Страница 105, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. В последовательности чисел 9 875, 9 765, 9 655, ..., 9 435 пропущено число 9 545.

Для проверки данного утверждения необходимо определить закономерность в последовательности чисел: 9 875, 9 765, 9 655, ..., 9 435.

Предположим, что это арифметическая прогрессия, то есть каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Найдем эту разность ($d$), вычитая из последующего члена предыдущий.

Найдем разность между вторым и первым членами последовательности:
$d = 9765 - 9875 = -110$

Теперь найдем разность между третьим и вторым членами, чтобы убедиться, что она такая же:
$d = 9655 - 9765 = -110$

Разность постоянна и равна $-110$. Это подтверждает, что последовательность является убывающей арифметической прогрессией с шагом $-110$.

Теперь найдем пропущенное число, которое должно стоять после 9 655. Для этого вычтем 110 из этого числа:
$9655 - 110 = 9545$

Таким образом, пропущенное число — это 9 545, что соответствует утверждению в задаче.

Для окончательной проверки убедимся, что следующий за ним член будет равен последнему известному числу в последовательности, то есть 9 435. Вычтем 110 из найденного нами числа 9 545:
$9545 - 110 = 9435$

Результат совпадает с последним числом в исходной последовательности. Следовательно, утверждение о том, что пропущено число 9 545, является верным.

Ответ: Утверждение верно. Данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $-110$. Пропущенное число, следующее за $9655$, действительно равно $9545$, так как $9655 - 110 = 9545$.

2. На овощной базе есть бананы в закрытых коробках по 16 кг и по 17 кг в каждой. Не раскрывая коробок, можно отпустить покупателю 50 кг.

Чтобы определить, можно ли отпустить покупателю ровно 50 кг бананов, не вскрывая коробок, нам нужно найти, существуют ли целые неотрицательные числа x (количество коробок по 16 кг) и y (количество коробок по 17 кг), которые удовлетворяют следующему уравнению:

$16x + 17y = 50$

Решим это уравнение методом подбора, перебирая возможные значения для y (так как коэффициент при y больше, перебор будет короче). Значения x и y должны быть целыми и неотрицательными.

• Если $y = 0$, то уравнение принимает вид $16x = 50$. Тогда $x = 50 / 16 = 3.125$. Это не целое число, поэтому данный вариант не подходит.
• Если $y = 1$, то $16x + 17 \cdot 1 = 50$. Отсюда $16x = 50 - 17$, то есть $16x = 33$. Тогда $x = 33 / 16 = 2.0625$. Это также не целое число.
• Если $y = 2$, то $16x + 17 \cdot 2 = 50$. Отсюда $16x = 50 - 34$, то есть $16x = 16$. Тогда $x = 16 / 16 = 1$. Это целое число.

Мы нашли решение: $x=1$ и $y=2$. Это означает, что можно взять 1 коробку весом 16 кг и 2 коробки весом 17 кг.

Если взять $y=3$, то вес $17 \cdot 3 = 51$ кг, что уже больше 50 кг. Поэтому дальнейшие поиски не имеют смысла.

Проверим найденную комбинацию:

$1 \cdot 16 \text{ кг} + 2 \cdot 17 \text{ кг} = 16 \text{ кг} + 34 \text{ кг} = 50 \text{ кг}$.

Следовательно, можно отпустить покупателю 50 кг бананов.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно взять 1 коробку весом 16 кг и 2 коробки весом 17 кг.

3. В частном при делении числа 618 на 6 будет две цифры.

3. Данное утверждение является ложным. Чтобы это проверить, нужно найти частное от деления числа 618 на 6 и определить количество цифр в результате.

Способ 1: Оценка результата
Можно предварительно оценить результат деления. Известно, что $10 \times 6 = 60$ и $100 \times 6 = 600$. Делимое число 618 находится между 600 и 6000. Более того, оно очень близко к 600. Так как $618 > 600$, то частное от деления $618 \div 6$ будет больше, чем частное от деления $600 \div 6$.
$618 \div 6 > 600 \div 6$
$618 \div 6 > 100$
Число 100 является наименьшим трехзначным числом. Любое число, которое больше 100, также будет иметь как минимум три цифры. Следовательно, утверждение о том, что в частном будет две цифры, неверно.

