Страница 123, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

8. Назови разряды и классы каждого числа и запиши эти числа цифрами:

1) пять тысяч восемьсот сорок три;

2) тридцать тысяч восемьсот восемь;

3) сто шестьдесят три тысячи двести семьдесят девять;

4) шестьсот сорок две тысячи четыреста;

5) восемьсот четыре тысячи пятьдесят;

6) триста семь тысяч восемь;

7) двести сорок тысяч триста;

8) семьсот тридцать тысяч пятнадцать.

1) Число "пять тысяч восемьсот сорок три" записывается цифрами: $5843$.
В этом числе два класса: класс тысяч, который содержит 5 единиц, и класс единиц, который содержит 8 сотен, 4 десятка и 3 единицы.
Разрядный состав числа: 5 единиц тысяч, 8 сотен, 4 десятка, 3 единицы.

Ответ: $5843$.

2) Число "тридцать тысяч восемьсот восемь" записывается цифрами: $30808$.
В этом числе два класса: класс тысяч, который содержит 3 десятка тысяч, и класс единиц, который содержит 8 сотен и 8 единиц (в разряде десятков стоит ноль).
Разрядный состав числа: 3 десятка тысяч, 0 единиц тысяч, 8 сотен, 0 десятков, 8 единиц.

Ответ: $30808$.

3) Число "сто шестьдесят три тысячи двести семьдесят девять" записывается цифрами: $163279$.
В этом числе два класса: класс тысяч (163) и класс единиц (279).
Разрядный состав числа: 1 сотня тысяч, 6 десятков тысяч, 3 единицы тысяч, 2 сотни, 7 десятков, 9 единиц.

Ответ: $163279$.

4) Число "шестьсот сорок две тысячи четыреста" записывается цифрами: $642400$.
В этом числе два класса: класс тысяч (642) и класс единиц (400).
Разрядный состав числа: 6 сотен тысяч, 4 десятка тысяч, 2 единицы тысяч, 4 сотни, 0 десятков, 0 единиц.

Ответ: $642400$.

5) Число "восемьсот четыре тысячи пятьдесят" записывается цифрами: $804050$.
В этом числе два класса: класс тысяч (804) и класс единиц (050). В классе единиц отсутствуют сотни.
Разрядный состав числа: 8 сотен тысяч, 0 десятков тысяч, 4 единицы тысяч, 0 сотен, 5 десятков, 0 единиц.

Ответ: $804050$.

6) Число "триста семь тысяч восемь" записывается цифрами: $307008$.
В этом числе два класса: класс тысяч (307) и класс единиц (008). В классе единиц отсутствуют сотни и десятки.
Разрядный состав числа: 3 сотни тысяч, 0 десятков тысяч, 7 единиц тысяч, 0 сотен, 0 десятков, 8 единиц.

Ответ: $307008$.

7) Число "двести сорок тысяч триста" записывается цифрами: $240300$.
В этом числе два класса: класс тысяч (240) и класс единиц (300). В классе единиц отсутствуют десятки и единицы.
Разрядный состав числа: 2 сотни тысяч, 4 десятка тысяч, 0 единиц тысяч, 3 сотни, 0 десятков, 0 единиц.

Ответ: $240300$.

8) Число "семьсот тридцать тысяч пятнадцать" записывается цифрами: $730015$.
В этом числе два класса: класс тысяч (730) и класс единиц (015). В классе единиц отсутствуют сотни.
Разрядный состав числа: 7 сотен тысяч, 3 десятка тысяч, 0 единиц тысяч, 0 сотен, 1 десяток, 5 единиц.

Ответ: $730015$.

9. (Устно.) Сколько единиц каждого разряда в следующих числах:

52 672; 37 608; 242 064; 370 860; 563 005; 106 008; 140 509; 205 370?

Чтобы определить, сколько единиц каждого разряда содержится в числах, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в соответствующей позиции (разряде) в записи числа, читая справа налево: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен, разряд единиц тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч и так далее.

$52\ 672$

Разложим число $52\ 672$ по разрядам:

• Разряд единиц: $2$ единицы
• Разряд десятков: $7$ десятков
• Разряд сотен: $6$ сотен
• Разряд единиц тысяч: $2$ единицы тысяч
• Разряд десятков тысяч: $5$ десятков тысяч

Ответ: В числе $52\ 672$ содержится $5$ десятков тысяч, $2$ единицы тысяч, $6$ сотен, $7$ десятков и $2$ единицы.

$37\ 608$

Разложим число $37\ 608$ по разрядам:

• Разряд единиц: $8$ единиц
• Разряд десятков: $0$ десятков
• Разряд сотен: $6$ сотен
• Разряд единиц тысяч: $7$ единиц тысяч
• Разряд десятков тысяч: $3$ десятка тысяч

Ответ: В числе $37\ 608$ содержится $3$ десятка тысяч, $7$ единиц тысяч, $6$ сотен, $0$ десятков и $8$ единиц.

$242\ 064$

Разложим число $242\ 064$ по разрядам:

• Разряд единиц: $4$ единицы
• Разряд десятков: $6$ десятков
• Разряд сотен: $0$ сотен
• Разряд единиц тысяч: $2$ единицы тысяч
• Разряд десятков тысяч: $4$ десятка тысяч
• Разряд сотен тысяч: $2$ сотни тысяч

Ответ: В числе $242\ 064$ содержится $2$ сотни тысяч, $4$ десятка тысяч, $2$ единицы тысяч, $0$ сотен, $6$ десятков и $4$ единицы.

