Страница 92, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1. Составь все возможные трёхзначные числа, используя цифры 4 и 7. (Цифры в записи одного числа могут повторяться.) Вычисли разность самого большого и самого маленького из записанных чисел. Подчеркни числа, в которых 4 десятка.

Составь все возможные трёхзначные числа, используя цифры 4 и 7.
Каждое трёхзначное число состоит из трёх разрядов: сотен, десятков и единиц. По условию, для каждого разряда мы можем использовать цифру 4 или 7. Поскольку цифры могут повторяться, количество всех возможных комбинаций равно $2 \times 2 \times 2 = 8$.
Перечислим все эти числа в порядке возрастания:
444, 447, 474, 477, 744, 747, 774, 777.
Ответ: 444, 447, 474, 477, 744, 747, 774, 777.

Вычисли разность самого большого и самого маленького из записанных чисел.
Для нахождения самого большого числа нужно на все позиции, начиная со старшего разряда (сотни), поставить наибольшую из возможных цифр. В нашем случае это цифра 7. Таким образом, самое большое число — 777.
Для нахождения самого маленького числа нужно на все позиции, начиная со старшего разряда, поставить наименьшую из возможных цифр. В нашем случае это цифра 4. Таким образом, самое маленькое число — 444.
Теперь вычислим их разность: $777 - 444 = 333$.
Ответ: 333.

Подчеркни числа, в которых 4 десятка.
Условие "4 десятка" означает, что в разряде десятков (вторая цифра справа) должна стоять цифра 4. Выберем из нашего списка чисел те, которые удовлетворяют этому условию.
Список всех чисел: 444, 447, 474, 477, 744, 747, 774, 777.
Числа, у которых в разряде десятков стоит цифра 4: 444, 447, 744, 747.
В соответствии с заданием, подчеркнём эти числа.
Ответ: 444, 447, 744, 747.

2. Сравни.

3 м 185 см 1 ч 20 мин 120 мин 5 м 8 дм 85 см

20 дм 2 м 4 ч 240 мин 10 дм 115 см

3 м и 185 см

Чтобы сравнить эти значения, приведем их к одной единице измерения. Удобнее всего перевести метры в сантиметры. Мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров.

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Следовательно, 3 метра будут равны:

$3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$

Теперь сравним полученное значение с 185 см:

$300 \text{ см} > 185 \text{ см}$

Ответ: $3 \text{ м} > 185 \text{ см}$

20 дм и 2 м

Для сравнения переведем одну из величин. Переведем метры в дециметры. В одном метре 10 дециметров.

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Тогда 2 метра равны:

$2 \text{ м} = 2 \times 10 \text{ дм} = 20 \text{ дм}$

Теперь сравним значения:

$20 \text{ дм} = 20 \text{ дм}$

Ответ: $20 \text{ дм} = 2 \text{ м}$

1 ч 20 мин и 120 мин

Чтобы сравнить эти временные промежутки, выразим 1 час 20 минут полностью в минутах. В одном часе 60 минут.

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$

$1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 80 \text{ мин}$

Теперь сравним 80 минут и 120 минут:

$80 \text{ мин} < 120 \text{ мин}$

Ответ: $1 \text{ ч } 20 \text{ мин} < 120 \text{ мин}$

4 ч и 240 мин

Переведем часы в минуты для сравнения. В одном часе 60 минут.

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$

Следовательно, 4 часа равны:

$4 \text{ ч} = 4 \times 60 \text{ мин} = 240 \text{ мин}$

Сравниваем полученные значения:

$240 \text{ мин} = 240 \text{ мин}$

Ответ: $4 \text{ ч} = 240 \text{ мин}$

5 м 8 дм и 85 см

Для сравнения приведем все величины к наименьшей единице измерения – сантиметрам. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

$5 \text{ м } 8 \text{ дм} = (5 \times 100 \text{ см}) + (8 \times 10 \text{ см}) = 500 \text{ см} + 80 \text{ см} = 580 \text{ см}$

Теперь сравним 580 см и 85 см:

$580 \text{ см} > 85 \text{ см}$

Ответ: $5 \text{ м } 8 \text{ дм} > 85 \text{ см}$

10 дм и 115 см

Переведем дециметры в сантиметры для проведения сравнения. В одном дециметре 10 сантиметров.

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Тогда 10 дециметров равны:

$10 \text{ дм} = 10 \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}$

Теперь сравним 100 см и 115 см:

$100 \text{ см} < 115 \text{ см}$

Ответ: $10 \text{ дм} < 115 \text{ см}$

3. Выполни действия.

