Страница 17, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

3 Рассмотрим, как вычислено частное $872 : 4$. Объясни, как выполнить деление и проверку.

1 Делим сотни:

$8 \text{ сот.} : 4 = 2 \text{ сот.}$

Проверяем: $2 \cdot 4 = 8$. Остатка нет.

В частном на месте сотен пишем 2.

Деление в столбик:

- 8724

8 1218

-----

7

- 4

-----

32

- 32

-----

0

2 Делим десятки:

7 дес. на 4. В частном будет 1 дес.

Проверяем, сколько десятков мы разделили: $1 \cdot 4 = 4$.

Вычитаем: $7 - 4 = 3$. Осталось разделить 3 дес., или 30 ед.

В частном на месте десятков пишем 1.

3 Делим единицы:

$32 \text{ ед.} : 4 = 8 \text{ ед.}$

Проверяем: $8 \cdot 4 = 32$. Остатка нет.

В частном на месте единиц пишем 8.

Проверка

218

x 4

-----

872

Ответ. 218.

Для того чтобы разделить число 872 на 4, выполним деление столбиком, двигаясь от старших разрядов (сотен) к младшим (единицам).

1. Делим сотни: Начинаем деление с сотен. Первое неполное делимое — 8 сотен. Делим 8 на 4.
$8 : 4 = 2$.
Получаем 2 сотни. Записываем цифру 2 в частное на место сотен.
Проверяем, сколько сотен мы разделили: умножаем 2 на 4.
$2 \cdot 4 = 8$.
Вычитаем 8 из 8, остатка нет.

2. Делим десятки: Сносим следующую цифру делимого — 7 десятков. Второе неполное делимое — 7. Делим 7 на 4. Ближайшее к 7 число, которое делится на 4 без остатка, это 4.
$4 : 4 = 1$.
В частное на место десятков записываем 1.
Проверяем, сколько десятков мы разделили: умножаем 1 на 4.
$1 \cdot 4 = 4$.
Вычитаем 4 из 7, чтобы найти остаток.
$7 - 4 = 3$.
Остаток — 3 десятка.

3. Делим единицы: К остатку 3 десятка сносим следующую цифру делимого — 2 единицы. Получаем третье неполное делимое — 32. Делим 32 на 4.
$32 : 4 = 8$.
В частное на место единиц записываем 8.
Проверяем: умножаем 8 на 4.
$8 \cdot 4 = 32$.
Вычитаем 32 из 32.
$32 - 32 = 0$.
Остаток равен 0. Деление завершено.

Частное равно 218.

Ответ: 218.

Проверка:

Чтобы проверить, правильно ли выполнено деление, нужно частное умножить на делитель. Если результат будет равен делимому, то вычисление верное.

Умножаем частное 218 на делитель 4:
$218 \cdot 4 = 872$.
Результат умножения (872) совпадает с исходным делимым (872), значит, деление выполнено правильно.

4 Выполни деление и сделай проверку по образцу из предыдущего задания.

$693 : 3$ $432 : 2$ $516 : 6$ $376 : 8$

693 : 3

Выполним деление столбиком:
1. Делим сотни: $6 : 3 = 2$. Записываем 2 в частное. Умножаем $2 \cdot 3 = 6$. Вычитаем $6 - 6 = 0$.
2. Сносим десятки: 9. Делим $9 : 3 = 3$. Записываем 3 в частное. Умножаем $3 \cdot 3 = 9$. Вычитаем $9 - 9 = 0$.
3. Сносим единицы: 3. Делим $3 : 3 = 1$. Записываем 1 в частное. Умножаем $1 \cdot 3 = 3$. Вычитаем $3 - 3 = 0$.
Результат деления: $693 : 3 = 231$.

Проверка:
Для проверки умножим частное на делитель:
$231 \cdot 3 = 693$.
$693 = 693$.
Деление выполнено верно.
Ответ: 231.