$370\ 860$

Разложим число $370\ 860$ по разрядам:

• Разряд единиц: $0$ единиц
• Разряд десятков: $6$ десятков
• Разряд сотен: $8$ сотен
• Разряд единиц тысяч: $0$ единиц тысяч
• Разряд десятков тысяч: $7$ десятков тысяч
• Разряд сотен тысяч: $3$ сотни тысяч

Ответ: В числе $370\ 860$ содержится $3$ сотни тысяч, $7$ десятков тысяч, $0$ единиц тысяч, $8$ сотен, $6$ десятков и $0$ единиц.

$563\ 005$

Разложим число $563\ 005$ по разрядам:

• Разряд единиц: $5$ единиц
• Разряд десятков: $0$ десятков
• Разряд сотен: $0$ сотен
• Разряд единиц тысяч: $3$ единицы тысяч
• Разряд десятков тысяч: $6$ десятков тысяч
• Разряд сотен тысяч: $5$ сотен тысяч

Ответ: В числе $563\ 005$ содержится $5$ сотен тысяч, $6$ десятков тысяч, $3$ единицы тысяч, $0$ сотен, $0$ десятков и $5$ единиц.

$106\ 008$

Разложим число $106\ 008$ по разрядам:

• Разряд единиц: $8$ единиц
• Разряд десятков: $0$ десятков
• Разряд сотен: $0$ сотен
• Разряд единиц тысяч: $6$ единиц тысяч
• Разряд десятков тысяч: $0$ десятков тысяч
• Разряд сотен тысяч: $1$ сотня тысяч

Ответ: В числе $106\ 008$ содержится $1$ сотня тысяч, $0$ десятков тысяч, $6$ единиц тысяч, $0$ сотен, $0$ десятков и $8$ единиц.

$140\ 509$

Разложим число $140\ 509$ по разрядам:

• Разряд единиц: $9$ единиц
• Разряд десятков: $0$ десятков
• Разряд сотен: $5$ сотен
• Разряд единиц тысяч: $0$ единиц тысяч
• Разряд десятков тысяч: $4$ десятка тысяч
• Разряд сотен тысяч: $1$ сотня тысяч

Ответ: В числе $140\ 509$ содержится $1$ сотня тысяч, $4$ десятка тысяч, $0$ единиц тысяч, $5$ сотен, $0$ десятков и $9$ единиц.

$205\ 370$

Разложим число $205\ 370$ по разрядам:

• Разряд единиц: $0$ единиц
• Разряд десятков: $7$ десятков
• Разряд сотен: $3$ сотни
• Разряд единиц тысяч: $5$ единиц тысяч
• Разряд десятков тысяч: $0$ десятков тысяч
• Разряд сотен тысяч: $2$ сотни тысяч

Ответ: В числе $205\ 370$ содержится $2$ сотни тысяч, $0$ десятков тысяч, $5$ единиц тысяч, $3$ сотни, $7$ десятков и $0$ единиц.

10. Представь каждое число в виде суммы разрядных слагаемых:

132567; 328564; 439804; 240569; 570800; 720930; 967080.

Чтобы представить число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно записать его как сумму значений каждой из его цифр. Значение цифры определяется её положением (разрядом) в числе. Слагаемые, соответствующие разрядам с цифрой 0, обычно не записываются.

132567

Разложим число 132567 на разрядные слагаемые:

• 1 сотня тысяч = 100 000
• 3 десятка тысяч = 30 000
• 2 тысячи = 2 000
• 5 сотен = 500
• 6 десятков = 60
• 7 единиц = 7

Сумма разрядных слагаемых для числа 132567:

Ответ: $132567 = 100000 + 30000 + 2000 + 500 + 60 + 7$

328564

Разложим число 328564 на разрядные слагаемые:

• 3 сотни тысяч = 300 000
• 2 десятка тысяч = 20 000
• 8 тысяч = 8 000
• 5 сотен = 500
• 6 десятков = 60
• 4 единицы = 4

Сумма разрядных слагаемых для числа 328564:

Ответ: $328564 = 300000 + 20000 + 8000 + 500 + 60 + 4$

439804

Разложим число 439804 на разрядные слагаемые:

• 4 сотни тысяч = 400 000
• 3 десятка тысяч = 30 000
• 9 тысяч = 9 000
• 8 сотен = 800
• 4 единицы = 4

Сумма разрядных слагаемых для числа 439804:

Ответ: $439804 = 400000 + 30000 + 9000 + 800 + 4$

240569

Разложим число 240569 на разрядные слагаемые:

• 2 сотни тысяч = 200 000
• 4 десятка тысяч = 40 000
• 5 сотен = 500
• 6 десятков = 60
• 9 единиц = 9

Сумма разрядных слагаемых для числа 240569:

Ответ: $240569 = 200000 + 40000 + 500 + 60 + 9$

570800

Разложим число 570800 на разрядные слагаемые:

