 1$ (остаток 6).

3. При $q=2$, число $a = 8 \cdot 2 + 6 = 22$. Проверка: $22 : 8 = 2$ (остаток 6).

Ответ: 6, 14, 22.

в остатке получается 2

Для этого случая формула с остатком $r=2$ будет выглядеть так: $a = 8 \cdot q + 2$.

Подставим в формулу значения $q=0, 1, 2$:

1. При $q=0$, число $a = 8 \cdot 0 + 2 = 2$. Проверка: $2 : 8 = 0$ (остаток 2).

2. При $q=1$, число $a = 8 \cdot 1 + 2 = 10$. Проверка: $10 : 8 = 1$ (остаток 2).

3. При $q=2$, число $a = 8 \cdot 2 + 2 = 18$. Проверка: $18 : 8 = 2$ (остаток 2).

Ответ: 2, 10, 18.

в остатке получается 0

Когда остаток равен нулю ($r=0$), это означает, что число делится на 8 нацело. Формула имеет вид: $a = 8 \cdot q$. Искомые числа являются кратными числу 8.

Возьмем три разных значения для $q$, например 1, 2 и 3:

1. При $q=1$, число $a = 8 \cdot 1 = 8$. Проверка: $8 : 8 = 1$ (остаток 0).

2. При $q=2$, число $a = 8 \cdot 2 = 16$. Проверка: $16 : 8 = 2$ (остаток 0).

3. При $q=3$, число $a = 8 \cdot 3 = 24$. Проверка: $24 : 8 = 3$ (остаток 0).

Ответ: 8, 16, 24.

18. Выйдет ли квадратная проволочная рамка со стороной 7 см из треугольной рамки, каждая сторона которой равна 9 см?

Для того чтобы квадратная рамка прошла через треугольную, необходимо, чтобы квадрат мог поместиться внутри треугольника в какой-либо ориентации. Рассмотрим, возможно ли это.

Треугольная рамка представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a = 9$ см. Квадратная рамка имеет сторону $s = 7$ см.

Проверим, сможет ли квадрат поместиться в треугольнике. Самый простой способ размещения — это когда одна из сторон квадрата параллельна одной из сторон треугольника. Для остроугольного треугольника (каким является равносторонний) именно такое расположение позволяет вписать квадрат наибольшего размера.

Сначала найдем высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a = 9$ см. Высота в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле:

$h = a \cdot \sin(60^{\circ}) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4.5\sqrt{3}$ см.

Приближенное значение высоты: $h \approx 4.5 \cdot 1.732 = 7.794$ см.

Высота треугольника ($ \approx 7.794$ см) больше стороны квадрата ($7$ см). Это означает, что чисто теоретически по высоте квадрат может поместиться. Однако необходимо также, чтобы он помещался и по ширине.

Представим, что мы поместили квадрат внутрь треугольника так, что его нижняя сторона параллельна основанию треугольника. Ширина треугольника уменьшается по мере увеличения высоты от основания. Для того чтобы квадрат поместился, его ширина ($7$ см) должна быть меньше или равна ширине треугольника на соответствующей высоте.

Наибольшие требования к ширине предъявляются у верхних вершин квадрата. Пусть нижняя сторона квадрата находится на высоте $y$ от основания треугольника. Тогда его верхняя сторона будет на высоте $y+7$. Ширина треугольника $W$ на высоте $y'$ от основания связана с длиной основания $a$ и высотой $h$ соотношением подобия:

$\frac{W(y')}{a} = \frac{h - y'}{h}$ или $W(y') = a \left(1 - \frac{y'}{h}\right)$

Нам нужно, чтобы на высоте верхней стороны квадрата ($y' = y+7$) ширина треугольника была не меньше стороны квадрата ($s=7$):

$W(y+7) \ge 7$

Подставим значения $a=9$ и $h = 4.5\sqrt{3}$:

$9 \left(1 - \frac{y+7}{4.5\sqrt{3}}\right) \ge 7$

Разделим обе части на 9:

$1 - \frac{y+7}{4.5\sqrt{3}} \ge \frac{7}{9}$

Вычтем 1 из обеих частей и сменим знак:

$-\frac{y+7}{4.5\sqrt{3}} \ge \frac{7}{9} - 1$

$-\frac{y+7}{4.5\sqrt{3}} \ge -\frac{2}{9}$

Умножим на $-1$ (неравенство изменит знак):

$\frac{y+7}{4.5\sqrt{3}} \le \frac{2}{9}$

Выразим $y+7$:

$y+7 \le \frac{2}{9} \cdot 4.5\sqrt{3} = \frac{2 \cdot 4.5}{9}\sqrt{3} = \frac{9}{9}\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Итак, мы получили неравенство $y+7 \le \sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:

$y+7 \le 1.732$

Высота $y$, на которой расположена нижняя сторона квадрата, не может быть отрицательной, то есть $y \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение левой части неравенства равно $0+7=7$. Таким образом, мы приходим к неверному утверждению $7 \le 1.732$.

Это означает, что невозможно разместить квадрат со стороной 7 см внутри равностороннего треугольника со стороной 9 см. Следовательно, квадратная рамка не сможет выйти из треугольной.

Ответ: Нет, не выйдет.

19. На юношеских соревнованиях по плаванию на 100 м Косте осталось проплыть четвёртую часть дистанции, а Вите — пятую её часть. Кто из них ближе к финишу и на сколько метров?

Для того чтобы решить задачу, необходимо сначала вычислить, какое расстояние в метрах осталось проплыть каждому пловцу до финиша. Общая длина дистанции составляет 100 метров.

1. Рассчитаем расстояние, которое осталось проплыть Косте. Согласно условию, это четвертая часть дистанции, то есть $ \frac{1}{4} $:
$ 100 \text{ м} \div 4 = 25 \text{ м} $

2. Рассчитаем расстояние, которое осталось проплыть Вите. Согласно условию, это пятая часть дистанции, то есть $ \frac{1}{5} $:
$ 100 \text{ м} \div 5 = 20 \text{ м} $

Теперь, зная точные расстояния, которые осталось преодолеть каждому мальчику, можно ответить на вопросы задачи.

Кто из них ближе к финишу
Ближе к финишу находится тот, кому осталось проплыть меньшее расстояние. Сравним оставшиеся дистанции Кости (25 м) и Вити (20 м).
$ 20 \text{ м} < 25 \text{ м} $
Поскольку Вите осталось проплыть меньшее расстояние, он находится ближе к финишу.

и на сколько метров?
Чтобы найти, на сколько метров Витя ближе к финишу, чем Костя, необходимо найти разницу между их оставшимися дистанциями:
$ 25 \text{ м} - 20 \text{ м} = 5 \text{ м} $

Ответ: Витя ближе к финишу на 5 метров.

7 м 8 дм 0 78 дм
Чтобы сравнить эти два значения, приведем их к одной единице измерения — дециметрам (дм).
Мы знаем, что в одном метре 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Переведем 7 м 8 дм в дециметры:
$7 \text{ м} 8 \text{ дм} = 7 \times 10 \text{ дм} + 8 \text{ дм} = 70 \text{ дм} + 8 \text{ дм} = 78 \text{ дм}$.
Теперь сравним полученное значение с правой частью:
$78 \text{ дм} = 78 \text{ дм}$.
Значения равны.
Ответ: 7 м 8 дм = 78 дм

6 дм 5 см 0 7 дм
Чтобы сравнить эти значения, приведем их к сантиметрам (см).
Мы знаем, что в одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Переведем левую часть в сантиметры:
$6 \text{ дм} 5 \text{ см} = 6 \times 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 60 \text{ см} + 5 \text{ см} = 65 \text{ см}$.
Переведем правую часть в сантиметры:
$7 \text{ дм} = 7 \times 10 \text{ см} = 70 \text{ см}$.
Теперь сравним полученные значения:
$65 \text{ см} < 70 \text{ см}$.
Следовательно, 6 дм 5 см меньше, чем 7 дм.
Ответ: 6 дм 5 см < 7 дм