432 : 2

Выполним деление столбиком:
1. Делим сотни: $4 : 2 = 2$. Записываем 2 в частное. Умножаем $2 \cdot 2 = 4$. Вычитаем $4 - 4 = 0$.
2. Сносим десятки: 3. Делим $3 : 2 = 1$ (остаток 1). Записываем 1 в частное. Умножаем $1 \cdot 2 = 2$. Вычитаем $3 - 2 = 1$.
3. К остатку 1 сносим единицы: 2. Получаем 12. Делим $12 : 2 = 6$. Записываем 6 в частное. Умножаем $6 \cdot 2 = 12$. Вычитаем $12 - 12 = 0$.
Результат деления: $432 : 2 = 216$.

Проверка:
Для проверки умножим частное на делитель:
$216 \cdot 2 = 432$.
$432 = 432$.
Деление выполнено верно.
Ответ: 216.

516 : 6

Выполним деление столбиком:
1. 5 сотен нельзя разделить на 6, чтобы получить сотни. Поэтому делим 51 десяток. $51 : 6$. Ближайшее меньшее число, кратное 6, это 48. $48 : 6 = 8$. Записываем 8 в частное (в разряд десятков). Умножаем $8 \cdot 6 = 48$. Вычитаем $51 - 48 = 3$. Остаток 3 десятка.
2. К остатку 3 сносим единицы: 6. Получаем 36. Делим $36 : 6 = 6$. Записываем 6 в частное (в разряд единиц). Умножаем $6 \cdot 6 = 36$. Вычитаем $36 - 36 = 0$.
Результат деления: $516 : 6 = 86$.

Проверка:
Для проверки умножим частное на делитель:
$86 \cdot 6 = 516$.
$516 = 516$.
Деление выполнено верно.
Ответ: 86.

376 : 8

Выполним деление столбиком:
1. 3 сотни нельзя разделить на 8, чтобы получить сотни. Поэтому делим 37 десятков. $37 : 8$. Ближайшее меньшее число, кратное 8, это 32. $32 : 8 = 4$. Записываем 4 в частное (в разряд десятков). Умножаем $4 \cdot 8 = 32$. Вычитаем $37 - 32 = 5$. Остаток 5 десятков.
2. К остатку 5 сносим единицы: 6. Получаем 56. Делим $56 : 8 = 7$. Записываем 7 в частное (в разряд единиц). Умножаем $7 \cdot 8 = 56$. Вычитаем $56 - 56 = 0$.
Результат деления: $376 : 8 = 47$.

Проверка:
Для проверки умножим частное на делитель:
$47 \cdot 8 = 376$.
$376 = 376$.
Деление выполнено верно.
Ответ: 47.

5 Завод отправил заказчикам по железной дороге 965 труб, погрузив их поровну в 5 товарных вагонов. Сколько труб было в каждом вагоне?

Для того чтобы найти, сколько труб было в каждом вагоне, необходимо общее количество труб разделить на количество вагонов, так как по условию их погрузили поровну.

Общее количество труб — 965.
Количество вагонов — 5.

Выполним деление общего количества труб на количество вагонов:
$965 \div 5 = 193$

Таким образом, в каждом вагоне было по 193 трубы.

Для проверки можно выполнить обратное действие — умножение. Умножим полученное количество труб в одном вагоне на общее количество вагонов:
$193 \times 5 = 965$
Результат совпадает с исходным количеством труб, значит, решение верное.

Ответ: в каждом вагоне было 193 трубы.

6 Из 960 листов бумаги сделали тетради, использовав по 8 листов на каждую. Сколько тетрадей изготовили?

Чтобы найти, сколько тетрадей было изготовлено, необходимо общее количество листов бумаги разделить на количество листов, которое требуется для одной тетради.
По условию задачи, всего было 960 листов бумаги, а на каждую тетрадь уходило по 8 листов.
Выполним операцию деления:
$960 \div 8 = 120$
Следовательно, было изготовлено 120 тетрадей.
Ответ: 120 тетрадей.

7 За 3 одинаковых мяча заплатили 975 р., а за 4 одинаковые машинки — 1 000 р. Что дороже: одна машинка или один мяч? На сколько рублей дороже?

Для того чтобы ответить на вопросы задачи, необходимо сначала определить стоимость одного мяча и одной машинки.