• 5 сотен тысяч = 500 000
• 7 десятков тысяч = 70 000
• 8 сотен = 800

Сумма разрядных слагаемых для числа 570800:

Ответ: $570800 = 500000 + 70000 + 800$

720930

Разложим число 720930 на разрядные слагаемые:

• 7 сотен тысяч = 700 000
• 2 десятка тысяч = 20 000
• 9 сотен = 900
• 3 десятка = 30

Сумма разрядных слагаемых для числа 720930:

Ответ: $720930 = 700000 + 20000 + 900 + 30$

967080

Разложим число 967080 на разрядные слагаемые:

• 9 сотен тысяч = 900 000
• 6 десятков тысяч = 60 000
• 7 тысяч = 7 000
• 8 десятков = 80

Сумма разрядных слагаемых для числа 967080:

Ответ: $967080 = 900000 + 60000 + 7000 + 80$

11. 1) Напиши наименьшее семизначное число и число, которое предшествует ему при счёте.

2) Напиши наибольшее пятизначное число и число, которое следует за ним при счёте.

1) Чтобы найти наименьшее семизначное число, нужно поставить наименьшую возможную цифру (1) в самый старший разряд (миллионы), а остальные шесть разрядов заполнить наименьшей цифрой (0). Таким образом, наименьшее семизначное число — это 1 000 000.

Число, которое предшествует ему при счёте, — это число, которое на 1 меньше. Чтобы его найти, выполним вычитание:

$1\ 000\ 000 - 1 = 999\ 999$

Предшествующее число — это 999 999 (девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять).

Ответ: наименьшее семизначное число — 1 000 000, предшествующее ему число — 999 999.

2) Чтобы найти наибольшее пятизначное число, нужно каждый из пяти разрядов заполнить наибольшей возможной цифрой, то есть цифрой 9. Таким образом, наибольшее пятизначное число — это 99 999.

Число, которое следует за ним при счёте, — это число, которое на 1 больше. Чтобы его найти, выполним сложение:

$99\ 999 + 1 = 100\ 000$

Следующее число — это 100 000 (сто тысяч).

Ответ: наибольшее пятизначное число — 99 999, следующее за ним число — 100 000.

12. Сравни.

$3040 \quad 4003 \quad\quad 32470 \quad 32407 \quad\quad 582110 \quad 825110$

$8749 \quad 8750 \quad\quad 74510 \quad 75410 \quad\quad 770007 \quad 707700$

$9999 \quad 10000 \quad\quad 19048 \quad 19084 \quad\quad 1000000 \quad 999999$

3 040 ... 4 003
Для сравнения двух натуральных чисел сначала нужно сравнить количество разрядов (цифр) в них. В данном случае оба числа, 3 040 и 4 003, являются четырехзначными. Значит, для сравнения нужно поочередно сравнивать цифры в одинаковых разрядах, начиная со старшего (слева направо). Сравниваем цифры в разряде тысяч: у числа 3 040 это 3, а у числа 4 003 это 4. Поскольку $3 < 4$, то и все число 3 040 меньше, чем 4 003.
Ответ: $3\ 040 < 4\ 003$

8 749 ... 8 750
Оба числа, 8 749 и 8 750, четырехзначные. Начинаем поразрядное сравнение слева направо. Цифры в разряде тысяч одинаковые: $8 = 8$. Цифры в разряде сотен одинаковые: $7 = 7$. Сравниваем цифры в разряде десятков: у числа 8 749 это 4, а у числа 8 750 это 5. Поскольку $4 < 5$, то число 8 749 меньше, чем 8 750.
Ответ: $8\ 749 < 8\ 750$

9 999 ... 10 000
Сравниваем количество цифр в числах. Число 9 999 состоит из четырех цифр (четырехзначное). Число 10 000 состоит из пяти цифр (пятизначное). Натуральное число, в котором больше разрядов (цифр), всегда больше числа, в котором разрядов меньше. Следовательно, 9 999 меньше, чем 10 000.
Ответ: $9\ 999 < 10\ 000$

32 470 ... 32 407
Оба числа, 32 470 и 32 407, являются пятизначными. Начинаем поразрядное сравнение слева направо. Цифры в разряде десятков тысяч одинаковые: $3 = 3$. Цифры в разряде тысяч одинаковые: $2 = 2$. Цифры в разряде сотен одинаковые: $4 = 4$. Сравниваем цифры в разряде десятков: у числа 32 470 это 7, а у числа 32 407 это 0. Поскольку $7 > 0$, то число 32 470 больше, чем 32 407.
Ответ: $32\ 470 > 32\ 407$

74 510 ... 75 410
Оба числа, 74 510 и 75 410, пятизначные. Начинаем поразрядное сравнение слева направо. Цифры в разряде десятков тысяч одинаковые: $7 = 7$. Сравниваем цифры в разряде тысяч: у числа 74 510 это 4, а у числа 75 410 это 5. Поскольку $4 < 5$, то число 74 510 меньше, чем 75 410.
Ответ: $74\ 510 < 75\ 410$

19 048 ... 19 084
Оба числа, 19 048 и 19 084, пятизначные. Начинаем поразрядное сравнение слева направо. Цифры в разряде десятков тысяч одинаковые: $1 = 1$. Цифры в разряде тысяч одинаковые: $9 = 9$. Цифры в разряде сотен одинаковые: $0 = 0$. Сравниваем цифры в разряде десятков: у числа 19 048 это 4, а у числа 19 084 это 8. Поскольку $4 < 8$, то число 19 048 меньше, чем 19 084.
Ответ: $19\ 048 < 19\ 084$

