Страница 41, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

184. Прочитай таблицу единиц площади. Запиши и запомни её.

184. Записать таблицу в тетрадь и выучить.

$1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$
Квадратный сантиметр – это площадь квадрата со стороной 1 сантиметр. Так как в одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$), то площадь такого квадрата будет равна произведению его сторон: $1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}^2$.
Ответ: $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$.

$1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$
Квадратный дециметр – это площадь квадрата со стороной 1 дециметр. В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), поэтому площадь равна: $1 \text{ дм} \times 1 \text{ дм} = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$.
Ответ: $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.

$1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$
Квадратный метр – это площадь квадрата со стороной 1 метр. Так как в одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$), то площадь равна: $1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$.
Ответ: $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$.

$1 \text{ дм}^2 = 10 000 \text{ мм}^2$
Для нахождения этого соотношения переведем дециметры в миллиметры. Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, следовательно, $1 \text{ дм} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$. Площадь квадрата со стороной 1 дм равна: $1 \text{ дм} \times 1 \text{ дм} = 100 \text{ мм} \times 100 \text{ мм} = 10 000 \text{ мм}^2$.
Ответ: $1 \text{ дм}^2 = 10 000 \text{ мм}^2$.

$1 \text{ м}^2 = 10 000 \text{ см}^2$
Квадратный метр – это площадь квадрата со стороной 1 метр. В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$), поэтому площадь равна: $1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10 000 \text{ см}^2$.
Ответ: $1 \text{ м}^2 = 10 000 \text{ см}^2$.

$1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$
Квадратный километр – это площадь квадрата со стороной 1 километр. В одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$), поэтому площадь равна: $1 \text{ км} \times 1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1 000 000 \text{ м}^2$.
Ответ: $1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$.

185. 1) Вырази в квадратных метрах: 800 дм², 3 800 дм², 5 000 дм², 10 000 см², 60 000 см², 2 км².

185.

1)

Чтобы выразить заданные величины в квадратных метрах (м?), необходимо использовать следующие соотношения единиц площади:
$1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$ (так как $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$)
$1 \text{ м}^2 = 10 000 \text{ см}^2$ (так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$)
$1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$ (так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$)

Выполним перевод для каждого значения:
• Для перевода квадратных дециметров (дм?) в квадратные метры (м?) нужно разделить значение на 100.
$800 \text{ дм}^2 = 800 \div 100 = 8 \text{ м}^2$
$3 800 \text{ дм}^2 = 3 800 \div 100 = 38 \text{ м}^2$
$5 000 \text{ дм}^2 = 5 000 \div 100 = 50 \text{ м}^2$

• Для перевода квадратных сантиметров (см?) в квадратные метры (м?) нужно разделить значение на 10 000.
$10 000 \text{ см}^2 = 10 000 \div 10 000 = 1 \text{ м}^2$
$60 000 \text{ см}^2 = 60 000 \div 10 000 = 6 \text{ м}^2$

• Для перевода квадратных километров (км?) в квадратные метры (м?) нужно умножить значение на 1 000 000.
$2 \text{ км}^2 = 2 \times 1 000 000 = 2 000 000 \text{ м}^2$

Ответ: $8 \text{ м}^2$; $38 \text{ м}^2$; $50 \text{ м}^2$; $1 \text{ м}^2$; $6 \text{ м}^2$; $2 000 000 \text{ м}^2$.