95 см 0 8 дм 9 см
Для сравнения приведем оба значения к сантиметрам (см).
Левая часть уже выражена в сантиметрах: $95 \text{ см}$.
Переведем правую часть в сантиметры, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$:
$8 \text{ дм} 9 \text{ см} = 8 \times 10 \text{ см} + 9 \text{ см} = 80 \text{ см} + 9 \text{ см} = 89 \text{ см}$.
Теперь сравним значения:
$95 \text{ см} > 89 \text{ см}$.
Следовательно, 95 см больше, чем 8 дм 9 см.
Ответ: 95 см > 8 дм 9 см

18 мм 0 1 см 8 мм
Приведем оба значения к одной единице измерения — миллиметрам (мм).
Левая часть уже выражена в миллиметрах: $18 \text{ мм}$.
Переведем правую часть в миллиметры, зная, что в одном сантиметре 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
$1 \text{ см} 8 \text{ мм} = 1 \times 10 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 10 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 18 \text{ мм}$.
Сравним полученные значения:
$18 \text{ мм} = 18 \text{ мм}$.
Значения равны.
Ответ: 18 мм = 1 см 8 мм

21. Что больше и на сколько:

1) 45 : 9 или 42 : 6? 8 • 8 или 9 • 7?

2) 18 : 2 или 27 : 9? 56 : 7 или 24 : 6?

1)

Сравним выражения $45:9$ и $42:6$.
Сначала вычислим значение каждого выражения:
$45:9 = 5$
$42:6 = 7$
Теперь сравним полученные результаты: $7 > 5$.
Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, найдем их разность:
$7 - 5 = 2$
Следовательно, значение выражения $42:6$ больше значения выражения $45:9$ на 2.
Ответ: $42:6$ больше на 2.

Теперь сравним выражения $8 \cdot 8$ и $9 \cdot 7$.
Сначала вычислим значение каждого выражения:
$8 \cdot 8 = 64$
$9 \cdot 7 = 63$
Теперь сравним полученные результаты: $64 > 63$.
Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, найдем их разность:
$64 - 63 = 1$
Следовательно, значение выражения $8 \cdot 8$ больше значения выражения $9 \cdot 7$ на 1.
Ответ: $8 \cdot 8$ больше на 1.

2)

Сравним выражения $18:2$ и $27:9$.
Сначала вычислим значение каждого выражения:
$18:2 = 9$
$27:9 = 3$
Теперь сравним полученные результаты: $9 > 3$.
Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, найдем их разность:
$9 - 3 = 6$
Следовательно, значение выражения $18:2$ больше значения выражения $27:9$ на 6.
Ответ: $18:2$ больше на 6.

Теперь сравним выражения $56:7$ и $24:6$.
Сначала вычислим значение каждого выражения:
$56:7 = 8$
$24:6 = 4$
Теперь сравним полученные результаты: $8 > 4$.
Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, найдем их разность:
$8 - 4 = 4$
Следовательно, значение выражения $56:7$ больше значения выражения $24:6$ на 4.
Ответ: $56:7$ больше на 4.

72 : 4
Чтобы решить этот пример, разделим число 72 на 4. Для удобства можно представить 72 в виде суммы двух чисел, каждое из которых легко делится на 4. Например, $72 = 40 + 32$.
Теперь выполним деление по частям:
$72 : 4 = (40 + 32) : 4 = 40 : 4 + 32 : 4$
$40 : 4 = 10$
$32 : 4 = 8$
Сложим полученные результаты:
$10 + 8 = 18$
Таким образом, $72 : 4 = 18$.
Ответ: 18

51 : 17
В этом примере нужно найти, сколько раз число 17 помещается в числе 51. Это можно сделать подбором, умножая 17 на небольшие целые числа.
$17 \times 1 = 17$
$17 \times 2 = 34$
$17 \times 3 = 51$
Мы видим, что при умножении 17 на 3 получается 51. Следовательно, $51 : 17 = 3$.
Ответ: 3

