Номер 4, страница 60, часть 1 - гдз по математике 3 класс рабочая тетрадь Петерсон

Урок 40. Решение задач. Часть 1 - номер 4, страница 60.

Условие.

4 Сколько нулей на конце имеет произведение круглых чисел до 100 включительно?

Решение.

Решение 2.

Количество нулей на конце числа определяется количеством множителей 10 в его разложении. Так как $10 = 2 \times 5$, количество нулей равно числу пар простых множителей (2 и 5). Обычно в произведениях чисел множителей 2 больше, чем множителей 5, поэтому для нахождения количества нулей достаточно посчитать общее количество множителей 5.

Круглые числа до 100 включительно — это числа, которые оканчиваются на ноль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

Рассмотрим произведение этих чисел:$P = 10 \times 20 \times 30 \times 40 \times 50 \times 60 \times 70 \times 80 \times 90 \times 100$

Разложим каждый множитель на простые сомножители и посчитаем количество множителей 5 и 2 в каждом из них:
$10 = 2 \times 5$ (1 пятёрка, 1 двойка)
$20 = 2^2 \times 5$ (1 пятёрка, 2 двойки)
$30 = 2 \times 3 \times 5$ (1 пятёрка, 1 двойка)
$40 = 2^3 \times 5$ (1 пятёрка, 3 двойки)
$50 = 2 \times 5^2$ (2 пятёрки, 1 двойка)
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$ (1 пятёрка, 2 двойки)
$70 = 2 \times 5 \times 7$ (1 пятёрка, 1 двойка)
$80 = 2^4 \times 5$ (1 пятёрка, 4 двойки)
$90 = 2 \times 3^2 \times 5$ (1 пятёрка, 1 двойка)
$100 = 2^2 \times 5^2$ (2 пятёрки, 2 двойки)

Теперь посчитаем общее количество множителей 5 в произведении:
$1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 12$
Всего в произведении 12 множителей 5.

Для проверки посчитаем и общее количество множителей 2:
$1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 4 + 1 + 2 = 18$
Всего в произведении 18 множителей 2.

Каждая пара множителей (2 и 5) даёт один ноль на конце произведения. Мы можем составить $\min(18, 12) = 12$ таких пар. Следовательно, произведение будет оканчиваться на 12 нулей.

Ответ: 12