Способ 2: Прямое вычисление
Выполним деление, чтобы найти точное значение частного. Для удобства можно разложить число 618 на слагаемые, которые легко делятся на 6:
$618 = 600 + 18$
Теперь выполним деление:
$(600 + 18) \div 6 = (600 \div 6) + (18 \div 6)$
$600 \div 6 = 100$
$18 \div 6 = 3$
Сложим полученные результаты:
$100 + 3 = 103$
Результат деления — число 103. В этом числе три цифры (1, 0 и 3).

Таким образом, мы доказали, что исходное утверждение неверно.
Ответ: Утверждение ложно, так как в частном при делении числа 618 на 6 получается 103, а это трехзначное число.

4. Чтобы равенство 672 : ▢ + 333 · 3 = 1 000 стало верным, надо в окошко записать число 672.

Утверждение гласит, что для верности равенства $672 : \square + 333 \cdot 3 = 1000$ в окошко нужно вписать число 672. Чтобы решить задачу, необходимо найти неизвестное число в этом уравнении и проверить, совпадает ли оно с предложенным. Обозначим число в окошке через $x$.

Получаем уравнение:

$672 : x + 333 \cdot 3 = 1000$

В соответствии с порядком выполнения математических операций, сначала необходимо выполнить умножение:

$333 \cdot 3 = 999$

Теперь подставим полученное значение обратно в уравнение:

$672 : x + 999 = 1000$

В данном уравнении выражение $672 : x$ выступает в роли неизвестного слагаемого. Чтобы найти его, нужно из суммы ($1000$) вычесть известное слагаемое ($999$):

$672 : x = 1000 - 999$

$672 : x = 1$

Теперь перед нами простое уравнение, в котором $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое ($672$) разделить на частное ($1$):

$x = 672 : 1$

$x = 672$

Таким образом, мы нашли, что в окошко действительно нужно вписать число 672. Это подтверждает, что исходное утверждение в задаче является верным.

Для полной уверенности выполним проверку, подставив число 672 в первоначальное равенство:

$672 : 672 + 333 \cdot 3 = 1 + 999 = 1000$

$1000 = 1000$

Равенство выполняется.

Ответ: утверждение верно, так как решением уравнения $672 : x + 333 \cdot 3 = 1000$ является $x = 672$.

5. При делении числа 539 на 10 будет остаток.

Чтобы найти остаток от деления целого числа на 10, достаточно посмотреть на последнюю цифру этого числа. Эта цифра и будет являться остатком.

В данном случае нам нужно разделить число 539 на 10. Последняя цифра в числе 539 — это 9. Следовательно, остаток от деления будет равен 9.

Можно также выполнить деление с остатком, которое описывается формулой: $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток, причем $0 \le r < b$.

Для нашей задачи:

• Делимое $a = 539$
• Делитель $b = 10$

Найдем наибольшее число, которое меньше 539 и делится на 10 без остатка. Это 530.

$530 \div 10 = 53$. Это неполное частное, $q = 53$.

Теперь найдем остаток $r$:

$r = a - b \cdot q = 539 - 10 \cdot 53 = 539 - 530 = 9$

Таким образом, мы можем записать:

$539 = 10 \cdot 53 + 9$

Остаток $r=9$ удовлетворяет условию $0 \le 9 < 10$.

Ответ: 9

6. Если в окошко вставить число 76, то станет верной запись ▢ : 8 = 9 (ост. 5).

Данное утверждение является ложным. Чтобы это доказать, нужно проверить, какой результат получится при делении 76 на 8, или найти правильное число, которое должно стоять в окошке.

В выражении с делением с остатком $\square : 8 = 9$ (ост. 5) нам известны:
- Делитель: 8
- Неполное частное: 9
- Остаток: 5
Неизвестным является делимое (число в окошке).

Для нахождения делимого используется правило: нужно делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.
Делимое = (Делитель $\times$ Неполное частное) + Остаток

Вычислим, какое число должно быть в окошке, чтобы запись была верной:
$8 \times 9 + 5 = 72 + 5 = 77$

Таким образом, верная запись выглядит так: $77 : 8 = 9$ (ост. 5).