1. Вычислим стоимость одного мяча. Известно, что за 3 мяча заплатили 975 рублей. Чтобы найти цену одного мяча, нужно общую стоимость разделить на количество мячей:

$975 \div 3 = 325$ (рублей)

Таким образом, один мяч стоит 325 рублей.

2. Вычислим стоимость одной машинки. Известно, что за 4 машинки заплатили 1 000 рублей. Чтобы найти цену одной машинки, нужно общую стоимость разделить на количество машинок:

$1000 \div 4 = 250$ (рублей)

Таким образом, одна машинка стоит 250 рублей.

Теперь, зная цену каждого предмета, можно ответить на вопросы.

Что дороже: одна машинка или один мяч?

Сравним стоимость одного мяча и одной машинки: 325 рублей и 250 рублей. Поскольку $325 > 250$, один мяч дороже, чем одна машинка.

Ответ: один мяч.

На сколько рублей дороже?

Чтобы найти, на сколько рублей мяч дороже машинки, нужно из стоимости мяча вычесть стоимость машинки:

$325 - 250 = 75$ (рублей)

Ответ: на 75 рублей.

10 Найди площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания $a$ выберем горизонтальную сторону треугольника. Посчитав клетки, видим, что её длина составляет 6 единиц.

Высота $h$ — это перпендикуляр, опущенный из верхней вершины на основание. Её длина, посчитанная по клеткам, равна 4 единицам.

Теперь подставим найденные значения в формулу и вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$ (квадратных единиц).

Ответ: 12 квадратных единиц.

Заполни пропуски такими цифрами, чтобы получились верные записи.

$\begin{array}{r}3\Box8\Box \\+21\Box5 \\\hline\Box082\end{array}$

$\begin{array}{r}824051 \\-\Box\Box\Box\Box\Box\Box \\\hline157038\end{array}$

$\begin{array}{r}90\Box\Box5 \\-\Box957\Box \\\hline2\Box103\end{array}$

Первый пример

Дан пример на сложение, в котором нужно заполнить пропуски:

 3 _ 8 _+ 2 1 _ 5----------- _ 0 8 2

Решение будем проводить поразрядно, справа налево.

1. Разряд единиц: В последнем разряде сумма _ + 5 должна давать число, оканчивающееся на 2. Единственная цифра, которая удовлетворяет этому условию, это 7, так как $7 + 5 = 12$. Мы записываем 2 в результат и переносим 1 в разряд десятков.
2. Разряд десятков: Теперь складываем цифры в разряде десятков с учетом переноса: $8 + \_ + 1$. Эта сумма должна оканчиваться на 8. Так как $8 + 1 = 9$, то чтобы получить 18, нужно прибавить 9. Значит, пропущенная цифра — 9. $8 + 9 + 1 = 18$. Записываем 8 в результат и переносим 1 в разряд сотен.
3. Разряд сотен: Складываем цифры в разряде сотен: $\_ + 1 + 1$ (перенос). Сумма должна оканчиваться на 0. $1 + 1 = 2$. Чтобы получить 10, нужно прибавить 8. Значит, пропущенная цифра — 8. $8 + 1 + 1 = 10$. Записываем 0 в результат и переносим 1 в разряд тысяч.
4. Разряд тысяч: Складываем цифры в разряде тысяч: $3 + 2 + 1$ (перенос). $3 + 2 + 1 = 6$. Значит, последняя пропущенная цифра в ответе — 6.

В результате получаем:

 3 8 8 7+ 2 1 9 5----------- 6 0 8 2

Ответ: $3887 + 2195 = 6082$.

Второй пример

Дан пример на вычитание с пропущенными цифрами:

 8 2 4 0 5 1- _ _ _ _ _ _---------------- 1 5 7 0 3 8

Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. То есть, необходимо вычислить $824051 - 157038$.

1. Разряд единиц: $1 - 8$. Занимаем 1 из разряда десятков. $11 - 8 = 3$.
2. Разряд десятков: В разряде десятков было 5, стало 4. $4 - 3 = 1$.
3. Разряд сотен: $0 - 0 = 0$.
4. Разряд тысяч: $4 - 7$. Занимаем 1 из разряда десятков тысяч. $14 - 7 = 7$.
5. Разряд десятков тысяч: Было 2, стало 1. Занимаем 1 из разряда сотен тысяч. $11 - 5 = 6$.
6. Разряд сотен тысяч: Было 8, стало 7. $7 - 1 = 6$.