2)

Для выполнения этих преобразований воспользуемся следующими соотношениями:
$1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$
$1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$
$1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$
$1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$

• $3 \text{ см}^2 10 \text{ мм}^2$:
Сначала переводим 3 см? в мм?: $3 \times 100 = 300 \text{ мм}^2$.
Затем прибавляем оставшиеся 10 мм?: $300 \text{ мм}^2 + 10 \text{ мм}^2 = 310 \text{ мм}^2$.
$3 \text{ см}^2 10 \text{ мм}^2 = 310 \text{ мм}^2$

• $2 \text{ м}^2 50 \text{ дм}^2$:
Переводим 2 м? в дм?: $2 \times 100 = 200 \text{ дм}^2$.
Прибавляем 50 дм?: $200 \text{ дм}^2 + 50 \text{ дм}^2 = 250 \text{ дм}^2$.
$2 \text{ м}^2 50 \text{ дм}^2 = 250 \text{ дм}^2$

• $6 \text{ дм}^2 05 \text{ см}^2$:
Переводим 6 дм? в см?: $6 \times 100 = 600 \text{ см}^2$.
Прибавляем 5 см? (05 см? это 5 см?): $600 \text{ см}^2 + 5 \text{ см}^2 = 605 \text{ см}^2$.
$6 \text{ дм}^2 05 \text{ см}^2 = 605 \text{ см}^2$

• $3 \text{ км}^2$:
Переводим 3 км? в м?: $3 \times 1 000 000 = 3 000 000 \text{ м}^2$.
$3 \text{ км}^2 = 3 000 000 \text{ м}^2$

Ответ: $3 \text{ см}^2 10 \text{ мм}^2 = 310 \text{ мм}^2$; $2 \text{ м}^2 50 \text{ дм}^2 = 250 \text{ дм}^2$; $6 \text{ дм}^2 05 \text{ см}^2 = 605 \text{ см}^2$; $3 \text{ км}^2 = 3 000 000 \text{ м}^2$.

186. Объясни, в каких единицах могли измерить площадь:

1) почтовой марки - 300 ... ;
2) почтовой открытки - 150 ... ;
3) письменного стола - 66 ... ;
4) спортивного зала - 100 ... .

Расположи площади этих предметов в порядке их уменьшения.

186. Площади в порядке уменьшения:

1) спортивный зал – 100 м²
2) письменный стол – 66 дм²
3) почтовая открытка – 150 см²
4) почтовая марка – 300 мм²

Для решения задачи необходимо подобрать для каждого предмета подходящую единицу измерения площади, исходя из его реальных размеров и указанного числового значения.

1) почтовой марки — 300 ...;

Почтовая марка — это очень маленький предмет. Её размеры обычно измеряются в миллиметрах. Например, марка может иметь размеры 20 мм на 15 мм. Её площадь будет равна $20 \times 15 = 300$. Следовательно, подходящей единицей измерения являются квадратные миллиметры ($мм^2$).
Ответ: 300 $мм^2$ (квадратных миллиметров).

2) почтовой открытки — 150 ...;

Почтовая открытка больше марки. Её размеры удобно измерять в сантиметрах. Стандартный размер открытки — 10 см на 15 см. Её площадь будет равна $10 \times 15 = 150$. Таким образом, площадь измеряется в квадратных сантиметрах ($см^2$).
Ответ: 150 $см^2$ (квадратных сантиметров).

3) письменного стола — 66 ...;

Письменный стол — это предмет мебели. Его размеры можно измерять в дециметрах. Например, стол может быть 11 дм в длину и 6 дм в ширину (что соответствует 110 см на 60 см). Его площадь составит $11 \times 6 = 66$. Значит, речь идет о квадратных дециметрах ($дм^2$).
Ответ: 66 $дм^2$ (квадратных дециметров).

4) спортивного зала — 100 ... .

Спортивный зал имеет большую площадь, которую целесообразно измерять в квадратных метрах. Например, небольшой зал размером 10 м на 10 м будет иметь площадь $10 \times 10 = 100$. Следовательно, единицей измерения являются квадратные метры ($м^2$).
Ответ: 100 $м^2$ (квадратных метров).

Расположи площади этих предметов в порядке их уменьшения.