$158 + 207 - 309$

$750 + 250 : 5$

$(97 + 186) \cdot 2$

$130 - 65 : 13 \cdot 5$

$10 \cdot (96 - 96 : 3)$

$(198 + 99) : 9$

$158 + 207 - 309$
При решении данного примера действия сложения и вычитания выполняются по порядку слева направо, так как они имеют одинаковый приоритет.
1. Первое действие – сложение: $158 + 207 = 365$.
2. Второе действие – вычитание: $365 - 309 = 56$.
Ответ: 56

$130 - 65 : 13 \cdot 5$
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
1. Первое действие – деление: $65 : 13 = 5$.
2. Второе действие – умножение: $5 \cdot 5 = 25$.
3. Третье действие – вычитание: $130 - 25 = 105$.
Ответ: 105

$750 + 250 : 5$
В этом примере сначала выполняется деление, так как оно имеет более высокий приоритет, чем сложение.
1. Первое действие – деление: $250 : 5 = 50$.
2. Второе действие – сложение: $750 + 50 = 800$.
Ответ: 800

$10 \cdot (96 - 96 : 3)$
Сначала выполняются действия в скобках. Внутри скобок первым выполняется деление, затем вычитание. Последним действием будет умножение.
1. Первое действие (в скобках) – деление: $96 : 3 = 32$.
2. Второе действие (в скобках) – вычитание: $96 - 32 = 64$.
3. Третье действие – умножение: $10 \cdot 64 = 640$.
Ответ: 640

$(97 + 186) \cdot 2$
Сначала выполняется действие в скобках (сложение), а затем умножение.
1. Первое действие – сложение в скобках: $97 + 186 = 283$.
2. Второе действие – умножение: $283 \cdot 2 = 566$.
Ответ: 566

$(198 + 99) : 9$
Сначала выполняется действие в скобках (сложение), а затем деление.
1. Первое действие – сложение в скобках: $198 + 99 = 297$.
2. Второе действие – деление: $297 : 9 = 33$.
Ответ: 33

4. Выполни деление столбиком и сделай проверку.

$936 : 3$

$810 : 2$

$752 : 8$

936 : 3

Выполним деление столбиком:
- Первое неполное делимое — 9 сотен. Делим $9$ на $3$, получаем $3$. Записываем $3$ в частное.
- Умножаем $3$ на $3$, получаем $9$. Вычитаем $9$ из $9$, остаток $0$.
- Сносим следующую цифру — 3 десятка. Делим $3$ на $3$, получаем $1$. Записываем $1$ в частное.
- Умножаем $1$ на $3$, получаем $3$. Вычитаем $3$ из $3$, остаток $0$.
- Сносим следующую цифру — 6 единиц. Делим $6$ на $3$, получаем $2$. Записываем $2$ в частное.
- Умножаем $2$ на $3$, получаем $6$. Вычитаем $6$ из $6$, остаток $0$.
Результат деления: $312$.

Проверка:
Для проверки умножим частное ($312$) на делитель ($3$).
$312 \times 3 = 936$
$936 = 936$. Деление выполнено верно.

Ответ: 312.

810 : 2

Выполним деление столбиком:
- Первое неполное делимое — 8 сотен. Делим $8$ на $2$, получаем $4$. Записываем $4$ в частное.
- Умножаем $4$ на $2$, получаем $8$. Вычитаем $8$ из $8$, остаток $0$.
- Сносим следующую цифру — 1 десяток. $1$ меньше $2$, поэтому в частное записываем $0$.
- Умножаем $0$ на $2$, получаем $0$. Вычитаем $0$ из $1$, остаток $1$.
- Сносим следующую цифру — 0 единиц. Получаем $10$. Делим $10$ на $2$, получаем $5$. Записываем $5$ в частное.
- Умножаем $5$ на $2$, получаем $10$. Вычитаем $10$ из $10$, остаток $0$.
Результат деления: $405$.

Проверка:
Умножим частное ($405$) на делитель ($2$).
$405 \times 2 = 810$
$810 = 810$. Деление выполнено верно.

Ответ: 405.

752 : 8

Выполним деление столбиком:
- Первая цифра делимого $7$ меньше делителя $8$, поэтому первое неполное делимое — 75 десятков.
- Делим $75$ на $8$. Ближайшее число к $75$, которое делится на $8$ — это $72$. $72 \div 8 = 9$. Записываем $9$ в частное.
- Умножаем $9$ на $8$, получаем $72$. Вычитаем $72$ из $75$, остаток $3$.
- Сносим следующую цифру — 2 единицы. Получаем $32$.
- Делим $32$ на $8$, получаем $4$. Записываем $4$ в частное.
- Умножаем $4$ на $8$, получаем $32$. Вычитаем $32$ из $32$, остаток $0$.
Результат деления: $94$.

Проверка:
Умножим частное ($94$) на делитель ($8$).
$94 \times 8 = 752$
$752 = 752$. Деление выполнено верно.

Ответ: 94.

5. Начерти окружность, диаметр которой равен 6 см.

Чтобы начертить окружность с заданным диаметром, необходимо сначала найти ее радиус. Радиус ($r$) — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней, и он равен половине диаметра ($d$).