582 110 ... 825 110
Оба числа, 582 110 и 825 110, являются шестизначными. Начинаем сравнение со старшего разряда. Сравниваем цифры в разряде сотен тысяч: у числа 582 110 это 5, а у числа 825 110 это 8. Поскольку $5 < 8$, то и все число 582 110 меньше, чем 825 110.
Ответ: $582\ 110 < 825\ 110$

770 007 ... 707 700
Оба числа, 770 007 и 707 700, шестизначные. Начинаем поразрядное сравнение слева направо. Цифры в разряде сотен тысяч одинаковые: $7 = 7$. Сравниваем цифры в разряде десятков тысяч: у числа 770 007 это 7, а у числа 707 700 это 0. Поскольку $7 > 0$, то число 770 007 больше, чем 707 700.
Ответ: $770\ 007 > 707\ 700$

1 000 000 ... 999 999
Сравниваем количество цифр в числах. Число 1 000 000 состоит из семи цифр (семизначное). Число 999 999 состоит из шести цифр (шестизначное). Число, в котором больше цифр, всегда больше. Следовательно, 1 000 000 больше, чем 999 999.
Ответ: $1\ 000\ 000 > 999\ 999$

13. Запиши в порядке возрастания 8 четырёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4. (Повторять цифры в записи одного числа нельзя.)

Для того чтобы записать 8 четырёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений, в порядке возрастания, необходимо формировать их в лексикографическом порядке. Это значит, что мы начинаем с наименьшей возможной цифры в старшем разряде (тысячи) и далее по разрядам в порядке убывания значимости, также выбирая наименьшие из доступных цифр.

1. Самые маленькие числа будут начинаться с наименьшей цифры — 1. Оставшиеся три цифры {2, 3, 4} можно переставить $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способами. Чтобы получить числа в порядке возрастания, мы должны перебирать комбинации оставшихся цифр также в порядке возрастания:

• Фиксируем 1 в разряде тысяч и 2 в разряде сотен. Оставшиеся цифры 3 и 4 дают два числа: 1234 и 1243.
• Фиксируем 1 в разряде тысяч и следующую по величине цифру 3 в разряде сотен. Оставшиеся 2 и 4 дают два числа: 1324 и 1342.
• Фиксируем 1 в разряде тысяч и 4 в разряде сотен. Оставшиеся 2 и 3 дают два числа: 1423 и 1432.

Таким образом, мы получили первые 6 чисел: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432.

2. По условию требуется 8 чисел, значит, нам нужно найти ещё два следующих по величине. Они будут начинаться со следующей по возрастанию цифры — 2. Оставшиеся цифры — {1, 3, 4}. Для нахождения двух наименьших чисел, начинающихся с 2, ставим в разряд сотен наименьшую из оставшихся цифр (1). Оставшиеся 3 и 4 дают нам ещё два числа:

• 2134 и 2143.

Объединив все найденные числа, получаем искомый список из 8 чисел, записанных в порядке возрастания.
Ответ: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143.

14. Найди закономерность, по которой составлен каждый ряд чисел, и запиши ещё по 5 чисел в каждом ряду.

1) 3 001, 3 005, 3 009, 3 013, , , , , .

2) 2 918, 2 817, 2 716, 2 615, , , , , .

3) 8 120, 7 122, 6 124, 5 126, , , , , .

1) 3 001, 3 005, 3 009, 3 013, ...

Для того чтобы найти закономерность в данном ряду чисел, вычислим разность между соседними членами последовательности:

$3 005 - 3 001 = 4$

$3 009 - 3 005 = 4$

$3 013 - 3 009 = 4$

Мы видим, что каждое последующее число в ряду получается путем прибавления 4 к предыдущему. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=4$. Продолжим ряд, прибавляя по 4 к последнему известному числу:

$3 013 + 4 = 3 017$

$3 017 + 4 = 3 021$

$3 021 + 4 = 3 025$

$3 025 + 4 = 3 029$

$3 029 + 4 = 3 033$

Ответ: 3 017, 3 021, 3 025, 3 029, 3 033.

2) 2 918, 2 817, 2 716, 2 615, ...

Вычислим разность между соседними числами, чтобы определить закономерность:

$2 918 - 2 817 = 101$

$2 817 - 2 716 = 101$

$2 716 - 2 615 = 101$

Каждое следующее число в ряду на 101 меньше предыдущего. Это убывающая арифметическая прогрессия с разностью $d=-101$. Чтобы найти следующие 5 чисел, будем последовательно вычитать 101:

$2 615 - 101 = 2 514$

$2 514 - 101 = 2 413$

$2 413 - 101 = 2 312$

$2 312 - 101 = 2 211$

$2 211 - 101 = 2 110$

Ответ: 2 514, 2 413, 2 312, 2 211, 2 110.

3) 8 120, 7 122, 6 124, 5 126, ...