Чтобы сравнить площади, приведем их к одной единице измерения, например, к квадратным метрам ($м^2$). Вспомним соотношения единиц площади:
$1 м^2 = 100 дм^2$
$1 м^2 = 10 000 см^2$
$1 м^2 = 1 000 000 мм^2$

1) Площадь почтовой марки: $300 мм^2 = 300 / 1 000 000 м^2 = 0.0003 м^2$.
2) Площадь почтовой открытки: $150 см^2 = 150 / 10 000 м^2 = 0.015 м^2$.
3) Площадь письменного стола: $66 дм^2 = 66 / 100 м^2 = 0.66 м^2$.
4) Площадь спортивного зала: $100 м^2$.

Сравнив полученные значения, расположим их в порядке уменьшения:
$100 м^2 > 0.66 м^2 > 0.015 м^2 > 0.0003 м^2$
Это соответствует следующему порядку предметов: спортивный зал, письменный стол, почтовая открытка, почтовая марка.
Ответ: 100 $м^2$, 66 $дм^2$, 150 $см^2$, 300 $мм^2$.

187. Сравни.

187.

1 м? и 99 дм?
Чтобы сравнить эти две величины, необходимо привести их к одинаковой единице измерения. Переведем квадратные метры (м?) в квадратные дециметры (дм?).
Мы знаем, что в 1 метре 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Следовательно, 1 квадратный метр равен: $1 \text{ м}^2 = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$.
Теперь сравним полученное значение с $99 \text{ дм}^2$: $100 \text{ дм}^2 > 99 \text{ дм}^2$.
Ответ: $1 \text{ м}^2 > 99 \text{ дм}^2$.

1 дм? и 110 см?
Для сравнения переведем квадратные дециметры (дм?) в квадратные сантиметры (см?).
В 1 дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Следовательно, 1 квадратный дециметр равен: $1 \text{ дм}^2 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$.
Сравним $100 \text{ см}^2$ и $110 \text{ см}^2$: $100 \text{ см}^2 < 110 \text{ см}^2$.
Ответ: $1 \text{ дм}^2 < 110 \text{ см}^2$.

1 см? и 101 мм?
Для сравнения переведем квадратные сантиметры (см?) в квадратные миллиметры (мм?).
В 1 сантиметре 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Следовательно, 1 квадратный сантиметр равен: $1 \text{ см}^2 = 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}^2$.
Сравним $100 \text{ мм}^2$ и $101 \text{ мм}^2$: $100 \text{ мм}^2 < 101 \text{ мм}^2$.
Ответ: $1 \text{ см}^2 < 101 \text{ мм}^2$.

1 м? и 9 999 см?
Для сравнения переведем квадратные метры (м?) в квадратные сантиметры (см?).
В 1 метре 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Следовательно, 1 квадратный метр равен: $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10\,000 \text{ см}^2$.
Сравним $10\,000 \text{ см}^2$ и $9\,999 \text{ см}^2$: $10\,000 \text{ см}^2 > 9\,999 \text{ см}^2$.
Ответ: $1 \text{ м}^2 > 9\,999 \text{ см}^2$.

1 км? и 999 999 м?
Для сравнения переведем квадратные километры (км?) в квадратные метры (м?).
В 1 километре 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Следовательно, 1 квадратный километр равен: $1 \text{ км}^2 = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1\,000\,000 \text{ м}^2$.
Сравним $1\,000\,000 \text{ м}^2$ и $999\,999 \text{ м}^2$: $1\,000\,000 \text{ м}^2 > 999\,999 \text{ м}^2$.
Ответ: $1 \text{ км}^2 > 999\,999 \text{ м}^2$.

1 м? и 11 000 см?
Для сравнения переведем квадратные метры (м?) в квадратные сантиметры (см?).
Мы знаем, что $1 \text{ м}^2 = 10\,000 \text{ см}^2$.
Сравним $10\,000 \text{ см}^2$ и $11\,000 \text{ см}^2$: $10\,000 \text{ см}^2 < 11\,000 \text{ см}^2$.
Ответ: $1 \text{ м}^2 < 11\,000 \text{ см}^2$.

