Номер 12, страница 58, часть 3 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 19. Формула произведения. Часть 3 - номер 12, страница 58.

Условие 2024.

12* Математическое исследование

Представь число 16 всеми способами в виде произведения двух множителей. Для каждого способа найди сумму множителей. В каком случае получилась наименьшая сумма? Проделай то же самое с числом 36, затем с числом 64. Какое можно высказать предположение (гипотезу)? Как ты думаешь, можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна для всех чисел, которые представляются в виде произведения равных множителей?

Решение 2024.

Решение 2 (2024).

Представь число 16 всеми способами в виде произведения двух множителей. Для каждого способа найди сумму множителей. В каком случае получилась наименьшая сумма?

Представим число 16 в виде произведения двух натуральных множителей и для каждого случая найдем сумму этих множителей:

• $1 \times 16 = 16$; сумма множителей: $1 + 16 = 17$
• $2 \times 8 = 16$; сумма множителей: $2 + 8 = 10$
• $4 \times 4 = 16$; сумма множителей: $4 + 4 = 8$

Сравнивая полученные суммы (17, 10, 8), мы видим, что наименьшая сумма — это 8.

Ответ: Наименьшая сумма получилась в случае, когда множители равны: $4 \times 4$.

Проделай то же самое с числом 36, затем с числом 64.

Для числа 36:

Представим число 36 в виде произведения двух множителей и найдем их сумму:

• $1 \times 36 = 36$; сумма множителей: $1 + 36 = 37$
• $2 \times 18 = 36$; сумма множителей: $2 + 18 = 20$
• $3 \times 12 = 36$; сумма множителей: $3 + 12 = 15$
• $4 \times 9 = 36$; сумма множителей: $4 + 9 = 13$
• $6 \times 6 = 36$; сумма множителей: $6 + 6 = 12$

Наименьшая сумма для числа 36 равна 12, она соответствует множителям 6 и 6.

Для числа 64:

Представим число 64 в виде произведения двух множителей и найдем их сумму:

• $1 \times 64 = 64$; сумма множителей: $1 + 64 = 65$
• $2 \times 32 = 64$; сумма множителей: $2 + 32 = 34$
• $4 \times 16 = 64$; сумма множителей: $4 + 16 = 20$
• $8 \times 8 = 64$; сумма множителей: $8 + 8 = 16$

Наименьшая сумма для числа 64 равна 16, она соответствует множителям 8 и 8.

Ответ: Для числа 36 наименьшая сумма множителей (12) получилась в случае произведения $6 \times 6$. Для числа 64 наименьшая сумма множителей (16) получилась в случае произведения $8 \times 8$.

Какое можно высказать предположение (гипотезу)?

Во всех рассмотренных случаях (для чисел 16, 36 и 64) наименьшая сумма множителей получается тогда, когда множители равны или максимально близки друг к другу. Чем больше разница между множителями, тем больше их сумма.

Ответ: Гипотеза: из всех пар множителей, произведение которых равно заданному числу, наименьшую сумму имеют те множители, которые наиболее близки по значению друг к другу.

Как ты думаешь, можно ли утверждать, что твоя гипотеза верна для всех чисел, которые представляются в виде произведения равных множителей?

Да, можно утверждать, что гипотеза верна. Числа, которые можно представить в виде произведения равных множителей, — это точные квадраты (например, $16 = 4^2$, $36 = 6^2$, $64 = 8^2$).

Пусть у нас есть число $N$, которое является точным квадратом, то есть $N = a^2$ для некоторого натурального числа $a$. В этом случае одна из пар множителей — это $a$ и $a$. Их сумма равна $a + a = 2a$.

Рассмотрим любую другую пару натуральных множителей $x$ и $y$ этого числа, где $x \neq y$ и $x \cdot y = N = a^2$. Если множители не равны, то один из них обязательно будет меньше, чем $a$, а другой — больше, чем $a$.

Можно доказать, что сумма неравных множителей $x+y$ всегда будет больше, чем сумма равных множителей $a+a$. Рассмотрим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух положительных чисел $x$ и $y$: $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Отсюда $x+y \ge 2\sqrt{xy}$. Так как $xy=N$, то $x+y \ge 2\sqrt{N}$.

Поскольку $N = a^2$, то $\sqrt{N} = a$. Значит, $x+y \ge 2a$.

Равенство $x+y = 2a$ достигается только в том случае, если $x=y$. Во всех остальных случаях, когда $x \neq y$, сумма $x+y$ будет строго больше $2a$.

Таким образом, для любого числа, являющегося точным квадратом, наименьшая сумма множителей достигается именно тогда, когда множители равны.

Ответ: Да, можно утверждать, что гипотеза верна для всех чисел, которые представляются в виде произведения равных множителей (то есть для точных квадратов). Наименьшая сумма множителей для таких чисел всегда будет у пары равных множителей.