98 : 14
Чтобы разделить 98 на 14, можно использовать метод подбора. Попробуем умножить 14 на разные числа. Можно заметить, что искомое число, умноженное на 4 (последняя цифра числа 14), должно давать произведение, оканчивающееся на 8 (последняя цифра числа 98). Такими числами могут быть 2 ($4 \times 2 = 8$) или 7 ($4 \times 7 = 28$).
Проверим число 7:
$14 \times 7 = (10 + 4) \times 7 = 10 \times 7 + 4 \times 7 = 70 + 28 = 98$.
Результат совпал. Значит, $98 : 14 = 7$.
Ответ: 7

99 : 9 + 32 : 2
В этом выражении есть операции деления и сложения. Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняются операции деления (слева направо), а затем сложение.
1. Первое действие — деление: $99 : 9 = 11$.
2. Второе действие — деление: $32 : 2 = 16$.
3. Третье действие — сложение: $11 + 16 = 27$.
Полное решение выглядит так: $99 : 9 + 32 : 2 = 11 + 16 = 27$.
Ответ: 27

96 : 3
Для деления 96 на 3 можно разложить число 96 на сумму удобных слагаемых, которые легко делятся на 3. Например, $96 = 90 + 6$.
$96 : 3 = (90 + 6) : 3 = 90 : 3 + 6 : 3$
$90 : 3 = 30$
$6 : 3 = 2$
Складываем результаты:
$30 + 2 = 32$
Следовательно, $96 : 3 = 32$.
Ответ: 32

54 : 18
Чтобы найти частное от деления 54 на 18, нужно определить, сколько раз число 18 содержится в 54. Сделаем это методом подбора.
$18 \times 1 = 18$
$18 \times 2 = 36$
$18 \times 3 = 54$
При умножении 18 на 3 мы получаем 54. Значит, $54 : 18 = 3$.
Ответ: 3

84 : 12
Нужно разделить 84 на 12. Это можно сделать, вспомнив таблицу умножения или методом подбора.
$12 \times 5 = 60$
$12 \times 6 = 72$
$12 \times 7 = 84$
Таким образом, $84 : 12 = 7$.
Ответ: 7

96 : 8 + 75 : 5
В этом выражении необходимо соблюдать правильный порядок действий. Сначала выполняются операции деления, а затем их результаты складываются.
1. Выполним первое деление: $96 : 8$. Для удобства можно разложить 96 на $80 + 16$.
$96 : 8 = (80 + 16) : 8 = 80 : 8 + 16 : 8 = 10 + 2 = 12$.
2. Выполним второе деление: $75 : 5$. Разложим 75 на $50 + 25$.
$75 : 5 = (50 + 25) : 5 = 50 : 5 + 25 : 5 = 10 + 5 = 15$.
3. Сложим полученные результаты: $12 + 15 = 27$.
Полное решение: $96 : 8 + 75 : 5 = 12 + 15 = 27$.
Ответ: 27

23. 1) Ломаная состоит из четырёх одинаковых звеньев длиной 3 см каждое. Найди длину этой ломаной.

2) Начерти ломаную такой же длины, но состоящую из трёх звеньев одной длины; разной длины.

1)

Длина ломаной линии представляет собой сумму длин всех её звеньев. Согласно условию, ломаная состоит из четырёх одинаковых звеньев, каждое из которых имеет длину 3 см. Чтобы найти общую длину ломаной, необходимо умножить количество звеньев на длину одного звена.

Выполним вычисление:

$4 \times 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Ответ: Длина этой ломаной составляет 12 см.

2)

Требуется начертить ломаную с такой же общей длиной, то есть 12 см, но состоящую из трёх звеньев. Рассмотрим два варианта, предложенных в задаче.

Ломаная из трёх звеньев одной длины

Если ломаная состоит из трёх звеньев одинаковой длины, то для нахождения длины одного звена нужно общую длину разделить на количество звеньев:

$12 \text{ см} \div 3 = 4 \text{ см}$

Следовательно, необходимо начертить ломаную, состоящую из трёх отрезков, каждый длиной 4 см. Ниже представлен графический пример такой ломаной.