1 дм? и 10 001 мм?
Для сравнения переведем квадратные дециметры (дм?) в квадратные миллиметры (мм?).
В 1 дециметре 100 миллиметров: $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.
Следовательно, 1 квадратный дециметр равен: $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ мм} \times 100 \text{ мм} = 10\,000 \text{ мм}^2$.
Сравним $10\,000 \text{ мм}^2$ и $10\,001 \text{ мм}^2$: $10\,000 \text{ мм}^2 < 10\,001 \text{ мм}^2$.
Ответ: $1 \text{ дм}^2 < 10\,001 \text{ мм}^2$.

1 м? и 110 дм?
Для сравнения переведем квадратные метры (м?) в квадратные дециметры (дм?).
Мы знаем, что $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$.
Сравним $100 \text{ дм}^2$ и $110 \text{ дм}^2$: $100 \text{ дм}^2 < 110 \text{ дм}^2$.
Ответ: $1 \text{ м}^2 < 110 \text{ дм}^2$.

188. У продавца осталось 840 пачек чёрного чая, а зелёного − в 3 раза меньше. На сколько больше осталось пачек чёрного чая, чем зелёного?

188. Сделаем схематический чертёж:

Пояснение:

Для того чтобы узнать, на сколько больше осталось пачек черного чая, чем зелёного, нужно вычитанием сравнить эти значения. Но мы не знаем сколько осталось зелёного чая. Поэтому сначала найдём, сколько осталось зелёного чая. А потом узнаем, на сколько больше осталось пачек черного чая, чем зелёного.

Решение (жирный шрифт) записываем в тетрадь:

1) 840 : 3 = 280 (п.) – зелёного чая осталось у продавца.
2) 840 − 280 = 560 (п.)
Ответ: на 560 пачек больше осталось чая черного, чем зелёного.

Решение задачи можно записать выражением:

840 – 840 : 3 = 560 (п.)
Ответ: на 560 пачек больше осталось чая черного, чем зелёного.

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, нужно выполнить два последовательных действия.

1. Сначала найдём количество пачек зелёного чая. Согласно условию, пачек зелёного чая в 3 раза меньше, чем пачек чёрного чая. Количество пачек чёрного чая — 840. Чтобы найти количество пачек зелёного чая, необходимо разделить количество пачек чёрного чая на 3:
$840 \div 3 = 280$ (пачек).
Следовательно, у продавца осталось 280 пачек зелёного чая.

2. Теперь, зная количество пачек обоих видов чая, мы можем найти разницу. Чтобы определить, на сколько больше осталось пачек чёрного чая, чем зелёного, нужно вычесть количество пачек зелёного чая из количества пачек чёрного чая:
$840 - 280 = 560$ (пачек).

Ответ: осталось на 560 пачек чёрного чая больше, чем зелёного.

189. Определи, как можно, не изменяя чисел, сделать равенства верными. Выполни это.

189. Для того чтобы не изменяя чисел сделать равенство верным, нужно поставить скобки так, чтобы равенства стали верными.

В данной задаче необходимо расставить скобки в математических выражениях таким образом, чтобы получились верные равенства. Скобки изменяют стандартный порядок выполнения действий (сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание, слева направо).

140 – 80 : 4 · 5 = 75
Чтобы получить в результате 75, необходимо изменить порядок действий так, чтобы вычитание выполнялось первым. Для этого заключим его в скобки.
1. Выполняем действие в скобках: $140 - 80 = 60$.
2. Затем выполняем деление: $60 : 4 = 15$.
3. Последним действием выполняем умножение: $15 \cdot 5 = 75$.
Получаем верное равенство: $(140 - 80) : 4 \cdot 5 = 75$.
Ответ: $(140 - 80) : 4 \cdot 5 = 75$