Теперь проверим утверждение из условия, подставив в окошко число 76. Выполним деление 76 на 8 с остатком:
1. Находим, сколько раз 8 помещается в 76. Ближайшее число к 76, которое делится на 8 нацело, — это 72. $72 : 8 = 9$. Значит, неполное частное равно 9.
2. Находим остаток от деления. Для этого из делимого вычитаем произведение делителя и неполного частного: $76 - (8 \times 9) = 76 - 72 = 4$.
Следовательно, $76 : 8 = 9$ (ост. 4).

В условии указан остаток 5, а у нас получился остаток 4. Так как $4 \neq 5$, утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно, потому что если в окошко вставить число 76, то при делении на 8 получится 9 с остатком 4, а не 5.

7. Значения массы 330 кг, 3 ц, 3 т расположены в порядке их увеличения.

Для того чтобы проверить, верно ли утверждение, необходимо сравнить указанные значения массы, приведя их к единой единице измерения. В качестве единой единицы выберем килограмм (кг).

Вспомним основные соотношения единиц массы:
$1 \text{ центнер (ц)} = 100 \text{ кг}$
$1 \text{ тонна (т)} = 1000 \text{ кг}$

Теперь переведем все значения в килограммы:

1. $330 \text{ кг}$ — это значение уже представлено в килограммах.

2. $3 \text{ ц} = 3 \times 100 \text{ кг} = 300 \text{ кг}$.

3. $3 \text{ т} = 3 \times 1000 \text{ кг} = 3000 \text{ кг}$.

Таким образом, исходный ряд $330 \text{ кг, } 3 \text{ ц, } 3 \text{ т}$ в килограммах соответствует ряду $330 \text{ кг, } 300 \text{ кг, } 3000 \text{ кг}$.

Условие "расположены в порядке их увеличения" означает, что каждое следующее значение должно быть больше предыдущего. Проверим это для первой пары значений:

$330 \text{ кг} < 300 \text{ кг}$

Данное неравенство является ложным, так как на самом деле $330 > 300$. Поскольку порядок возрастания нарушен уже на втором элементе, всё утверждение неверно.

Правильный порядок расположения этих масс по увеличению: $300 \text{ кг}$, $330 \text{ кг}$, $3000 \text{ кг}$, что соответствует последовательности $3 \text{ ц}$, $330 \text{ кг}$, $3 \text{ т}$.

Ответ: Утверждение неверно.

8. Если в окошко вставить число 16, то станет верной запись 50 : 3 = ▢ (ост. 2).

Чтобы проверить, является ли данное утверждение верным, необходимо выполнить деление с остатком числа 50 на 3 или сделать проверку предложенного варианта ответа. Утверждение гласит, что если в окошко в выражении $50 : 3 = \square (\text{ост. } 2)$ подставить число 16, то запись станет верной.

Выполним проверку. Деление с остатком проверяется по формуле: Делимое = (Делитель ? Неполное частное) + Остаток. Также обязательным условием является то, что остаток должен быть меньше делителя.

В нашем случае:
Делимое = 50
Делитель = 3
Предполагаемое неполное частное (число из окошка) = 16
Остаток = 2

Подставим эти значения в формулу для проверки:
$3 \times 16 + 2$

Выполним вычисления по порядку действий:
1. Сначала выполняем умножение: $3 \times 16 = 48$.
2. Затем выполняем сложение: $48 + 2 = 50$.

Результат вычислений (50) совпал с делимым (50). Теперь проверим второе условие: остаток (2) должен быть меньше делителя (3). Условие $2 < 3$ выполняется.

Так как оба условия выполнены, равенство $50 : 3 = 16 (\text{ост. } 2)$ является верным. Следовательно, исходное утверждение истинно.

Ответ: утверждение верное. Если в окошко вставить число 16, запись становится верной, так как проверка $3 \times 16 + 2 = 50$ показывает правильность вычислений, и остаток (2) меньше делителя (3).

9. Значения длины 5 м, 5 км, 501 см расположены в порядке их уменьшения.

Для того чтобы проверить, правильно ли расположены значения длины 5 м, 5 км, 501 см в порядке их уменьшения, необходимо привести все эти величины к единой единице измерения. Удобнее всего будет перевести все значения в метры (м).

Выполним перевод единиц:
1. Значение 5 м уже дано в метрах.
2. Переведем километры в метры. В одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$), поэтому:
$5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$.
3. Переведем сантиметры в метры. В одном метре содержится 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$), поэтому:
$501 \text{ см} = 501 \div 100 \text{ м} = 5.01 \text{ м}$.

