Номер 2, страница 149, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

РАБОТА В ГРУППЕ

2. Выполни построение.

Выполни необходимые измерения и построй чертёж в тетради.

A O $O_1$ M

Задача состоит из двух частей: выполнение построения и проведение измерений. Выполним их последовательно.

Порядок построения

Для построения чертежа, изображенного на рисунке, с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Проведем произвольную прямую линию.

2. Выберем на этой прямой произвольную точку $\text{O}$, которая будет центром большой окружности.

3. С помощью циркуля зададим произвольный радиус $\text{R}$. Построим окружность с центром в точке $\text{O}$ и радиусом $\text{R}$.

4. Эта окружность пересечет нашу прямую в двух точках. Обозначим их $\text{A}$ и $\text{M}$. Отрезок $AM$ является диаметром большой окружности, и его длина равна $2R$.

5. Теперь построим малую окружность. По условию, она касается большой окружности внутренним образом в точке $\text{M}$. Это означает, что центр малой окружности, точка $O_1$, должен лежать на отрезке $OM$.

6. Выберем радиус для малой окружности $\text{r}$. Важное условие: радиус $\text{r}$ должен быть меньше радиуса $\text{R}$, то есть $r < R$.

7. Чтобы найти центр $O_1$, отложим на отрезке $OM$ от точки $\text{M}$ расстояние, равное $\text{r}$. Полученная точка и будет центром $O_1$ малой окружности.

8. Построим окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $\text{r}$.

В результате этих действий будет получен чертеж, полностью соответствующий рисунку в задании.

Ответ: Чертеж, состоящий из двух внутренне касающихся в точке $\text{M}$ окружностей, построен согласно приведенному алгоритму.

Выполнение измерений и нахождение соотношений

Поскольку в задании не указаны конкретные размеры, мы выполним измерения в общем виде, выразив все ключевые расстояния через радиусы окружностей. Обозначим радиус большой окружности как $\text{R}$, а радиус малой окружности как $\text{r}$.

Из построения нам известны следующие величины:

- Радиус большой окружности: $OA = OM = R$.

- Диаметр большой окружности: $AM = Ao + OM = R + R = 2R$.

- Радиус малой окружности: $O_1M = r$.

Теперь найдем другие расстояния на чертеже:

- Расстояние между центрами окружностей $OO_1$: Точки $\text{O}$, $O_1$ и $\text{M}$ лежат на одной прямой. При этом отрезок $OM$ состоит из двух отрезков: $OO_1$ и $O_1M$. Следовательно, $OM = OO_1 + O_1M$. Подставив известные значения, получаем: $R = OO_1 + r$. Отсюда выражаем расстояние между центрами: $OO_1 = R - r$.

- Длина отрезка $AO_1$: Этот отрезок состоит из отрезков $AO$ и $OO_1$. Таким образом, $AO_1 = Ao + OO_1$. Подставив значения, получаем: $AO_1 = R + (R - r) = 2R - r$.

Проверим наши вычисления: $AM = AO_1 + O_1M = (2R - r) + r = 2R$, что совпадает с длиной диаметра большой окружности.

Пример в числах:

Допустим, мы выбрали $R = 4$ см и $r = 1.5$ см.

- Диаметр большой окружности: $AM = 2R = 2 \cdot 4 = 8$ см.

- Расстояние между центрами: $OO_1 = R - r = 4 - 1.5 = 2.5$ см.

- Длина отрезка $AO_1$: $AO_1 = 2R - r = 2 \cdot 4 - 1.5 = 8 - 1.5 = 6.5$ см.

Ответ: Основные соотношения между элементами чертежа: расстояние между центрами $OO_1 = R - r$; длина отрезка $AM = 2R$; длина отрезка $AO_1 = 2R - r$, где $\text{R}$ и $\text{r}$ — радиусы большой и малой окружностей соответственно.