140 – 80 : 4 · 5 = 600
Чтобы получить в результате 600, нужно сделать так, чтобы умножение на 5 выполнялось последним. Для этого заключим в скобки все действия до него.
1. Внутри скобок первым действием будет деление: $80 : 4 = 20$.
2. Затем в скобках выполняем вычитание: $140 - 20 = 120$.
3. Выполняем умножение: $120 \cdot 5 = 600$.
Получаем верное равенство: $(140 - 80 : 4) \cdot 5 = 600$.
Ответ: $(140 - 80 : 4) \cdot 5 = 600$

140 – 80 : 4 · 5 = 136
Чтобы получить в результате 136, необходимо, чтобы деление на 80 выполнялось после умножения $4 \cdot 5$. Для этого заключим умножение в скобки.
1. Выполняем действие в скобках: $4 \cdot 5 = 20$.
2. Затем выполняем деление: $80 : 20 = 4$.
3. Последним действием выполняем вычитание: $140 - 4 = 136$.
Получаем верное равенство: $140 - 80 : (4 \cdot 5) = 136$.
Ответ: $140 - 80 : (4 \cdot 5) = 136$

8 · 30 – 30 : 3 · 5 = 238
Чтобы получить 238, нужно из результата первого умножения ($8 \cdot 30$) вычесть результат деления ($30 : (3 \cdot 5)$). Для этого изменим порядок в правой части выражения, заключив $3 \cdot 5$ в скобки.
1. Выполняем действие в скобках: $3 \cdot 5 = 15$.
2. Выполняем умножение слева: $8 \cdot 30 = 240$.
3. Выполняем деление: $30 : 15 = 2$.
4. Выполняем вычитание: $240 - 2 = 238$.
Получаем верное равенство: $8 \cdot 30 - 30 : (3 \cdot 5) = 238$.
Ответ: $8 \cdot 30 - 30 : (3 \cdot 5) = 238$

8 · 30 – 30 : 3 · 5 = 0
Чтобы в результате получился 0, необходимо, чтобы один из множителей в произведении был равен нулю. Этого можно достичь, если поставить скобки вокруг $30 - 30$.
1. Выполняем действие в скобках: $30 - 30 = 0$.
2. Умножаем результат на 8: $8 \cdot 0 = 0$.
3. Делим результат на 3: $0 : 3 = 0$.
4. Умножаем результат на 5: $0 \cdot 5 = 0$.
Получаем верное равенство: $8 \cdot (30 - 30) : 3 \cdot 5 = 0$.
Ответ: $8 \cdot (30 - 30) : 3 \cdot 5 = 0$

8 · 30 – 30 : 3 · 5 = 350
Чтобы получить 350, нужно сначала выполнить действия $8 \cdot 30 - 30$, а затем результат последовательно разделить на 3 и умножить на 5. Заключим первые действия в скобки.
1. Внутри скобок выполняем умножение: $8 \cdot 30 = 240$.
2. Затем в скобках выполняем вычитание: $240 - 30 = 210$.
3. Делим результат на 3: $210 : 3 = 70$.
4. Умножаем результат на 5: $70 \cdot 5 = 350$.
Получаем верное равенство: $(8 \cdot 30 - 30) : 3 \cdot 5 = 350$.
Ответ: $(8 \cdot 30 - 30) : 3 \cdot 5 = 350$

190. 1) Выпиши названия всех разносторонних треугольников и равнобедренных треугольников.

2) Найди среди равнобедренных треугольников равносторонний и подчеркни его название.

3) Выпиши названия всех прямоугольных, остроугольных и тупоугольных треугольников.

4) Выпиши названия всех четырёхугольников.

5) Подчеркни название прямоугольника.

190. 1) Разносторонние треугольники: BCM, MKO, OAD. Равнобедренные треугольники: KOD, СМК.

2) Равнобедренный равносторонний треугольник: СМК.

3) Прямоугольные треугольники: CBM, OAD. Остроугольные треугольники: MCK, MKO. Тупоугольные треугольники: DOK.