Определим закономерность, проанализировав изменения в числах. Можно заметить, что разряд тысяч в каждом следующем числе уменьшается на 1 (8, 7, 6, 5, ...), а число, образованное последними тремя цифрами, увеличивается на 2 (120, 122, 124, 126, ...). Это равносильно вычитанию 1000 и прибавлению 2, то есть общее изменение составляет $ -1000 + 2 = -998$. Проверим разность:

$8 120 - 7 122 = 998$

$7 122 - 6 124 = 998$

$6 124 - 5 126 = 998$

Закономерность подтвердилась. Продолжим ряд, вычитая 998 из каждого последующего числа:

$5 126 - 998 = 4 128$

$4 128 - 998 = 3 130$

$3 130 - 998 = 2 132$

$2 132 - 998 = 1 134$

$1 134 - 998 = 136$

Ответ: 4 128, 3 130, 2 132, 1 134, 136.

15. Вырази в миллиметрах: 25 см 3 мм; 4 см 7 мм; 80 см; 6 м 90 см; 2 м 1 см.

25 см 3 мм
Чтобы выразить данное значение в миллиметрах, сначала переведем сантиметры в миллиметры, а затем прибавим оставшиеся миллиметры. В одном сантиметре содержится 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).
1. Переведем 25 сантиметров в миллиметры:
$25 \text{ см} = 25 \times 10 \text{ мм} = 250 \text{ мм}$.
2. Теперь сложим полученное значение с оставшимися миллиметрами:
$250 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 253 \text{ мм}$.
Ответ: 253 мм.

4 см 7 мм
Аналогично предыдущему примеру, переведем сантиметры в миллиметры и сложим с миллиметрами. Используем соотношение $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
1. Переведем 4 сантиметра в миллиметры:
$4 \text{ см} = 4 \times 10 \text{ мм} = 40 \text{ мм}$.
2. Сложим результаты:
$40 \text{ мм} + 7 \text{ мм} = 47 \text{ мм}$.
Ответ: 47 мм.

80 см
Для перевода сантиметров в миллиметры умножим значение в сантиметрах на 10, так как $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
$80 \text{ см} = 80 \times 10 \text{ мм} = 800 \text{ мм}$.
Ответ: 800 мм.

6 м 90 см
Чтобы выразить это значение в миллиметрах, нужно перевести и метры, и сантиметры в миллиметры, а затем сложить их. Нам понадобятся следующие соотношения: $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
1. Переведем 6 метров в миллиметры:
$6 \text{ м} = 6 \times 1000 \text{ мм} = 6000 \text{ мм}$.
2. Переведем 90 сантиметров в миллиметры:
$90 \text{ см} = 90 \times 10 \text{ мм} = 900 \text{ мм}$.
3. Сложим полученные значения:
$6000 \text{ мм} + 900 \text{ мм} = 6900 \text{ мм}$.
Ответ: 6900 мм.

2 м 1 см
Переведем метры и сантиметры в миллиметры, используя соотношения $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
1. Переведем 2 метра в миллиметры:
$2 \text{ м} = 2 \times 1000 \text{ мм} = 2000 \text{ мм}$.
2. Переведем 1 сантиметр в миллиметры:
$1 \text{ см} = 1 \times 10 \text{ мм} = 10 \text{ мм}$.
3. Сложим результаты:
$2000 \text{ мм} + 10 \text{ мм} = 2010 \text{ мм}$.
Ответ: 2010 мм.

28. На завод надо доставить 24 645 т чугуна. Две трети всего чугуна отправили по железной дороге, а пятую часть остатка перевезли по реке. Сколько ещё тонн чугуна надо отправить на завод?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Сначала определим, какое количество чугуна было отправлено по железной дороге. Это составляет две трети от общего количества:

$24645 \text{ т} \times \frac{2}{3} = \frac{24645 \times 2}{3} = 8215 \times 2 = 16430 \text{ т}$

2. Теперь найдем, сколько чугуна осталось после отправки по железной дороге. Для этого вычтем отправленное количество из общего:

$24645 \text{ т} - 16430 \text{ т} = 8215 \text{ т}$

3. Далее рассчитаем, какое количество чугуна перевезли по реке. Это пятая часть от остатка:

$8215 \text{ т} \times \frac{1}{5} = \frac{8215}{5} = 1643 \text{ т}$

4. Наконец, определим, сколько еще тонн чугуна осталось отправить. Для этого из остатка после первой отправки вычтем количество, перевезенное по реке:

$8215 \text{ т} - 1643 \text{ т} = 6572 \text{ т}$

Ответ: 6572 тонны чугуна надо ещё отправить на завод.

29. От двух причалов, расстояние между которыми 540 км, вышли одновременно навстречу друг другу два теплохода. Скорость одного из них 28 км/ч, а скорость другого 32 км/ч. Через сколько часов теплоходы встретились? Сколько километров прошёл до встречи каждый из них?

Для решения этой задачи необходимо ответить на два вопроса. Решим их по порядку.

Через сколько часов теплоходы встретились?

1. Сначала найдём скорость сближения теплоходов. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Обозначим скорость первого теплохода как $v_1$, а второго — как $v_2$.

$v_1 = 28$ км/ч

$v_2 = 32$ км/ч

Скорость сближения ($v_{сбл}$) будет равна:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 28 + 32 = 60$ км/ч.

