Страница 111, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

2. Рассмотри чертёж. Назови диагонали квадрата и точку их пересечения.

Что можно сказать о свойствах диагоналей квадрата, зная, что квадрат тоже прямоугольник?

У диагоналей квадрата есть ещё одно свойство.

Проверь это свойство по чертежу.

Для подробного ответа на вопросы, представим себе квадрат, вершины которого последовательно обозначены буквами A, B, C, D. Его диагоналями будут отрезки, соединяющие противоположные вершины.

Назови диагонали квадрата и точку их пересечения

В квадрате ABCD диагонали — это отрезки, которые соединяют вершины, не являющиеся соседними. Такими парами вершин являются A и C, а также B и D. Следовательно, диагоналями являются отрезки AC и BD. Точка, в которой эти диагонали пересекаются, обычно обозначается буквой O.

Ответ: Диагонали квадрата — AC и BD. Точка их пересечения — O.

Что можно сказать о свойствах диагоналей квадрата, зная, что квадрат тоже прямоугольник?

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Поэтому диагонали квадрата обладают всеми свойствами диагоналей прямоугольника. Основные свойства диагоналей прямоугольника:

• Диагонали равны друг другу. Для нашего квадрата это означает, что длина диагонали AC равна длине диагонали BD. В виде формулы: $AC = BD$.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что точка O является серединой для каждой диагонали. Следовательно, отрезки, на которые точка O делит диагонали, равны: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Из этих двух свойств следует, что все четыре отрезка, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равны между собой: $AO = OC = BO = OD$.

Ответ: Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.

У диагоналей квадрата есть ещё одно свойство. Проверь это свойство по чертежу.

Дополнительное свойство, упомянутое в задании, заключается в том, что при пересечении диагоналей квадрата получаются четыре прямых угла. Это означает, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Это свойство отличает квадрат от произвольного прямоугольника (у которого диагонали, как правило, не перпендикулярны). Оно объясняется тем, что квадрат является также и ромбом (фигурой с четырьмя равными сторонами), а у ромба диагонали всегда пересекаются под прямым углом.

Проверка по чертежу:

Чтобы проверить это свойство на практике с помощью чертежа, можно использовать один из следующих инструментов:

1. Чертёжный угольник (с прямым углом). Нужно приложить вершину прямого угла угольника к точке пересечения диагоналей O так, чтобы его стороны шли вдоль лучей OA и OB. Если стороны угольника точно совпадают с отрезками диагоналей, то угол $\angle AOB$ — прямой. Аналогично можно проверить и остальные три угла: $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOA$.
2. Транспортир. С помощью транспортира можно измерить градусную меру любого из четырёх углов при точке O. Измерение должно показать, что каждый из этих углов равен $90^\circ$.

Таким образом, мы подтверждаем, что $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Ответ: Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом ($90^\circ$), то есть они взаимно перпендикулярны. Проверить это по чертежу можно с помощью чертёжного угольника или транспортира.

3. Используя свойства диагоналей квадрата, начерти в тетради квадрат, длина диагонали которого 5 см.

Для построения квадрата по его диагонали необходимо использовать основные свойства диагоналей квадрата. Вспомним их:

• Диагонали квадрата равны между собой.
• Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).
• В точке пересечения диагонали делят друг друга пополам.

Основываясь на этих свойствах, можно построить квадрат, зная только длину его диагонали. Построение выполняется в несколько шагов:

1. С помощью линейки начертите отрезок AC длиной 5 см. Этот отрезок будет первой диагональю будущего квадрата.

2. Найдите середину этого отрезка. Для этого отмерьте 2,5 см от любого из концов (A или C) и поставьте точку. Назовем эту точку O. Эта точка является центром квадрата, где его диагонали пересекаются. Таким образом, $AO = OC = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2,5 \text{ см}$.

3. Через точку O проведите прямую, перпендикулярную отрезку AC. Для этого можно использовать угольник (приложив его одной стороной к отрезку AC так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой O) или транспортир (отмерив угол в $90^\circ$ от отрезка AC в точке O).

4. На этой перпендикулярной прямой отложите от центра O в обе стороны отрезки длиной 2,5 см каждый. Концы этих отрезков обозначьте буквами B и D. Полученный отрезок BD будет второй диагональю квадрата. Его длина также составит 5 см ($BD = BO + OD = 2,5 \text{ см} + 2,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$), и он будет перпендикулярен диагонали AC.

5. Последовательно соедините точки A, B, C и D с помощью линейки. Полученная фигура ABCD является искомым квадратом, так как его диагонали равны (по 5 см), взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: Для построения квадрата с диагональю 5 см необходимо выполнить следующие действия: начертить отрезок длиной 5 см; найти его середину; через середину провести перпендикулярный отрезок такой же длины (5 см) так, чтобы точка пересечения являлась серединой для обоих отрезков; последовательно соединить концы построенных отрезков.