Таким образом, пропущенное число — 667013. Заполненный пример:

 8 2 4 0 5 1- 6 6 7 0 1 3---------------- 1 5 7 0 3 8

Ответ: $824051 - 667013 = 157038$.

Третий пример

Дан пример на вычитание с пропущенными цифрами:

 9 0 _ _ 5- _ 9 5 7 _------------- 2 _ 1 0 3

Решение будем проводить поразрядно, справа налево.

1. Разряд единиц: $5 - \_ = 3$. Чтобы найти пропущенную цифру в вычитаемом, вычитаем из 5 число 3: $5 - 3 = 2$.
2. Разряд десятков: $\_ - 7 = 0$. Пропущенная цифра в уменьшаемом равна $0 + 7 = 7$.
3. Разряд сотен: $\_ - 5 = 1$. Пропущенная цифра в уменьшаемом равна $1 + 5 = 6$.
4. Разряд тысяч: $0 - 9$. Необходимо занять 1 из старшего разряда (десятков тысяч). Получаем $10 - 9 = 1$. Значит, пропущенная цифра в разности — 1.
5. Разряд десятков тысяч: В уменьшаемом было 9, но после того, как мы заняли 1, осталось 8. Теперь $8 - \_ = 2$. Пропущенная цифра в вычитаемом равна $8 - 2 = 6$.

В результате получаем:

 9 0 6 7 5- 6 9 5 7 2------------- 2 1 1 0 3

Ответ: $90675 - 69572 = 21103$.

2 Вырази в секундах: 6 мин; 15 мин; 9 мин 2 с; 23 мин 18 с.

Чтобы выразить указанные значения в секундах, необходимо знать, что в одной минуте содержится 60 секунд ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$).

6 мин
Для перевода 6 минут в секунды, нужно умножить количество минут на 60.
$6 \text{ мин} = 6 \times 60 \text{ с} = 360 \text{ с}$.
Ответ: 360 с.

15 мин
Аналогично, умножаем 15 минут на 60.
$15 \text{ мин} = 15 \times 60 \text{ с} = 900 \text{ с}$.
Ответ: 900 с.

9 мин 2 с
Сначала переводим минуты в секунды, а затем к полученному значению прибавляем оставшиеся секунды.
$9 \text{ мин } 2 \text{ с} = (9 \times 60) \text{ с} + 2 \text{ с} = 540 \text{ с} + 2 \text{ с} = 542 \text{ с}$.
Ответ: 542 с.

23 мин 18 с
Переводим 23 минуты в секунды и прибавляем к результату 18 секунд.
$23 \text{ мин } 18 \text{ с} = (23 \times 60) \text{ с} + 18 \text{ с} = 1380 \text{ с} + 18 \text{ с} = 1398 \text{ с}$.
Ответ: 1398 с.

3 На сколько единиц увеличится число 284, если приписать к нему справа:

1) один нуль;

2) два нуля;

3) три нуля?

Чтобы определить, на сколько единиц увеличится число, нужно из нового (полученного после приписывания нулей) числа вычесть исходное число (284).

1) один нуль

Если к числу 284 приписать справа один нуль, то получится число 2840. Теперь найдем разницу между новым и исходным числом: $2840 - 284 = 2556$. Значит, число увеличится на 2556 единиц.

Ответ: на 2556.

2) два нуля

Если к числу 284 приписать справа два нуля, то получится число 28400. Найдем разницу между новым и исходным числом: $28400 - 284 = 28116$. Значит, число увеличится на 28116 единиц.

Ответ: на 28116.

3) три нуля

Если к числу 284 приписать справа три нуля, то получится число 284000. Найдем разницу между новым и исходным числом: $284000 - 284 = 283716$. Значит, число увеличится на 283716 единиц.

Ответ: на 283716.

4 На сколько единиц уменьшится число 75 000, если отбросить у него справа:

1) один нуль;

2) два нуля;

3) три нуля?