2. Теперь, зная общее расстояние между причалами ($S = 540$ км) и скорость сближения, мы можем найти время до встречи ($t$) по формуле $t = S / v_{сбл}$.

$t = 540 \text{ км} / 60 \text{ км/ч} = 9$ часов.

Ответ: теплоходы встретились через 9 часов.

Сколько километров прошёл до встречи каждый из них?

Чтобы найти расстояние, которое прошёл каждый теплоход до встречи, нужно умножить скорость каждого теплохода на время в пути. Мы уже выяснили, что время до встречи составило 9 часов.

1. Рассчитаем расстояние, пройденное первым теплоходом ($S_1$):

$S_1 = v_1 \times t = 28 \text{ км/ч} \times 9 \text{ ч} = 252$ км.

2. Рассчитаем расстояние, пройденное вторым теплоходом ($S_2$):

$S_2 = v_2 \times t = 32 \text{ км/ч} \times 9 \text{ ч} = 288$ км.

Для проверки можно сложить пройденные расстояния: $252 \text{ км} + 288 \text{ км} = 540 \text{ км}$, что равно исходному расстоянию между причалами.

Ответ: до встречи первый теплоход прошёл 252 км, а второй — 288 км.

30. Выполни деление с остатком. Сделай проверку с помощью калькулятора.

$6725 : 204$

$147012 : 385$

$818925 : 658$

6 725 : 204
Выполним деление с остатком. Сначала определим неполное частное, а затем остаток.
1. Первое неполное делимое – 672. Делим 672 на 204, получаем 3. $3 \cdot 204 = 612$. Находим остаток: $672 - 612 = 60$.
2. Сносим следующую цифру 5. Новое неполное делимое – 605. Делим 605 на 204, получаем 2. $2 \cdot 204 = 408$. Находим остаток: $605 - 408 = 197$.
Так как $197 < 204$, деление завершено. Неполное частное равно 32, остаток 197.
Проверка: Для проверки умножим неполное частное на делитель и прибавим остаток. Результат должен быть равен делимому.
$32 \cdot 204 + 197 = 6528 + 197 = 6725$.
Проверка верна.
Ответ: 32 (ост. 197).

147 012 : 385
Выполним деление с остатком.
1. Первое неполное делимое – 1470. Делим 1470 на 385, получаем 3. $3 \cdot 385 = 1155$. Находим остаток: $1470 - 1155 = 315$.
2. Сносим следующую цифру 1. Новое неполное делимое – 3151. Делим 3151 на 385, получаем 8. $8 \cdot 385 = 3080$. Находим остаток: $3151 - 3080 = 71$.
3. Сносим следующую цифру 2. Новое неполное делимое – 712. Делим 712 на 385, получаем 1. $1 \cdot 385 = 385$. Находим остаток: $712 - 385 = 327$.
Так как $327 < 385$, деление завершено. Неполное частное равно 381, остаток 327.
Проверка: $381 \cdot 385 + 327 = 146685 + 327 = 147012$.
Проверка верна.
Ответ: 381 (ост. 327).

818 925 : 658
Выполним деление с остатком.
1. Первое неполное делимое – 818. Делим 818 на 658, получаем 1. $1 \cdot 658 = 658$. Находим остаток: $818 - 658 = 160$.
2. Сносим следующую цифру 9. Новое неполное делимое – 1609. Делим 1609 на 658, получаем 2. $2 \cdot 658 = 1316$. Находим остаток: $1609 - 1316 = 293$.
3. Сносим следующую цифру 2. Новое неполное делимое – 2932. Делим 2932 на 658, получаем 4. $4 \cdot 658 = 2632$. Находим остаток: $2932 - 2632 = 300$.
4. Сносим следующую цифру 5. Новое неполное делимое – 3005. Делим 3005 на 658, получаем 4. $4 \cdot 658 = 2632$. Находим остаток: $3005 - 2632 = 373$.
Так как $373 < 658$, деление завершено. Неполное частное равно 1244, остаток 373.
Проверка: $1244 \cdot 658 + 373 = 818552 + 373 = 818925$.
Проверка верна.
Ответ: 1244 (ост. 373).

31. Запиши выражения и вычисли их значения.

1) Сумму чисел 33 871, 49 471 и 55 858 разделить на произведение чисел 32 и 25.

$(33871 + 49471 + 55858) / (32 * 25)$

2) Число 516 000 разделить на разность чисел 1 259 и 571.

$516000 / (1259 - 571)$

3) Частное чисел 63 570 и 815 увеличить в 100 раз.

$(63570 / 815) * 100$

4) Число 458 325 разделить на разность чисел 501 и 404.

$458325 / (501 - 404)$

5) Частное чисел 69 768 и 76 увеличить на 2 050.

$(69768 / 76) + 2050$

6) Разность чисел 13 060 и 4 885 разделить на частное чисел 24 600 и 984.