4) Четырехугольники: AOKD, BCKO, MCKO, MKDO, ABCD, OMCD, MBCK, OBCD, AMCD, AMKD.

5) Прямоугольник: ABCD.

Поскольку в задании отсутствует изображение самих фигур, для развернутого ответа будет использован примерный набор геометрических фигур. Вам необходимо применить эти же принципы к фигурам из вашего учебника.

Предположим, на рисунке изображены следующие фигуры:
Треугольники: KLM (разносторонний, тупоугольный), NPO (равнобедренный, прямоугольный), RST (равносторонний, остроугольный), FUG (разносторонний, остроугольный).
Четырёхугольники: ABCD (произвольный четырёхугольник), EFGH (прямоугольник).

1) Выпиши названия всех разносторонних треугольников и равнобедренных треугольников.

Для выполнения этого задания нужно классифицировать треугольники по соотношению длин их сторон.
Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. В нашем примере такими являются треугольники KLM и FUG.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. К ним относятся NPO (у него равны две стороны — катеты) и RST (у него равны все три стороны, что является частным случаем равнобедренного треугольника).

Ответ: Разносторонние треугольники: KLM, FUG. Равнобедренные треугольники: NPO, RST.

2) Найди среди равнобедренных треугольников равносторонний и подчеркни его название.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Он является частным случаем равнобедренного треугольника.
В списке равнобедренных треугольников (NPO, RST) треугольник RST является равносторонним.

Ответ: NPO, RST.

3) Выпиши названия всех прямоугольных, остроугольных и тупоугольных треугольников.

Теперь классифицируем треугольники по величине их углов.
Прямоугольный треугольник — это тот, у которого один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. В нашем наборе это NPO.
Остроугольный треугольник — это тот, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$). Такими являются RST (все углы по $60^\circ$) и FUG.
Тупоугольный треугольник — это тот, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$). В нашем примере это KLM.

Ответ: Прямоугольные: NPO. Остроугольные: RST, FUG. Тупоугольные: KLM.

4) Выпиши названия всех четырёхугольников.

Четырёхугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. В нашем наборе фигур это ABCD и EFGH.

Ответ: ABCD, EFGH.

5) Подчеркни название прямоугольника.

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$).
Среди перечисленных четырёхугольников (ABCD, EFGH) прямоугольником является EFGH.

Ответ: ABCD, EFGH.

4. Одна открытка, 2 одинаковых конверта и 3 одинаковые марки стоят 38 р. Три такие открытки, 2 таких конверта и 1 такая же марка стоят 22 р. Сколько стоит набор из открытки, конверта и марки?

Для решения этой задачи введем переменные для обозначения стоимости каждого товара. Пусть:

• $о$ — стоимость одной открытки;
• $к$ — стоимость одного конверта;
• $м$ — стоимость одной марки.

Исходя из условия задачи, мы можем составить два уравнения.

Первое уравнение, основанное на том, что одна открытка, 2 конверта и 3 марки стоят 38 рублей:

$1о + 2к + 3м = 38$

Второе уравнение, основанное на том, что три открытки, 2 конверта и 1 марка стоят 22 рубля:

$3о + 2к + 1м = 22$

Нам необходимо найти стоимость набора из одной открытки, одного конверта и одной марки, то есть значение выражения $о + к + м$.

Чтобы найти это значение, сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(1о + 2к + 3м) + (3о + 2к + 1м) = 38 + 22$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(1о + 3о) + (2к + 2к) + (3м + 1м) = 60$

Выполним сложение:

$4о + 4к + 4м = 60$

В левой части уравнения можно вынести общий множитель 4 за скобки:

$4(о + к + м) = 60$

Теперь, чтобы найти стоимость одного набора $(о + к + м)$, разделим обе части уравнения на 4:

$о + к + м = \frac{60}{4}$

$о + к + м = 15$

Таким образом, набор из открытки, конверта и марки стоит 15 рублей.

Ответ: 15 р.

