Номер 1, страница 69, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

1. Арман рисовал радугу. У него в наборе 7 цветов красок. Сначала он решил выбрать два цвета. Сколькими способами можно выбрать два цвета красок из набора?

Смог ли ты решить такую задачу? В жизни часто приходится решать и другие задачи на комбинации. Например, сколько имеется вариантов школьного расписания.

ЗАПОМНИ!

Задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из заданных объектов и подсчитывать число комбинаций, получили название комбинаторных задач. Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов. В простейших случаях мы можем выписать все нужные нам комбинации и подсчитать их.

Это задача из раздела комбинаторики. Требуется найти количество способов выбрать 2 цвета из набора, состоящего из 7 цветов. Ключевым моментом является то, что порядок выбора не имеет значения, то есть комбинация "красный и синий" идентична комбинации "синий и красный". Такие выборки называются сочетаниями.

Решить задачу можно с помощью логических рассуждений. Первый цвет можно выбрать 7 способами. После этого для выбора второго цвета остается 6 вариантов. Если бы порядок выбора был важен, мы бы получили $7 \times 6 = 42$ варианта.

Однако, поскольку порядок не имеет значения, каждая уникальная пара цветов в нашем подсчете учтена дважды (например, как пара {красный, синий} и как {синий, красный}). Чтобы получить правильное количество сочетаний, необходимо разделить полученный результат на 2.

Число способов = $\frac{7 \times 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Этот же результат можно получить с помощью общей формулы для числа сочетаний из $\text{n}$ элементов по $\text{k}$: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ В нашем случае общее количество цветов $n=7$, а количество цветов для выбора $k=2$.

Подставим значения в формулу: $C_{7}^{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.

Таким образом, существует 21 способ выбрать два цвета из семи.

Ответ: 21.