$(13060 - 4885) / (24600 / 984)$

1) Сначала найдем сумму чисел 33 871, 49 471 и 55 858, а затем произведение чисел 32 и 25. После этого разделим сумму на произведение.
Выражение: $(33871 + 49471 + 55858) \div (32 \times 25)$
1. Найдем сумму в скобках: $33871 + 49471 + 55858 = 139200$
2. Найдем произведение в скобках: $32 \times 25 = 800$
3. Выполним деление: $139200 \div 800 = 174$
Ответ: 174

2) Найдем разность чисел 1 259 и 571, а затем разделим число 516 000 на полученную разность.
Выражение: $516000 \div (1259 - 571)$
1. Найдем разность в скобках: $1259 - 571 = 688$
2. Выполним деление: $516000 \div 688 = 750$
Ответ: 750

3) Найдем частное чисел 63 570 и 815, а затем увеличим его в 100 раз (умножим на 100).
Выражение: $(63570 \div 815) \times 100$
1. Найдем частное в скобках: $63570 \div 815 = 78$
2. Увеличим результат в 100 раз: $78 \times 100 = 7800$
Ответ: 7800

4) Найдем разность чисел 501 и 404, а затем разделим число 458 325 на полученную разность.
Выражение: $458325 \div (501 - 404)$
1. Найдем разность в скобках: $501 - 404 = 97$
2. Выполним деление: $458325 \div 97 = 4725$
Ответ: 4725

5) Найдем частное чисел 69 768 и 76, а затем увеличим его на 2 050 (прибавим 2 050).
Выражение: $(69768 \div 76) + 2050$
1. Найдем частное в скобках: $69768 \div 76 = 918$
2. Увеличим результат на 2 050: $918 + 2050 = 2968$
Ответ: 2968

6) Найдем разность чисел 13 060 и 4 885 и частное чисел 24 600 и 984. Затем разделим разность на частное.
Выражение: $(13060 - 4885) \div (24600 \div 984)$
1. Найдем разность в первых скобках: $13060 - 4885 = 8175$
2. Найдем частное во вторых скобках: $24600 \div 984 = 25$
3. Выполним деление результатов: $8175 \div 25 = 327$
Ответ: 327

32. Бригада из 6 человек должна была изготовить 1 488 деталей для трактора. Один рабочий может сделать в день 8 таких частей. После четырёх дней работы в бригаду пришли ещё 3 человека. Сколько всего дней рабочие выполняли заказ?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Рассчитаем производительность бригады в первые дни работы.
Изначально в бригаде было 6 человек, и каждый изготавливал по 8 деталей в день. Таким образом, ежедневная производительность бригады составляла:
$6 \text{ человек} \times 8 \text{ деталей/день} = 48 \text{ деталей/день}$

2. Узнаем, сколько деталей бригада сделала за первые четыре дня.
За 4 дня работы бригада изготовила:
$48 \text{ деталей/день} \times 4 \text{ дня} = 192 \text{ детали}$

3. Найдем, сколько деталей осталось изготовить.
Общий объем заказа — 1488 деталей. После четырех дней работы осталось сделать:
$1488 \text{ деталей} - 192 \text{ детали} = 1296 \text{ деталей}$

4. Определим новый состав бригады и ее новую производительность.
К бригаде присоединилось еще 3 человека. Количество рабочих стало:
$6 + 3 = 9 \text{ человек}$
Теперь производительность бригады составляет:
$9 \text{ человек} \times 8 \text{ деталей/день} = 72 \text{ детали/день}$

5. Рассчитаем, сколько дней потребуется обновленной бригаде для выполнения оставшейся части заказа.
Оставшиеся 1296 деталей бригада будет изготавливать с новой производительностью:
$1296 \text{ деталей} / 72 \text{ детали/день} = 18 \text{ дней}$

6. Найдем общее количество дней, затраченных на выполнение всего заказа.
Сложим дни, которые бригада работала до и после пополнения:
$4 \text{ дня} + 18 \text{ дней} = 22 \text{ дня}$

Ответ: 22 дня.

33. Автомобиль проехал в первый день 82 км, во второй 105 км и в третий 118 км. На эти поездки было израсходовано 38 кг 125 г бензина, поровну на каждый километр пути. Сколько бензина израсходовали отдельно в первый, во второй и в третий день?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдем общее расстояние, которое проехал автомобиль за три дня.

Для этого сложим расстояния, пройденные в каждый из дней:

$82 \text{ км} + 105 \text{ км} + 118 \text{ км} = 305 \text{ км}$

2. Переведем общий расход бензина в одну единицу измерения (граммы).

В 1 килограмме 1000 граммов, поэтому:

$38 \text{ кг } 125 \text{ г} = 38 \cdot 1000 \text{ г} + 125 \text{ г} = 38000 \text{ г} + 125 \text{ г} = 38125 \text{ г}$

3. Узнаем, сколько бензина расходуется на 1 километр пути.

Разделим общий расход бензина на общее расстояние:

$38125 \text{ г} \div 305 \text{ км} = 125 \text{ г/км}$

4. Рассчитаем расход бензина для каждого дня.

В первый день:
Умножим расстояние первого дня на расход на 1 км:
$82 \text{ км} \cdot 125 \text{ г/км} = 10250 \text{ г}$
Переведем обратно в килограммы и граммы: $10250 \text{ г} = 10 \text{ кг } 250 \text{ г}$.
Ответ: в первый день израсходовали 10 кг 250 г бензина.

Во второй день:
Умножим расстояние второго дня на расход на 1 км:
$105 \text{ км} \cdot 125 \text{ г/км} = 13125 \text{ г}$
Переведем обратно в килограммы и граммы: $13125 \text{ г} = 13 \text{ кг } 125 \text{ г}$.
Ответ: во второй день израсходовали 13 кг 125 г бензина.