Диаметр окружности по условию равен 6 см. Рассчитаем радиус, используя формулу:

$r = \frac{d}{2}$

Подставим известное значение диаметра в формулу:

$r = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

Следовательно, нам нужно начертить окружность с радиусом 3 см. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Отметьте на бумаге точку, которая будет центром окружности (например, точка O).
2. Возьмите циркуль и линейку. Установите раствор циркуля (расстояние между иголкой и грифелем) равным 3 см, отмерив его по линейке.
3. Поместите иголку циркуля в центр окружности — точку O.
4. Крепко удерживая иголку в центре, проведите грифелем замкнутую линию, вращая циркуль.

В результате будет начерчена окружность с радиусом 3 см, а ее диаметр будет равен $2 \cdot 3 = 6$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: Необходимо начертить окружность с радиусом 3 см, установив на циркуле расстояние в 3 см.

6. Построй прямоугольник ABCD с длиной 5 см и шириной 3 см. Проведи в нём диагонали. Точку пересечения диагоналей обозначь буквой O.

Найди на чертеже и запиши обозначения:

1) разносторонних треугольников;

2) равнобедренных треугольников.

Построим прямоугольник ABCD со сторонами, которые будем считать длиной и шириной, например, $AB = 5$ см и $BC = 3$ см. В прямоугольнике противоположные стороны равны ($AB = CD = 5$ см, $BC = AD = 3$ см), а все углы — прямые.

Проведем в нем диагонали AC и BD. Точку их пересечения обозначим O. Основное свойство диагоналей прямоугольника заключается в том, что они равны друг другу и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$.

Длину диагонали можно найти по теореме Пифагора для любого из четырех прямоугольных треугольников, образованных сторонами и диагональю (например, для $\triangle ABC$):
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$
$AC = \sqrt{34}$ см.

Теперь, зная длины всех отрезков на чертеже, определим типы получившихся треугольников.

1) разносторонних треугольников
Разносторонним называется треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. Таковыми являются большие прямоугольные треугольники, образованные двумя смежными сторонами и диагональю прямоугольника.

Например, в треугольнике $\triangle ABC$ длины сторон равны 3 см, 5 см и $\sqrt{34}$ см (приблизительно 5,83 см). Так как все три значения различны, треугольник является разносторонним. То же самое верно для трех других подобных треугольников.

Ответ: ABC, ADC, BCD, BAD.

2) равнобедренных треугольников
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Такие треугольники образуются при пересечении диагоналей. Поскольку диагонали точкой пересечения O делятся пополам, то отрезки $AO, BO, CO, DO$ равны между собой ($AO = BO = CO = DO = \frac{\sqrt{34}}{2}$ см).

Рассмотрим треугольники с вершиной в точке O:
- $\triangle AOB$: стороны $AO$ и $BO$ равны, значит, он равнобедренный.
- $\triangle BOC$: стороны $BO$ и $CO$ равны, значит, он равнобедренный.
- $\triangle COD$: стороны $CO$ и $DO$ равны, значит, он равнобедренный.
- $\triangle DOA$: стороны $DO$ и $AO$ равны, значит, он равнобедренный.

Ответ: AOB, BOC, COD, DOA.

7. Оля и Маша купили наборы бисера по одинаковой цене: Оля – 5 наборов, а Маша – 8. Оля заплатила на 63 р. меньше, чем Маша. Сколько рублей заплатила за бисер каждая девочка?

Для того чтобы ответить на вопрос, сперва найдем разницу в количестве наборов, которые купили девочки. Это позволит нам определить цену одного набора.

1. Узнаем, на сколько наборов больше купила Маша, чем Оля:

$8 - 5 = 3$ (набора)

Маша купила на 3 набора больше.

2. Найдем цену одного набора. По условию, Оля заплатила на 63 рубля меньше, что соответствует стоимости 3 наборов. Следовательно, цена одного набора:

$63 \div 3 = 21$ (рубль)

3. Теперь рассчитаем, сколько заплатила Оля. Она купила 5 наборов:

$5 \times 21 = 105$ (рублей)

4. Наконец, рассчитаем, сколько заплатила Маша. Она купила 8 наборов:

$8 \times 21 = 168$ (рублей)

Для проверки можно найти разницу в стоимости: $168 - 105 = 63$ рубля, что соответствует условию задачи.

Ответ: Оля заплатила 105 рублей, а Маша заплатила 168 рублей.

8. Сравни числа, в которых некоторые цифры заменены звёздочками.

25* 27* 38* 4** 5*1 15*

6** 8** *00 *0 *** **

25* и 27*
Для сравнения двух чисел, начинаем сравнивать их цифры поразрядно, слева направо (от старших разрядов к младшим). Оба числа трёхзначные. Цифра в разряде сотен у обоих чисел одинакова и равна 2. Переходим к разряду десятков. У первого числа в разряде десятков стоит цифра 5, а у второго – 7. Так как $5 < 7$, то первое число $25*$ всегда будет меньше второго числа $27*$, независимо от цифры в разряде единиц. Например, если вместо звёздочки поставить 0, получим $250 < 270$. Если поставить 9, получим $259 < 279$.
Ответ: $25* < 27*$.