Теперь у нас есть три значения длины, выраженные в метрах: $5 \text{ м}$, $5000 \text{ м}$ и $5.01 \text{ м}$.

Сравним полученные значения и расположим их в порядке уменьшения (от наибольшего к наименьшему):
$5000 \text{ м}$ (самое большое значение)
$5.01 \text{ м}$ (следующее по величине)
$5 \text{ м}$ (самое маленькое значение)

Таким образом, правильная последовательность в порядке уменьшения, выраженная в исходных единицах, выглядит так: 5 км, 501 см, 5 м.

В задании же предложен порядок: 5 м, 5 км, 501 см. Уже на первом шаге сравнения видно, что $5 \text{ м}$ меньше, чем $5 \text{ км}$ ($5 \text{ м} < 5000 \text{ м}$), поэтому данный порядок не является порядком уменьшения. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: Утверждение, что значения длины 5 м, 5 км, 501 см расположены в порядке их уменьшения, является ложным. Правильный порядок расположения этих значений по убыванию: 5 км, 501 см, 5 м.

10. Значение выражения 480 − (80 + 10) не изменится, если убрать скобки.

Данное утверждение является неверным. Чтобы доказать это, необходимо вычислить значение выражения со скобками и значение выражения, полученного после простого удаления скобок, а затем сравнить результаты.

1. Вычисление значения выражения со скобками: $480 - (80 + 10)$

Согласно правилам порядка выполнения математических операций, сначала выполняется действие в скобках:

$80 + 10 = 90$

Затем выполняется вычитание:

$480 - 90 = 390$

Таким образом, значение исходного выражения равно 390.

2. Вычисление значения выражения без скобок: $480 - 80 + 10$

Если просто убрать скобки, получится новое выражение. В нем операции вычитания и сложения выполняются по порядку, слева направо:

Сначала вычитание:

$480 - 80 = 400$

Затем сложение:

$400 + 10 = 410$

Таким образом, значение выражения без скобок равно 410.

3. Сравнение результатов

Сравниваем полученные значения:

$390 \neq 410$

Результаты не совпадают, следовательно, значение выражения изменится, если убрать скобки. Утверждение в задании ложно.

Это объясняется правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: необходимо поменять знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные. То есть, $480 - (80 + 10) = 480 - 80 - 10 = 390$.

Ответ: утверждение неверно. Значение выражения изменится, потому что $480 - (80 + 10) = 390$, а $480 - 80 + 10 = 410$.

11. В выражении 200 + 300 · 4 сумму чисел 200 и 300 надо увеличить в 4 раза.

11.

Данное утверждение является неверным. Чтобы это доказать, необходимо сравнить результат вычисления исходного выражения с результатом, который описан в утверждении.

1. Вычисление выражения $200 + 300 \cdot 4$ по правилам порядка действий.
В математических выражениях без скобок сначала выполняются операции умножения и деления, а затем сложения и вычитания.

• Сначала выполняем умножение: $300 \cdot 4 = 1200$.
• Затем выполняем сложение: $200 + 1200 = 1400$.

Таким образом, правильное значение исходного выражения равно 1400.

2. Вычисление по условию "сумму чисел 200 и 300 увеличить в 4 раза".
Это словесное описание соответствует другому математическому действию, где сначала необходимо найти сумму, а уже потом умножить её на 4. Для такого порядка действий используются скобки: $(200 + 300) \cdot 4$.

• Сначала выполняем сложение в скобках: $200 + 300 = 500$.
• Затем умножаем полученную сумму: $500 \cdot 4 = 2000$.

Результат этого вычисления равен 2000.

Вывод
Результаты вычислений не совпадают: $1400 \neq 2000$.
Следовательно, утверждение ложно. В выражении $200 + 300 \cdot 4$ в 4 раза увеличивается только слагаемое 300, а не вся сумма.

Ответ: Утверждение неверно. Правильный порядок действий для выражения $200 + 300 \cdot 4$ — сначала умножение ($300 \cdot 4 = 1200$), а затем сложение ($200 + 1200 = 1400$). Действие "сумму чисел 200 и 300 увеличить в 4 раза" записывается как $(200 + 300) \cdot 4 = 500 \cdot 4 = 2000$. Так как $1400 \neq 2000$, исходное утверждение ложно.

12. Длина одной десятой метра равна 1 дм.

