Номер 7, страница 151, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

ТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

7. Выполни чертёж. Реши задачу.

К углам прямоугольного бассейна периметром 200 м подошли 4 ученика. Тренер подплыл к краю бассейна и пригласил учеников подойти. Все пошли кратчайшими путями. Ваня прошёл 30 м. Максим - 60 м. Маша - 40 м. Сколько метров пришлось пройти четвёртому ученику?

Для решения задачи необходимо сначала определить ключевые параметры бассейна и затем использовать их для нахождения искомого расстояния.

Представим бассейн в виде прямоугольника со сторонами $\text{a}$ и $\text{b}$ и вершинами (углами) A, B, C, D. Ученики находятся в этих углах.

Периметр бассейна равен 200 м. Формула периметра прямоугольника: $P = 2 \cdot (a+b)$.

Из условия мы знаем, что $2 \cdot (a+b) = 200$ м.

Отсюда можно найти полупериметр, то есть сумму длины и ширины бассейна:

$a+b = \frac{200}{2} = 100$ м.

Тренер находится в некоторой точке Т на одной из сторон бассейна. Ученики идут к нему по краю бассейна кратчайшим путём.

В этой задаче есть важная закономерность: для любой точки Т на периметре прямоугольника сумма кратчайших расстояний до неё от двух противоположных вершин постоянна и равна полупериметру ($a+b$).

Докажем это. Пусть точка Т находится на стороне АВ на расстоянии $\text{x}$ от вершины А. Тогда расстояние до Т от вершины А равно $\text{x}$, а от вершины В равно $a-x$.

Рассмотрим пару учеников в противоположных углах А и С:

Расстояние для ученика из угла А: $d_A = x$.

Кратчайший путь для ученика из угла С будет C → B → T, его длина: $d_C = b + (a-x)$.

Сумма их расстояний: $d_A + d_C = x + b + a - x = a+b = 100$ м.

Теперь рассмотрим вторую пару учеников в противоположных углах B и D:

Расстояние для ученика из угла B: $d_B = a-x$.

Кратчайший путь для ученика из угла D будет D → A → T, его длина: $d_D = b + x$.

Сумма их расстояний: $d_B + d_D = (a-x) + (b+x) = a+b = 100$ м.

Таким образом, если мы сгруппируем учеников в две пары по их расположению в противоположных углах, сумма расстояний в каждой паре будет равна 100 м.

Известны пути, которые прошли трое учеников: Ваня (30 м), Максим (60 м) и Маша (40 м). Найдем путь четвертого ученика ($d_4$).

Поищем среди известных расстояний пару, которая в сумме даёт 100 м:

$60 + 40 = 100$ м.

Это означает, что Максим и Маша находились в противоположных углах бассейна.

Следовательно, Ваня и четвертый ученик также находились в противоположных углах, и сумма их путей тоже равна 100 м.

$30 + d_4 = 100$

Теперь можем найти расстояние, которое прошёл четвертый ученик:

$d_4 = 100 - 30 = 70$ м.

Ответ: четвертому ученику пришлось пройти 70 метров.