38* и 4**
Оба числа являются трёхзначными. Сравниваем цифры в старшем разряде – разряде сотен. У первого числа это 3, а у второго – 4. Поскольку $3 < 4$, первое число $38*$ всегда будет меньше второго числа $4**$, какие бы цифры ни стояли на месте звёздочек. Наибольшее возможное значение для числа $38*$ – это 389, а наименьшее возможное для числа $4**$ – это 400. Очевидно, что $389 < 400$.
Ответ: $38* < 4**$.

5*1 и 15*
Оба числа являются трёхзначными. Сравниваем цифры в разряде сотен. У первого числа это 5, а у второго – 1. Так как $5 > 1$, первое число $5*1$ всегда будет больше второго числа $15*$. Наименьшее возможное значение для $5*1$ – это 501 (при звёздочке, равной 0), а наибольшее возможное значение для $15*$ – это 159 (при звёздочке, равной 9). Так как $501 > 159$, то и в общем случае первое число больше.
Ответ: $5*1 > 15*$.

6** и 8**
Оба числа являются трёхзначными. Сравниваем цифры в старшем разряде – разряде сотен. У первого числа это 6, а у второго – 8. Поскольку $6 < 8$, первое число $6**$ всегда будет меньше второго числа $8**$. Наибольшее возможное значение для $6**$ – это 699, а наименьшее для $8**$ – это 800. Так как $699 < 800$, то первое число меньше.
Ответ: $6** < 8**$.

*00 и *0
Первое число $(*00)$ является трёхзначным, так как первая цифра в записи числа не может быть нулём. Второе число $(*0)$ – двузначным. Любое трёхзначное натуральное число всегда больше любого двузначного. Наименьшее трёхзначное число, которое может быть записано как $*00$, – это 100. Наибольшее двузначное число, которое может быть записано как $*0$, – это 90. Так как $100 > 90$, то первое число всегда больше второго.
Ответ: $*00 > *0$.

*** и **
Первое число $(***)$ является трёхзначным, а второе число $(**)$ – двузначным. При сравнении натуральных чисел, число с большим количеством разрядов (цифр) всегда больше. Наименьшее трёхзначное число – это 100, а наибольшее двузначное – это 99. Так как $100 > 99$, любое трёхзначное число всегда больше любого двузначного.
Ответ: $*** > **$.

9. Расставь скобки так, чтобы получились верные записи.

$720 : 24 - 12 : 3 = 36$

$720 : 24 - 12 : 3 = 20$

$720 : 24 - 12 : 3 = 6$

$250 - 50 \cdot 2 + 2 = 402$

$250 - 50 \cdot 2 + 2 = 50$

$250 - 50 \cdot 2 + 2 = 148$

720 : 24 - 12 : 3 = 36
Чтобы получить в результате 36, необходимо 720 разделить на 20 ($720 : 20 = 36$). Попробуем получить 20 из выражения $24 - 12 : 3$. Для этого нужно изменить стандартный порядок действий, но так, чтобы деление выполнялось перед вычитанием. Заключим это выражение в скобки.
1. Сначала выполняем действия в скобках. Первым будет деление: $12 : 3 = 4$.
2. Затем вычитание в скобках: $24 - 4 = 20$.
3. Теперь делим 720 на результат в скобках: $720 : 20 = 36$.
Равенство верно. Скобки нужно поставить вокруг второй части выражения.
Ответ: $720 : (24 - 12 : 3) = 36$

720 : 24 - 12 : 3 = 20
Чтобы получить в результате 20, попробуем изменить порядок действий, выполнив сначала вычитание $24 - 12$. Для этого заключим его в скобки.
1. Вычисляем выражение в скобках: $24 - 12 = 12$.
2. Выполняем деление по порядку: $720 : 12 = 60$.
3. Выполняем второе деление: $60 : 3 = 20$.
Равенство верно.
Ответ: $720 : (24 - 12) : 3 = 20$

720 : 24 - 12 : 3 = 6
Чтобы получить такой маленький результат, как 6, можно предположить, что последнее действие — это деление на 3. Значит, результат выражения в скобках должен быть равен 18 ($18 : 3 = 6$). Попробуем поставить скобки вокруг первой части выражения.
1. Вычисляем выражение в скобках. Первым действием будет деление: $720 : 24 = 30$.
2. Затем вычитание: $30 - 12 = 18$.
3. Делим результат на 3: $18 : 3 = 6$.
Равенство верно.
Ответ: $(720 : 24 - 12) : 3 = 6$

250 - 50 · 2 + 2 = 402
Чтобы получить большой результат 402, необходимо, чтобы операция умножения применялась к большим числам. Попробуем сначала выполнить вычитание, заключив его в скобки.
1. Вычисляем выражение в скобках: $250 - 50 = 200$.
2. Умножаем результат на 2: $200 \cdot 2 = 400$.
3. Прибавляем 2: $400 + 2 = 402$.
Равенство верно.
Ответ: $(250 - 50) \cdot 2 + 2 = 402$