5. Занимательные рамки

Магический квадрат

В этой головоломке значение в каждом трапецоиде (зеленые фигуры) определяется на основе центрального числа (100) и чисел в соседних угловых треугольниках (розовые фигуры).

Правило следующее: число в трапецоиде равно числу в центральном треугольнике минус сумма чисел в двух соседних угловых треугольниках.

Рассчитаем значения для каждого знака вопроса:

• Левый трапецоид:
  Этот трапецоид находится между углами с числами 5 и 34.
  $100 - (5 + 34) = 100 - 39 = 61$
• Правый трапецоид:
  Этот трапецоид находится между углами с числами 5 и 46.
  $100 - (5 + 46) = 100 - 51 = 49$
• Нижний трапецоид:
  Этот трапецоид находится между углами с числами 34 и 46.
  $100 - (34 + 46) = 100 - 80 = 20$

Ответ: Числа в рамке слева направо и вниз: 61, 49, 20.

В этой головоломке нужно заполнить пустые ячейки во внешней рамке квадрата. Анализ известных чисел показывает наличие двух закономерностей:

1. Сумма чисел в диаметрально противоположных ячейках рамки постоянна.
Проверим это на известных парах:
Сумма чисел в средней левой и средней правой ячейках: $190 + 630 = 820$.
Сумма чисел в средней верхней и средней нижней ячейках: $540 + 280 = 820$.
Следовательно, сумма для любой пары противоположных ячеек равна 820.

2. Числа в верхней и нижней строках рамки образуют арифметические прогрессии.

Используем эти правила для нахождения неизвестных:

• Левая нижняя ячейка (?):
  Нижняя строка (слева направо: ?, 280, 170) является арифметической прогрессией. Найдем ее разность: $170 - 280 = -110$.
  Тогда первое число в этой строке равно $280 - (-110) = 280 + 110 = 390$.
• Правая верхняя ячейка (?):
  Эта ячейка противоположна левой нижней. Их сумма должна быть 820.
  $820 - 390 = 430$.
• Левая верхняя ячейка (?):
  Эта ячейка противоположна правой нижней (170). Их сумма должна быть 820.
  $820 - 170 = 650$.

Проверим, образует ли верхняя строка (650, 540, 430) арифметическую прогрессию: $540 - 650 = -110$ и $430 - 540 = -110$. Закономерность подтверждается.

Ответ: Верхняя строка: 650, 540, 430. Нижняя строка: 390, 280, 170. Недостающие числа: 650 (в левом верхнем углу), 430 (в правом верхнем углу), 390 (в левом нижнем углу).

Магический квадрат — это квадратная таблица, в которой суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях равны. Эта сумма называется магической константой ($S$).

Для любого магического квадрата 3x3 магическая константа в три раза больше числа в центральной ячейке. В данном квадрате центральное число равно 15, следовательно, магическая константа должна быть $S = 3 \times 15 = 45$.

Однако, если мы посчитаем сумму чисел на известной диагонали (справа налево, сверху вниз), мы получим: $16 + 15 + 17 = 48$. Это противоречит свойству магического квадрата. Вероятно, в условии допущена опечатка. Наиболее вероятная ошибка — число 17, которое должно быть 14. В этом случае сумма по диагонали становится $16 + 15 + 14 = 45$, что соответствует магической константе $S=45$.

Будем решать задачу с исправленным числом 14 в левом нижнем углу и магической константой $S=45$.

• Верхний ряд: $18 + ? + 16 = 45 \implies ? = 45 - 34 = 11$.
• Левый столбец: $18 + ? + 14 = 45 \implies ? = 45 - 32 = 13$.
• Главная диагональ (сверху слева вниз): $18 + 15 + ? = 45 \implies ? = 45 - 33 = 12$.

На данный момент квадрат выглядит так:

Теперь найдем оставшиеся два числа:

• Средний ряд: $13 + 15 + ? = 45 \implies ? = 45 - 28 = 17$.
• Средний столбец: $11 + 15 + ? = 45 \implies ? = 45 - 26 = 19$.