Ломаная из трёх звеньев разной длины

В этом случае необходимо подобрать три разных числа, сумма которых будет равна 12. Существует несколько таких комбинаций. В качестве примера можно взять звенья с длинами 3 см, 4 см и 5 см.

Проверим, что их сумма действительно равна 12 см:

$3 \text{ см} + 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Таким образом, можно начертить ломаную из трёх отрезков с длинами 3 см, 4 см и 5 см. Ниже представлен графический пример.

Ответ: Для первого случая нужно начертить ломаную из трёх звеньев по 4 см каждое. Для второго случая можно начертить ломаную со звеньями разной длины, сумма которых равна 12 см, например, со звеньями 3 см, 4 см и 5 см.

24. Начерти в тетради пятиугольник, в котором будет 2 прямых угла, 2 тупых и 1 острый угол.

Для того чтобы начертить пятиугольник с двумя прямыми, двумя тупыми и одним острым углом, сначала убедимся, что такой многоугольник в принципе может существовать. Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S = (n-2) \times 180^\circ$. Для пятиугольника (где $n=5$) сумма углов составляет:

$S = (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$.

Нам необходимо, чтобы сумма пяти углов равнялась $540^\circ$. В нашем случае это:

• 2 прямых угла: $2 \times 90^\circ = 180^\circ$
• 2 тупых угла (каждый больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$)
• 1 острый угол (больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$)

Сумма двух прямых углов уже составляет $180^\circ$. Значит, на оставшиеся три угла (два тупых и один острый) приходится $540^\circ - 180^\circ = 360^\circ$. Это возможно. Например, два тупых угла по $150^\circ$ и один острый угол $60^\circ$ в сумме дают $150^\circ + 150^\circ + 60^\circ = 360^\circ$. Следовательно, такой пятиугольник существует.

Вот пошаговая инструкция, как его легко начертить в тетради по клеткам:

1. Начните с построения основания. Начертите горизонтальный отрезок AB, например, длиной 10 клеток.
2. Из точки A проведите вертикально вверх отрезок AE, например, длиной 8 клеток. Угол A (между сторонами AE и AB) будет прямым ($90^\circ$).
3. Из точки B проведите вертикально вверх отрезок BC, также длиной 8 клеток. Угол B (между сторонами AB и BC) будет прямым ($90^\circ$). На данном этапе у вас должна получиться фигура, похожая на прямоугольник без верхней стороны.
4. Теперь нужно построить "крышу" из двух отрезков, которая замкнет фигуру. Для этого найдем вершину D. От точки E отступите вправо на 1-2 клетки и вверх на 4-5 клеток и поставьте точку D. Соедините отрезками точки C и D, а также D и E.

В результате у вас получится пятиугольник ABCDE со следующими углами:

• $\angle A$ и $\angle B$ — прямые ($90^\circ$).
• $\angle C$ и $\angle E$ — тупые (больше $90^\circ$).
• $\angle D$ — острый (меньше $90^\circ$).

Примерный вид такого пятиугольника:

Ответ:

Для построения требуемого пятиугольника можно выполнить следующие шаги на клетчатой бумаге: 1. Начертить горизонтальный отрезок AB. 2. Из точек A и B провести вверх два равных вертикальных отрезка AE и BC. Так получатся два прямых угла $\angle A$ и $\angle B$. 3. Соединить точки C и E ломаной линией из двух отрезков через точку D, которая расположена выше и между точками C и E. В полученном пятиугольнике ABCDE углы A и B будут прямыми, углы C и E — тупыми, а угол D — острым.

25. Как можно сделать равенство верным, не заменяя цифры на карточках? Запиши верное равенство.

Изначальное равенство $64:2=49$ является неверным, поскольку результат деления $64$ на $2$ равен $32$, а не $49$. Задача заключается в том, чтобы, не изменяя сами цифры, сделать равенство верным. Это означает, что мы можем переставлять карточки с цифрами `6`, `4`, `2`, `4`, `9`, сохраняя при этом знаки деления (:) и равенства (=) на их местах.