250 - 50 · 2 + 2 = 50
Чтобы в результате получилось 50, нужно из 250 вычесть 200 ($250 - 200 = 50$). Попробуем получить 200 из выражения $50 \cdot 2 + 2$. Для этого нужно сначала сложить 2 и 2.
1. Вычисляем выражение в скобках: $2 + 2 = 4$.
2. Выполняем умножение: $50 \cdot 4 = 200$.
3. Выполняем вычитание: $250 - 200 = 50$.
Равенство верно.
Ответ: $250 - 50 \cdot (2 + 2) = 50$

250 - 50 · 2 + 2 = 148
Чтобы получить 148, нужно из 250 вычесть 102 ($250 - 102 = 148$). Попробуем получить 102 из выражения $50 \cdot 2 + 2$. Для этого нужно выполнить оба действия до вычитания из 250.
1. Вычисляем выражение в скобках. Сначала умножение: $50 \cdot 2 = 100$.
2. Затем сложение: $100 + 2 = 102$.
3. Выполняем вычитание: $250 - 102 = 148$.
Равенство верно.
Ответ: $250 - (50 \cdot 2 + 2) = 148$

10. Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а длина одной его стороны 4 дм. Найди длины остальных сторон этого треугольника. Подумай, одно ли решение у этой задачи.

Для решения задачи сначала необходимо привести все величины к одной единице измерения. В одном метре содержится 10 дециметров, следовательно, периметр треугольника равен $10$ дм.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны (боковые) и одну сторону, которая может отличаться по длине (основание). Указанная в условии сторона длиной $4$ дм может быть как основанием, так и боковой стороной. Это означает, что у задачи может быть два варианта решения. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Данная сторона является основанием треугольника.

Если сторона длиной $4$ дм является основанием, то две другие (боковые) стороны равны между собой. Обозначим длину боковой стороны как $a$. Периметр $P$ треугольника равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + 4$.
Подставим известное значение периметра:
$10 = 2a + 4$
$2a = 10 - 4$
$2a = 6$
$a = 3$ дм.
Таким образом, стороны треугольника равны $3$ дм, $3$ дм и $4$ дм. Проверим, может ли существовать такой треугольник, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
$3 + 3 > 4$ ($6 > 4$ - верно)
$3 + 4 > 3$ ($7 > 3$ - верно)
Условие выполняется, следовательно, такое решение возможно.
Ответ: длины остальных сторон равны $3$ дм и $3$ дм.

Случай 2: Данная сторона является боковой стороной треугольника.

Если сторона длиной $4$ дм является боковой, то в треугольнике есть еще одна сторона такой же длины. Третья сторона будет являться основанием. Обозначим длину основания как $c$. Периметр $P$ в этом случае равен: $P = 4 + 4 + c$.
Подставим известное значение периметра:
$10 = 8 + c$
$c = 10 - 8$
$c = 2$ дм.
Таким образом, стороны треугольника равны $4$ дм, $4$ дм и $2$ дм. Снова проверим неравенство треугольника:
$4 + 4 > 2$ ($8 > 2$ - верно)
$4 + 2 > 4$ ($6 > 4$ - верно)
Это условие также выполняется, значит, такое решение тоже возможно.
Ответ: длины остальных сторон равны $4$ дм и $2$ дм.

В результате анализа мы видим, что у задачи есть два возможных решения, так как оба варианта удовлетворяют условиям и существованию треугольника.

2 Моторная лодка идёт против течения реки. За сколько часов она преодолеет расстояние 112 км, если её собственная скорость 30 $км/ч$, а скорость течения реки 2 $км/ч$?

Для решения задачи необходимо сначала определить скорость моторной лодки при движении против течения реки. Когда лодка идёт против течения, её скорость относительно берега уменьшается на величину скорости течения.

Обозначим собственную скорость лодки как $V_{собств.}$, скорость течения как $V_{теч.}$, а искомую скорость лодки против течения как $V_{против}$.

Формула для нахождения скорости против течения:

$V_{против} = V_{собств.} - V_{теч.}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$V_{собств.} = 30 \text{ км/ч}$

$V_{теч.} = 2 \text{ км/ч}$

Вычислим скорость лодки против течения:

$V_{против} = 30 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 28 \text{ км/ч}$

Теперь, зная скорость движения и расстояние, которое необходимо преодолеть ($S = 112$ км), мы можем найти время ($t$) по формуле:

$t = \frac{S}{V}$

Подставим значения в формулу:

$t = \frac{112 \text{ км}}{28 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: 4 часа.

3 Расстояние между двумя причалами на реке 120 км. Сколько времени потратит катер на путь от одного причала до другого, если его собственная скорость $27 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$?

Рассмотри два варианта:

1) Катер движется по течению реки

2) Катер движется против течения реки

Для решения этой задачи необходимо определить скорость катера в каждом из двух случаев, а затем, зная расстояние, вычислить время по формуле $t = S / V$, где $t$ – время, $S$ – расстояние, а $V$ – скорость.