1) один нуль

Если у числа 75 000 отбросить один нуль справа, получится число 7 500. Чтобы найти, на сколько единиц уменьшилось исходное число, нужно вычислить разность между ними.

$75000 - 7500 = 67500$

Ответ: 67 500

2) два нуля

Если у числа 75 000 отбросить два нуля справа, получится число 750. Вычислим, на сколько уменьшилось исходное число:

$75000 - 750 = 74250$

Ответ: 74 250

3) три нуля

Если у числа 75 000 отбросить три нуля справа, получится число 75. Найдем разность между исходным и новым числом, чтобы определить величину уменьшения:

$75000 - 75 = 74925$

Ответ: 74 925

5 За три рабочие смены фабрика изготовила 1 680 м ткани. Первая и вторая смены изготовили вместе 970 м ткани, вторая и третья — 1 060 м. Сколько метров ткани изготовила каждая смена?

Для решения этой задачи мы последовательно найдем, сколько метров ткани изготовила каждая из трех смен.

Сколько изготовила третья смена

Всего за три смены было изготовлено $1680$ м ткани. При этом первая и вторая смены вместе изготовили $970$ м. Чтобы найти выработку третьей смены, нужно из общего количества ткани вычесть количество, изготовленное первыми двумя сменами.

$1680 - 970 = 710$ (м)

Ответ: третья смена изготовила 710 м ткани.

Сколько изготовила первая смена

Известно, что общее количество изготовленной ткани составляет $1680$ м, а вторая и третья смены вместе изготовили $1060$ м. Чтобы найти, сколько ткани изготовила первая смена, вычтем из общего количества выработку второй и третьей смен.

$1680 - 1060 = 620$ (м)

Ответ: первая смена изготовила 620 м ткани.

Сколько изготовила вторая смена

Теперь, зная выработку первой смены ($620$ м), мы можем найти выработку второй смены. Нам известно, что первая и вторая смены вместе изготовили $970$ м. Вычтем из этого общего значения выработку первой смены.

$970 - 620 = 350$ (м)

Для проверки можно использовать и другие данные. Вторая и третья смены изготовили $1060$ м, а третья смена — $710$ м. Тогда выработка второй смены равна:

$1060 - 710 = 350$ (м)

Результаты совпадают, следовательно, расчет верный.

Ответ: вторая смена изготовила 350 м ткани.

6 Начерти в тетради такой отрезок AD, как на рисунке.

Вспомни свойства диагоналей квадрата.

Попробуй восстановить квадрат ABDC по его диагонали AD.

Для решения задачи необходимо вспомнить ключевые свойства диагоналей квадрата:
1. Диагонали квадрата равны между собой.
2. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом (перпендикулярны).
3. Точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам.
Это означает, что вторая диагональ квадрата, BC, будет равна по длине и перпендикулярна данной диагонали AD, а также будет проходить через ее середину.
Ответ: Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Построение квадрата ABDC по диагонали AD выполняется в несколько шагов:
Шаг 1: Находим середину диагонали AD.
Посмотрим на рисунок. Длина отрезка AD составляет 10 клеток. Его середина, которую мы назовем точкой O, будет находиться на расстоянии 5 клеток от точки A и 5 клеток от точки D.
Шаг 2: Строим вторую диагональ BC.
Согласно свойствам, вторая диагональ BC должна быть перпендикулярна AD и проходить через точку O. Так как отрезок AD горизонтален, отрезок BC будет вертикальным. Длина BC также должна быть равна 10 клеткам. Поскольку точка O является серединой BC, отложим от точки O по $10 / 2 = 5$ клеток вверх и вниз. Отмеченная сверху точка будет вершиной B, а снизу — вершиной C.
Шаг 3: Соединяем вершины.
Последовательно соединяем точки отрезками в порядке A, B, D, C. Полученная фигура ABDC и есть искомый квадрат.

Ответ: Для восстановления квадрата нужно найти середину O диагонали AD, провести через нее перпендикулярный отрезок BC такой же длины (так, чтобы O была его серединой), и затем последовательно соединить вершины A, B, D, C.