Данное утверждение необходимо проверить, выполнив перевод единиц измерения длины. Утверждение гласит, что одна десятая метра равна одному дециметру.

Для проверки воспользуемся основными соотношениями единиц длины в метрической системе. Известно, что в одном метре содержится 10 дециметров. Запишем это в виде математического равенства:

$1 \text{ метр} = 10 \text{ дециметров (дм)}$

Теперь нам нужно найти, чему равна «одна десятая метра». Это можно записать в виде дроби $\frac{1}{10}$ метра или в виде десятичной дроби $0.1$ метра.

Чтобы найти значение этой величины в дециметрах, мы должны одну десятую часть умножить на количество дециметров в одном метре:

$\frac{1}{10} \text{ метра} = \frac{1}{10} \times (10 \text{ дм})$

Выполним вычисление:

$\frac{1}{10} \times 10 = \frac{10}{10} = 1$

Таким образом, одна десятая метра действительно составляет 1 дециметр.

Следовательно, утверждение «Длина одной десятой метра равна 1 дм» является истинным.

Ответ: утверждение верно.

13. Чтобы рассадить учеников трёх классов, в каждом из которых по 24 ученика, так, чтобы для каждого ученика был свой стул, хватит 70 стульев.

Для того чтобы определить, хватит ли стульев, необходимо сначала посчитать общее количество учеников, которых нужно рассадить. По условию, есть 3 класса, в каждом из которых 24 ученика.

1. Вычислим общее количество учеников. Для этого умножим количество классов на число учеников в одном классе:

$3 \times 24 = 72$ (ученика)

2. Таким образом, чтобы у каждого из 72 учеников был свой стул, необходимо 72 стула.

3. Сравним необходимое количество стульев с количеством стульев, которое имеется в наличии (70 стульев):

$72 > 70$

Необходимое количество стульев (72) больше, чем имеющееся (70). Следовательно, 70 стульев не хватит, чтобы рассадить всех учеников.

Ответ: не хватит.

14. 1) Периметр квадрата со стороной 5 см равен периметру прямоугольника со сторонами 8 см и 2 см.

2) Площадь квадрата со стороной 5 см равна площади прямоугольника со сторонами 8 см и 2 см.

1) Для проверки данного утверждения необходимо вычислить периметр квадрата и периметр прямоугольника, а затем сравнить полученные значения.

Периметр квадрата ($P_{\text{кв}}$) вычисляется по формуле $P_{\text{кв}} = 4 \cdot a$, где $a$ — длина стороны квадрата.

В нашем случае сторона квадрата $a = 5$ см. Вычисляем периметр:

$P_{\text{кв}} = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см}$.

Периметр прямоугольника ($P_{\text{пр}}$) вычисляется по формуле $P_{\text{пр}} = 2 \cdot (l + w)$, где $l$ и $w$ — длина и ширина прямоугольника.

Стороны прямоугольника равны $l = 8$ см и $w = 2$ см. Вычисляем периметр:

$P_{\text{пр}} = 2 \cdot (8 + 2) = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см}$.

Сравниваем результаты: периметр квадрата равен $20$ см, и периметр прямоугольника равен $20$ см. Так как $20 \text{ см} = 20 \text{ см}$, утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

2) Для проверки данного утверждения необходимо вычислить площадь квадрата и площадь прямоугольника, а затем сравнить полученные значения.

Площадь квадрата ($S_{\text{кв}}$) вычисляется по формуле $S_{\text{кв}} = a^2$, где $a$ — длина стороны квадрата.

В нашем случае сторона квадрата $a = 5$ см. Вычисляем площадь:

$S_{\text{кв}} = 5^2 = 25 \text{ см}^2$.

Площадь прямоугольника ($S_{\text{пр}}$) вычисляется по формуле $S_{\text{пр}} = l \cdot w$, где $l$ и $w$ — длина и ширина прямоугольника.

Стороны прямоугольника равны $l = 8$ см и $w = 2$ см. Вычисляем площадь:

$S_{\text{пр}} = 8 \cdot 2 = 16 \text{ см}^2$.

Сравниваем результаты: площадь квадрата равна $25 \text{ см}^2$, а площадь прямоугольника — $16 \text{ см}^2$. Так как $25 \text{ см}^2 \neq 16 \text{ см}^2$, утверждение является неверным.

Ответ: утверждение неверно.