Дано:

• Расстояние (S): 120 км
• Собственная скорость катера ($V_{собственная}$): 27 км/ч
• Скорость течения реки ($V_{течения}$): 3 км/ч

1) катер движется по течению реки;

Когда катер движется по течению, его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки.

Скорость катера по течению ($V_{по\;теч.}$):
$V_{по\;теч.} = V_{собственная} + V_{течения} = 27 + 3 = 30$ км/ч

Теперь рассчитаем время, необходимое для преодоления расстояния в 120 км с этой скоростью:

$t = S / V_{по\;теч.} = 120 / 30 = 4$ часа

Ответ: 4 часа.

2) катер движется против течения реки.

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения реки.

Скорость катера против течения ($V_{против\;теч.}$):
$V_{против\;теч.} = V_{собственная} - V_{течения} = 27 - 3 = 24$ км/ч

Теперь рассчитаем время, необходимое для преодоления расстояния в 120 км с этой скоростью:

$t = S / V_{против\;теч.} = 120 / 24 = 5$ часов

Ответ: 5 часов.

4 Выполни действия.

$2 \text{ ц } 17 \text{ кг } - 1 \text{ ц } 89 \text{ кг}$

$6 \text{ ц } 34 \text{ кг } - 2 \text{ ц } 78 \text{ кг}$

$17 \text{ ч } 4 \text{ мин } + 58 \text{ мин}$

$12 \text{ ч } 25 \text{ мин } - 9 \text{ ч } 48 \text{ мин}$

$7 \text{ т } 115 \text{ кг } - 3 \text{ т } 806 \text{ кг}$

$5 \text{ т } 20 \text{ кг } - 2 \text{ т } 945 \text{ кг}$

$60 \text{ км } 2 \text{ м } - 15 \text{ км } 39 \text{ м}$

$7 \text{ м } 1 \text{ дм } - 6 \text{ м } 25 \text{ см}$

2 ц 17 кг − 1 ц 89 кг
Чтобы выполнить вычитание, сначала сравним килограммы. Так как 17 кг меньше, чем 89 кг, нам нужно "занять" 1 центнер из 2 центнеров и перевести его в килограммы. В 1 центнере 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).
$2 \text{ ц } 17 \text{ кг} = 1 \text{ ц } + 1 \text{ ц } + 17 \text{ кг} = 1 \text{ ц } + 100 \text{ кг} + 17 \text{ кг} = 1 \text{ ц } 117 \text{ кг}$.
Теперь выполним вычитание:
$(1 \text{ ц } 117 \text{ кг}) - (1 \text{ ц } 89 \text{ кг}) = (1 - 1) \text{ ц } + (117 - 89) \text{ кг} = 0 \text{ ц } 28 \text{ кг}$.
Ответ: 28 кг.

6 ц 34 кг − 2 ц 78 кг
Здесь 34 кг меньше, чем 78 кг, поэтому "займем" 1 центнер из 6 центнеров. $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
$6 \text{ ц } 34 \text{ кг} = 5 \text{ ц } + 100 \text{ кг} + 34 \text{ кг} = 5 \text{ ц } 134 \text{ кг}$.
Выполняем вычитание:
$(5 \text{ ц } 134 \text{ кг}) - (2 \text{ ц } 78 \text{ кг}) = (5 - 2) \text{ ц } + (134 - 78) \text{ кг} = 3 \text{ ц } 56 \text{ кг}$.
Ответ: 3 ц 56 кг.

17 ч 4 мин + 58 мин
Сначала сложим минуты: $4 \text{ мин} + 58 \text{ мин} = 62 \text{ мин}$.
Так как в 1 часе 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$), представим 62 минуты в виде часов и минут:
$62 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 2 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 2 \text{ мин}$.
Теперь добавим полученный час к имеющимся 17 часам: $17 \text{ ч} + 1 \text{ ч } 2 \text{ мин} = 18 \text{ ч } 2 \text{ мин}$.
Ответ: 18 ч 2 мин.

12 ч 25 мин − 9 ч 48 мин
Поскольку 25 минут меньше, чем 48 минут, "займем" 1 час из 12 часов и переведем его в минуты. В 1 часе 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$).
$12 \text{ ч } 25 \text{ мин} = 11 \text{ ч } + 60 \text{ мин} + 25 \text{ мин} = 11 \text{ ч } 85 \text{ мин}$.
Теперь вычитаем:
$(11 \text{ ч } 85 \text{ мин}) - (9 \text{ ч } 48 \text{ мин}) = (11 - 9) \text{ ч } + (85 - 48) \text{ мин} = 2 \text{ ч } 37 \text{ мин}$.
Ответ: 2 ч 37 мин.