В третий день:
Умножим расстояние третьего дня на расход на 1 км:
$118 \text{ км} \cdot 125 \text{ г/км} = 14750 \text{ г}$
Переведем обратно в килограммы и граммы: $14750 \text{ г} = 14 \text{ кг } 750 \text{ г}$.
Ответ: в третий день израсходовали 14 кг 750 г бензина.

34. Из одного города в 7 ч утра выехал грузовик со скоростью 46 км/ч. В 10 ч утра того же дня вслед за ним выехал легковой автомобиль со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти машины в 2 ч дня?

Для того чтобы найти расстояние между машинами в 2 часа дня (14:00), нужно определить, какой путь прошла каждая машина к этому моменту, и затем найти разницу этих расстояний.

1. Определим путь грузовика.

Грузовик выехал в 7 часов утра. Время, которое он будет находиться в пути до 2 часов дня (14:00), составляет:
$t_{грузовик} = 14 \text{ ч} - 7 \text{ ч} = 7 \text{ часов}$.
Зная скорость грузовика ($v_{грузовик} = 46$ км/ч), можно вычислить пройденное им расстояние:
$S_{грузовик} = v_{грузовик} \times t_{грузовик} = 46 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 322 \text{ км}$.

2. Определим путь легкового автомобиля.

Легковой автомобиль выехал в 10 часов утра. Время, которое он будет находиться в пути до 2 часов дня (14:00), составляет:
$t_{авто} = 14 \text{ ч} - 10 \text{ ч} = 4 \text{ часа}$.
Зная скорость легкового автомобиля ($v_{авто} = 70$ км/ч), можно вычислить пройденное им расстояние:
$S_{авто} = v_{авто} \times t_{авто} = 70 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 280 \text{ км}$.

3. Найдем расстояние между машинами.

Поскольку обе машины движутся в одном направлении из одного города, расстояние между ними будет равно разности пройденных ими путей. К 14:00 грузовик проехал большее расстояние, поэтому он будет впереди.
$\Delta S = S_{грузовик} - S_{авто} = 322 \text{ км} - 280 \text{ км} = 42 \text{ км}$.

Ответ: в 2 часа дня машины будут находиться на расстоянии 42 км друг от друга.

35. В фермерском хозяйстве засеяли хлопком участок земли, длина которого 1 км 250 м, а ширина 600 м. С каждого гектара собрали по 2625 кг хлопка-сырца. Масса волокна составляет одну треть массы хлопка-сырца. Сколько волокна получили с этого участка?

Для того чтобы найти, сколько волокна получили с участка, необходимо последовательно выполнить несколько вычислений.

1. Определение площади участка

Сначала приведем все единицы измерения к метрам. Длина участка составляет 1 км 250 м.

Поскольку $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, то длина участка равна:

$1000 \text{ м} + 250 \text{ м} = 1250 \text{ м}$.

Ширина участка равна $600 \text{ м}$.

Теперь вычислим площадь ($S$) участка как произведение длины на ширину:

$S = 1250 \text{ м} \times 600 \text{ м} = 750\,000 \text{ м}^2$.

2. Перевод площади в гектары

Урожайность дана в килограммах с гектара, поэтому переведем площадь участка в гектары. Известно, что $1 \text{ га} = 10\,000 \text{ м}^2$.

$S = 750\,000 \text{ м}^2 : 10\,000 \text{ м}^2/\text{га} = 75 \text{ га}$.

3. Расчет общей массы собранного хлопка-сырца

С каждого гектара было собрано 2 625 кг хлопка-сырца. Чтобы найти общую массу урожая, умножим площадь участка в гектарах на урожайность:

$75 \text{ га} \times 2\,625 \text{ кг/га} = 196\,875 \text{ кг}$.

Таким образом, общая масса хлопка-сырца составляет 196 875 кг.

4. Расчет массы волокна

Согласно условию, масса волокна составляет одну треть от массы хлопка-сырца. Найдем эту величину:

$196\,875 \text{ кг} \div 3 = 65\,625 \text{ кг}$.

Ответ: с этого участка получили 65 625 кг волокна.

36. В городе было 400 автобусов, которые перевозили за день 395 200 пассажиров. Через некоторое время число автобусов увеличилось на 120. Сколько людей могут перевезти все эти автобусы в месяц (30 дней)?

Для решения задачи сначала определим, сколько пассажиров в среднем перевозит один автобус за один день. Для этого разделим общее суточное количество пассажиров на первоначальное количество автобусов.

$395200 \div 400 = 988$ пассажиров

Это означает, что один автобус перевозит 988 пассажиров в день.

Затем найдем новое общее количество автобусов в городе.

$400 + 120 = 520$ автобусов

Теперь вычислим, сколько пассажиров смогут перевезти все 520 автобусов за один день, исходя из того, что производительность каждого автобуса осталась прежней.

$520 \times 988 = 513760$ пассажиров

Наконец, рассчитаем, сколько людей перевезут все автобусы за месяц, состоящий из 30 дней.

$513760 \times 30 = 15412800$ человек

Ответ: 15 412 800 человек.