Номер 4, страница 111, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

Диагонали прямоугольника (квадрата) и их свойства. Итоговое повторение всего изученного. ч. 2 - номер 4, страница 111.

4. Построить 4 прямых угла с общей вершиной можно и на нелинованной бумаге.

1) Отложи на прямой отрезок АВ. Радиусом, равным больше половины длины отрезка, проведи 2 окружности с центрами в точках А и В (чертёж 1). Обозначь точки пересечения окружностей буквами С и D. Проведи прямую через точки С и D. Точку пересечения прямых обозначь буквой О. Проверь, что все 4 угла с вершиной в точке О прямые.

Вместо окружностей можно проводить дуги (части окружностей) любого радиуса, который всегда должен быть больше половины длины отрезка АВ.

2) Построй 4 прямых угла с общей вершиной в точке О, следуя плану пункта 1, но вместо окружностей проводи дуги (чертёж 2). Любую точку отрезка CD соедини отрезками с точками А и В. Убедись, что полученный треугольник − равнобедренный. Начерти так же ещё 2 равнобедренных треугольника; 1 равносторонний.

1) В данном пункте описывается классический метод построения серединного перпендикуляра к отрезку с помощью циркуля и линейки. Давайте докажем, что полученные углы в точке $O$ действительно прямые.
Рассмотрим треугольники $?ADC$ и $?BDC$. По построению, $AC$ и $AD$ являются радиусами окружности с центром в точке $A$, а $BC$ и $BD$ — радиусами окружности с центром в точке $B$. Так как радиусы у обеих окружностей одинаковы (обозначим его $R$), то мы имеем:
$AC = AD = BC = BD = R$.
Сторона $CD$ у треугольников $?ADC$ и $?BDC$ является общей.
Следовательно, $?ADC = ?BDC$ по трем сторонам (признак SSS).
Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов, например, $?ACO = ?BCO$.
Теперь рассмотрим треугольники $?AOC$ и $?BOC$.

• $AC = BC$ (как радиусы $R$).
• $OC$ — общая сторона.
• $?ACO = ?BCO$ (как доказано выше).

Следовательно, $?AOC = ?BOC$ по двум сторонам и углу между ними (признак SAS).
Из равенства этих треугольников следует, что $?AOC = ?BOC$. Углы $?AOC$ и $?BOC$ являются смежными, их сумма равна $180°$. Так как они равны, то каждый из них равен $180° / 2 = 90°$.
Угол $?AOD$ является вертикальным к углу $?BOC$, поэтому $?AOD = ?BOC = 90°$.
Угол $?BOD$ является вертикальным к углу $?AOC$, поэтому $?BOD = ?AOC = 90°$.
Таким образом, все четыре угла с вершиной в точке $O$ ($?AOC, ?BOC, ?AOD, ?BOD$) являются прямыми.

Ответ: Построение верно. Прямая $CD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, поэтому все 4 угла, образованные пересечением прямых в точке $O$, равны $90°$, то есть являются прямыми.

2) В этом пункте мы используем свойство серединного перпендикуляра, который был построен в пункте 1. Прямая $CD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
Основное свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка.
Возьмем любую точку $E$ на отрезке $CD$. Согласно свойству серединного перпендикуляра, расстояние от точки $E$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $E$ до точки $B$, то есть $AE = BE$.
В треугольнике $?AEB$ две стороны ($AE$ и $BE$) равны. По определению, такой треугольник является равнобедренным.

Как начертить ещё 2 равнобедренных треугольника:
Нужно просто выбрать две любые другие точки на прямой $CD$ (например, $F$ и $G$) и соединить их с точками $A$ и $B$. Треугольники $?AFB$ и $?AGB$ будут равнобедренными по той же причине ($AF=BF$ и $AG=BG$).

Как начертить 1 равносторонний треугольник:
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. В нашем случае для треугольника $?AEB$ должно выполняться условие $AE = BE = AB$. Мы уже знаем, что $AE=BE$ для любой точки $E$ на прямой $CD$. Нам нужно найти такую точку, для которой $AE = AB$.
Это достигается, если при первоначальном построении выбрать радиус окружностей (дуг) равным длине отрезка $AB$. То есть, $R = AB$.
В этом случае точки пересечения дуг $C$ и $D$ будут обладать свойством $AC = BC = AB$ и $AD = BD = AB$.
Следовательно, треугольники $?ABC$ и $?ABD$ будут равносторонними.

Ответ: Любая точка на прямой $CD$ образует с точками $A$ и $B$ равнобедренный треугольник, так как прямая $CD$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, и любая её точка равноудалена от $A$ и $B$. Чтобы построить еще 2 равнобедренных треугольника, достаточно выбрать две любые другие точки на прямой $CD$. Чтобы построить равносторонний треугольник, необходимо при построении серединного перпендикуляра использовать радиус, равный длине отрезка $AB$. Тогда треугольники $?ABC$ и $?ABD$ будут равносторонними.