7 т 115 кг − 3 т 806 кг
Здесь 115 кг меньше 806 кг. "Займем" 1 тонну из 7 тонн. В 1 тонне 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).
$7 \text{ т } 115 \text{ кг} = 6 \text{ т } + 1000 \text{ кг} + 115 \text{ кг} = 6 \text{ т } 1115 \text{ кг}$.
Выполним вычитание:
$(6 \text{ т } 1115 \text{ кг}) - (3 \text{ т } 806 \text{ кг}) = (6 - 3) \text{ т } + (1115 - 806) \text{ кг} = 3 \text{ т } 309 \text{ кг}$.
Ответ: 3 т 309 кг.

5 т 20 кг − 2 т 945 кг
Поскольку 20 кг меньше 945 кг, "займем" 1 тонну из 5 тонн ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).
$5 \text{ т } 20 \text{ кг} = 4 \text{ т } + 1000 \text{ кг} + 20 \text{ кг} = 4 \text{ т } 1020 \text{ кг}$.
Теперь вычтем:
$(4 \text{ т } 1020 \text{ кг}) - (2 \text{ т } 945 \text{ кг}) = (4 - 2) \text{ т } + (1020 - 945) \text{ кг} = 2 \text{ т } 75 \text{ кг}$.
Ответ: 2 т 75 кг.

60 км 2 м − 15 км 39 м
Так как 2 метра меньше, чем 39 метров, "займем" 1 километр из 60 километров. В 1 километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
$60 \text{ км } 2 \text{ м} = 59 \text{ км } + 1000 \text{ м} + 2 \text{ м} = 59 \text{ км } 1002 \text{ м}$.
Выполняем вычитание:
$(59 \text{ км } 1002 \text{ м}) - (15 \text{ км } 39 \text{ м}) = (59 - 15) \text{ км } + (1002 - 39) \text{ м} = 44 \text{ км } 963 \text{ м}$.
Ответ: 44 км 963 м.

7 м 1 дм − 6 м 25 см
Сначала приведем все величины к одним единицам измерения — метрам и сантиметрам. В 1 дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), поэтому $7 \text{ м } 1 \text{ дм} = 7 \text{ м } 10 \text{ см}$.
Теперь выражение выглядит так: $7 \text{ м } 10 \text{ см} - 6 \text{ м } 25 \text{ см}$.
Так как 10 см меньше 25 см, "займем" 1 метр из 7 метров. В 1 метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
$7 \text{ м } 10 \text{ см} = 6 \text{ м } + 100 \text{ см} + 10 \text{ см} = 6 \text{ м } 110 \text{ см}$.
Выполняем вычитание:
$(6 \text{ м } 110 \text{ см}) - (6 \text{ м } 25 \text{ см}) = (6 - 6) \text{ м } + (110 - 25) \text{ см} = 0 \text{ м } 85 \text{ см}$.
Ответ: 85 см.

5 На изготовление одного кольца идёт 4 см 6 мм проволоки. Когда из куска проволоки сделали 25 колец, то осталось ещё 14 см 3 мм проволоки. Сколько было проволоки сначала?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько действий.

1. Сначала найдём, сколько всего проволоки ушло на изготовление 25 колец. Для этого длину проволоки, необходимую для одного кольца, умножим на количество сделанных колец. Для удобства вычислений переведём сантиметры в миллиметры.

Длина проволоки на одно кольцо: $4 \text{ см } 6 \text{ мм}$.
Поскольку в 1 сантиметре 10 миллиметров, то $4 \text{ см} = 4 \times 10 = 40 \text{ мм}$.
Значит, на одно кольцо идёт $40 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 46 \text{ мм}$ проволоки.

Теперь вычислим, сколько проволоки ушло на 25 колец:
$46 \text{ мм} \times 25 = 1150 \text{ мм}$.

2. Теперь к длине использованной проволоки нужно прибавить длину оставшегося куска, чтобы найти первоначальную длину всей проволоки.

Длина использованной проволоки: $1150 \text{ мм}$.
Длина оставшейся проволоки: $14 \text{ см } 3 \text{ мм}$. Переведём её тоже в миллиметры:
$14 \text{ см } 3 \text{ мм} = 14 \times 10 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 140 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 143 \text{ мм}$.

Сложим длину использованной и оставшейся проволоки:
$1150 \text{ мм} + 143 \text{ мм} = 1293 \text{ мм}$.

3. Переведём полученный результат обратно в сантиметры и миллиметры.

$1293 \text{ мм} = 1290 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 129 \text{ см } 3 \text{ мм}$.

Ответ: сначала было 129 см 3 мм проволоки.

6 На заводе работают 1 536 женщин, а мужчин работает в 8 раз больше. Две третьих всех работников завода составляют люди не старше 45 лет. Сколько на заводе работников, возраст которых больше 45 лет?

1. Найдем количество мужчин, работающих на заводе.
По условию задачи, на заводе работает 1 536 женщин, а мужчин в 8 раз больше. Чтобы найти количество мужчин, нужно количество женщин умножить на 8.
$1536 \cdot 8 = 12288$ (мужчин).