Итоговый магический квадрат:

Проверка показывает, что суммы во всех строках, столбцах и диагоналях равны 45.

Ответ: Заполненный магический квадрат (при условии исправления опечатки 17 на 14):
Первая строка: 18, 11, 16
Вторая строка: 13, 15, 17
Третья строка: 14, 19, 12

6. Орнамент

Задача заключается в анализе закономерности в представленном орнаменте и решении связанных с ней вопросов. Сам орнамент является основной частью задачи, в то время как текст под ним представляет собой общий план работы над математическим проектом.

а) Опишите закономерность, по которой составлен орнамент.

Орнамент представляет собой последовательность из чередующихся геометрических фигур двух видов.
1. Первая фигура — это два пересекающихся круга розового цвета. Обозначим эту фигуру условно как К (Круги).
2. Вторая фигура — это квадрат синего цвета, внутри которого вписан другой квадрат, повернутый на 45 градусов. Обозначим эту фигуру как Кв (Квадрат).
Фигуры в орнаменте строго чередуются. Последовательность выглядит так: К, Кв, К, Кв, К, Кв, и так далее. Таким образом, повторяющимся элементом (раппортом) орнамента является пара фигур: «круги» и «квадрат». Фигура «круги» (К) всегда стоит на нечетных местах (1, 3, 5, ...), а фигура «квадрат» (Кв) — на четных местах (2, 4, 6, ...).
Ответ: Орнамент построен на чередовании двух различных элементов: фигуры с кругами и фигуры с квадратом. Фигуры с кругами занимают все нечетные позиции в ряду, а фигуры с квадратами — все четные.

б) Какая фигура будет стоять в орнаменте на 15-м и 30-м местах?

Чтобы определить, какая фигура находится на определенном месте, необходимо проверить четность номера этой позиции.
- Если номер позиции $n$ нечетный, то на этом месте будет фигура «круги» (К).
- Если номер позиции $n$ четный, то на этом месте будет фигура «квадрат» (Кв).
Найдем фигуру на 15-м месте. Число 15 является нечетным ($15 \div 2 = 7$ с остатком 1), следовательно, на 15-м месте будет стоять фигура «круги» (К).
Найдем фигуру на 30-м месте. Число 30 является четным ($30 \div 2 = 15$ без остатка), следовательно, на 30-м месте будет стоять фигура «квадрат» (Кв).
Ответ: На 15-м месте будет фигура с пересекающимися кругами, а на 30-м месте — фигура с квадратом.

в) Сколько всего фигур каждого вида понадобится, чтобы составить орнамент из 41 фигуры?

Общее количество фигур в орнаменте $N = 41$.
Фигуры «круги» (К) стоят на нечетных местах (1, 3, 5, ..., 41).
Фигуры «квадрат» (Кв) стоят на четных местах (2, 4, 6, ..., 40).
Чтобы найти количество фигур «круги», нужно сосчитать количество нечетных чисел в диапазоне от 1 до 41. Поскольку общее число фигур (41) нечетное, а последовательность начинается с фигуры «круги», то этих фигур будет на одну больше, чем фигур «квадрат».
Количество фигур «круги» (стоящих на нечетных позициях) можно найти по формуле для общего нечетного числа фигур $N$: $N_К = (N + 1) / 2$.
$N_К = (41 + 1) / 2 = 42 / 2 = 21$.
Количество фигур «квадрат» (стоящих на четных позициях) можно найти, вычтя количество фигур «круги» из общего числа фигур: $N_{Кв} = N - N_К$.
$N_{Кв} = 41 - 21 = 20$.
Проверка: $21 + 20 = 41$. Расчеты верны.
Ответ: Для создания орнамента из 41 фигуры понадобится 21 фигура с кругами и 20 фигур с квадратами.