Для решения необходимо найти такую комбинацию из этих пяти цифр, которая образует три числа (делимое, делитель и частное), составляющие верное равенство в формате $A:B=C$.

Рассмотрим возможные варианты. Если мы составим из карточек `9` и `6` число $96$ (делимое), из карточек `2` и `4` число $24$ (делитель), а оставшуюся карточку `4` используем в качестве частного (результата), то получим новое равенство.

Проверим его правильность: $96 : 24 = 4$

Вычисление верно. В этом решении использованы все пять исходных карточек с цифрами (`9`, `6`, `2`, `4`, `4`), и равенство стало верным.

Ответ: $96:24=4$

26. 1) Найди площадь данной фигуры. Сколькими способами это можно выполнить? Укажи самый простой из них.

2) Начерти такую фигуру и проведи в ней ось симметрии.

Поскольку в задании не приведена сама фигура, мы решим задачу на примере гипотетической составной фигуры, которая имеет ось симметрии. В качестве примера возьмем Т-образную фигуру.

Пусть наша фигура состоит из двух прямоугольников:

• Верхний горизонтальный прямоугольник размером $6 \text{ см} \times 2 \text{ см}$.
• Нижний вертикальный прямоугольник размером $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$, примыкающий к середине верхнего.

Общая высота фигуры составляет $2 + 6 = 8 \text{ см}$, а общая ширина — $6 \text{ см}$.

1) Найди площадь данной фигуры. Сколькими способами это можно выполнить? Укажи самый простой из них.

Найти площадь такой составной фигуры можно как минимум двумя способами.

Способ 1: Разбиение фигуры на части.

Мысленно разделим фигуру на две части, из которых она состоит: верхний горизонтальный прямоугольник и нижний вертикальный. Найдем площадь каждой части и сложим их.

1. Площадь верхнего прямоугольника: $S_1 = 6 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
2. Площадь нижнего прямоугольника: $S_2 = 2 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
3. Общая площадь фигуры: $S = S_1 + S_2 = 12 \text{ см}^2 + 12 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

Способ 2: Дополнение фигуры до прямоугольника.

Достроим нашу фигуру до большого прямоугольника. Затем из площади этого большого прямоугольника вычтем площади "лишних" частей, которые мы добавили.

1. Фигура вписывается в большой прямоугольник с размерами $6 \text{ см} \times 8 \text{ см}$. Его площадь: $S_{большой} = 6 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.
2. При достраивании мы добавили два одинаковых пустых прямоугольника слева и справа от "ножки" буквы Т. Ширина каждого из них равна $(6 \text{ см} - 2 \text{ см}) / 2 = 2 \text{ см}$. Высота каждого — $6 \text{ см}$.
3. Площадь одного пустого прямоугольника: $S_{пустой} = 2 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
4. Суммарная площадь двух пустых прямоугольников: $2 \times 12 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.
5. Площадь фигуры: $S = S_{большой} - 2 \times S_{пустой} = 48 \text{ см}^2 - 24 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

Оба способа дают одинаковый результат. В данном случае самым простым является первый способ (разбиение), так как он требует меньше вычислений: нужно найти площади двух частей и сложить их.

Ответ: Площадь фигуры равна $24 \text{ см}^2$. Вычислить ее можно как минимум двумя способами: разбиением на части и дополнением до прямоугольника. Самый простой способ — разбиение.

2) Начерти такую фигуру и проведи в ней ось симметрии.

Ось симметрии — это прямая линия, которая делит фигуру на две зеркально одинаковые части. Если согнуть фигуру по этой линии, то обе ее половины полностью совпадут.

Для нашей Т-образной фигуры ось симметрии будет одна — вертикальная линия, проходящая точно через середину фигуры.

Ниже представлен чертеж фигуры с проведенной осью симметрии (показана красной пунктирной линией).

Ответ: Чертеж фигуры с осью симметрии представлен выше.