2. Найдем общее количество работников на заводе.
Для этого сложим количество женщин и количество мужчин.
$1536 + 12288 = 13824$ (работника).

3. Найдем, какую часть от всех работников составляют люди старше 45 лет.
Всех работников примем за единицу (1). По условию, две третьих ($ \frac{2}{3} $) всех работников — это люди не старше 45 лет. Следовательно, оставшаяся часть работников — это люди старше 45 лет. Вычтем из единицы известную часть:
$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (часть работников старше 45 лет).

4. Найдем количество работников, возраст которых больше 45 лет.
Теперь найдем одну третью ($ \frac{1}{3} $) от общего числа работников, которое равно 13 824.
$13824 \cdot \frac{1}{3} = \frac{13824}{3} = 4608$ (работников).
Ответ: 4608 работников.

7 Начерти в тетради квадрат, площадь которого в 100 раз меньше площади прямоугольника, длины сторон которого равны 50 см и 32 см.

Для того чтобы начертить квадрат, необходимо сначала найти длину его стороны. Для этого выполним следующие действия:

1. Найдем площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) равна произведению длин его сторон.
$S_{пр} = 50 \text{ см} \cdot 32 \text{ см} = 1600 \text{ см}^2$

2. Найдем площадь квадрата
Согласно условию, площадь квадрата ($S_{кв}$) в 100 раз меньше площади прямоугольника.
$S_{кв} = \frac{S_{пр}}{100} = \frac{1600 \text{ см}^2}{100} = 16 \text{ см}^2$

3. Найдем длину стороны квадрата
Сторона квадрата ($a_{кв}$) является квадратным корнем из его площади.
$a_{кв} = \sqrt{S_{кв}} = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$

Таким образом, в тетради необходимо начертить квадрат со стороной 4 см.

Ответ: нужно начертить квадрат со стороной 4 см.

8 На рисунке изображена фигура, составленная из спичек. Догадайся, как переложить 6 спичек с одного места на другое так, чтобы получилась фигура, составленная из 6 одинаковых четырёхугольников.

СОБСТВЕННАЯ

3 км/ч.

Сколько километров проедет

2 ч.

$88960 : 70 + 2021$

$10000 - 62400 : 400$

$58900 - (128 - 800 +$

км/ч

20 км/ч

Скорость

Скорость

Скорость течения

Задача состоит в том, чтобы, передвинув 6 спичек в исходной фигуре, получить новую фигуру, состоящую из 6 одинаковых четырёхугольников.

Шаг 1: Анализ исходной и конечной фигур

Исходная фигура представляет собой большой треугольник, сложенный из 18 спичек. Он, в свою очередь, состоит из 9 маленьких одинаковых равносторонних треугольников.

Конечная фигура должна состоять из 6 одинаковых четырёхугольников. Так как все спички (стороны) одинаковой длины, наиболее подходящими четырёхугольниками являются ромбы. Каждый такой ромб будет состоять из двух маленьких равносторонних треугольников. Таким образом, итоговая фигура должна иметь площадь, эквивалентную $6 \times 2 = 12$ маленьким треугольникам, и также состоять из 18 спичек.

Наиболее симметричная и устойчивая фигура из 6 ромбов, использующая 18 спичек — это гексагональная «снежинка», где 6 ромбов соединены в центре.

Шаг 2: Определение перемещаемых спичек

Чтобы превратить компактную треугольную фигуру в более "раскидистую" гексагональную, необходимо переместить спички с периферии. Логично предположить, что нужно "разобрать" три угла большого треугольника.

Нужно взять по две спички, образующие каждый из трёх углов большого треугольника:

• Две спички с самого верхнего угла.
• Две спички с левого нижнего угла (диагональная и горизонтальная).
• Две спички с правого нижнего угла (диагональная и горизонтальная).

Всего мы забираем $2 \times 3 = 6$ спичек.

Шаг 3: Построение итоговой фигуры

После того как мы убрали 6 спичек с углов, у нас осталась центральная часть фигуры, состоящая из 12 спичек. Эта фигура представляет собой гексаграмму (звезду Давида), состоящую из 6 треугольников, которые будут внутренними половинами наших будущих ромбов.

Теперь нужно расположить 6 убранных спичек так, чтобы достроить каждый из 6 треугольников до ромба. Мы добавляем по одной спичке к "остриям" каждого из 6 треугольников оставшейся фигуры. Эти 6 добавленных спичек образуют внешний периметр новой фигуры, замыкая её в 6 одинаковых ромбов.

В результате получается симметричная фигура из 6 одинаковых ромбов, соединенных в центре. Каждый ромб состоит из двух маленьких равносторонних треугольников. Фигура использует все 18 спичек.

Ответ: Необходимо взять по две спички с каждого из трёх углов исходного большого треугольника (всего 6 спичек). Оставшиеся 12 спичек образуют фигуру в виде шестиконечной звезды. Взятые 6 спичек нужно разместить на шести "вершинах" этой звезды, чтобы достроить каждый из 6 составляющих её треугольников до ромба.