4. Построить 4 прямых угла с общей вершиной можно и на нелинованной бумаге.

1) Отложи на прямой отрезок АВ. Радиусом, равным больше половины длины отрезка, проведи 2 окружности с центрами в точках А и В (чертёж 1). Обозначь точки пересечения окружностей буквами С и D. Проведи прямую через точки С и D. Точку пересечения прямых обозначь буквой О. Проверь, что все 4 угла с вершиной в точке О прямые.

Вместо окружностей можно проводить дуги (части окружностей) любого радиуса, который всегда должен быть больше половины длины отрезка АВ.

2) Построй 4 прямых угла с общей вершиной в точке О, следуя плану пункта 1, но вместо окружностей проводи дуги (чертёж 2). Любую точку отрезка CD соедини отрезками с точками А и В. Убедись, что полученный треугольник − равнобедренный. Начерти так же ещё 2 равнобедренных треугольника; 1 равносторонний.

1) В данном пункте описывается классический метод построения серединного перпендикуляра к отрезку с помощью циркуля и линейки. Давайте докажем, что полученные углы в точке $O$ действительно прямые.
Рассмотрим треугольники $?ADC$ и $?BDC$. По построению, $AC$ и $AD$ являются радиусами окружности с центром в точке $A$, а $BC$ и $BD$ — радиусами окружности с центром в точке $B$. Так как радиусы у обеих окружностей одинаковы (обозначим его $R$), то мы имеем:
$AC = AD = BC = BD = R$.
Сторона $CD$ у треугольников $?ADC$ и $?BDC$ является общей.
Следовательно, $?ADC = ?BDC$ по трем сторонам (признак SSS).
Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов, например, $?ACO = ?BCO$.
Теперь рассмотрим треугольники $?AOC$ и $?BOC$.

• $AC = BC$ (как радиусы $R$).
• $OC$ — общая сторона.
• $?ACO = ?BCO$ (как доказано выше).

Следовательно, $?AOC = ?BOC$ по двум сторонам и углу между ними (признак SAS).
Из равенства этих треугольников следует, что $?AOC = ?BOC$. Углы $?AOC$ и $?BOC$ являются смежными, их сумма равна $180°$. Так как они равны, то каждый из них равен $180° / 2 = 90°$.
Угол $?AOD$ является вертикальным к углу $?BOC$, поэтому $?AOD = ?BOC = 90°$.
Угол $?BOD$ является вертикальным к углу $?AOC$, поэтому $?BOD = ?AOC = 90°$.
Таким образом, все четыре угла с вершиной в точке $O$ ($?AOC, ?BOC, ?AOD, ?BOD$) являются прямыми.

Ответ: Построение верно. Прямая $CD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, поэтому все 4 угла, образованные пересечением прямых в точке $O$, равны $90°$, то есть являются прямыми.

2) В этом пункте мы используем свойство серединного перпендикуляра, который был построен в пункте 1. Прямая $CD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
Основное свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка.
Возьмем любую точку $E$ на отрезке $CD$. Согласно свойству серединного перпендикуляра, расстояние от точки $E$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $E$ до точки $B$, то есть $AE = BE$.
В треугольнике $?AEB$ две стороны ($AE$ и $BE$) равны. По определению, такой треугольник является равнобедренным.

Как начертить ещё 2 равнобедренных треугольника:
Нужно просто выбрать две любые другие точки на прямой $CD$ (например, $F$ и $G$) и соединить их с точками $A$ и $B$. Треугольники $?AFB$ и $?AGB$ будут равнобедренными по той же причине ($AF=BF$ и $AG=BG$).

Как начертить 1 равносторонний треугольник:
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. В нашем случае для треугольника $?AEB$ должно выполняться условие $AE = BE = AB$. Мы уже знаем, что $AE=BE$ для любой точки $E$ на прямой $CD$. Нам нужно найти такую точку, для которой $AE = AB$.
Это достигается, если при первоначальном построении выбрать радиус окружностей (дуг) равным длине отрезка $AB$. То есть, $R = AB$.
В этом случае точки пересечения дуг $C$ и $D$ будут обладать свойством $AC = BC = AB$ и $AD = BD = AB$.
Следовательно, треугольники $?ABC$ и $?ABD$ будут равносторонними.

Ответ: Любая точка на прямой $CD$ образует с точками $A$ и $B$ равнобедренный треугольник, так как прямая $CD$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, и любая её точка равноудалена от $A$ и $B$. Чтобы построить еще 2 равнобедренных треугольника, достаточно выбрать две любые другие точки на прямой $CD$. Чтобы построить равносторонний треугольник, необходимо при построении серединного перпендикуляра использовать радиус, равный длине отрезка $AB$. Тогда треугольники $?ABC$ и $?ABD$ будут равносторонними.