Номер 5, страница 41, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

Проектные задания. Числа, которые больше 1000. Умножение и деление (продолжение). ч. 2 - номер 5, страница 41.

5. Занимательные рамки

Магический квадрат

Занимательные рамки (треугольник)

В этой головоломке значение в каждом трапецоиде (зеленые фигуры) определяется на основе центрального числа (100) и чисел в соседних угловых треугольниках (розовые фигуры).

Правило следующее: число в трапецоиде равно числу в центральном треугольнике минус сумма чисел в двух соседних угловых треугольниках.

Рассчитаем значения для каждого знака вопроса:

• Левый трапецоид:
  Этот трапецоид находится между углами с числами 5 и 34.
  $100 - (5 + 34) = 100 - 39 = 61$
• Правый трапецоид:
  Этот трапецоид находится между углами с числами 5 и 46.
  $100 - (5 + 46) = 100 - 51 = 49$
• Нижний трапецоид:
  Этот трапецоид находится между углами с числами 34 и 46.
  $100 - (34 + 46) = 100 - 80 = 20$

Ответ: Числа в рамке слева направо и вниз: 61, 49, 20.

Занимательные рамки (квадрат)

В этой головоломке нужно заполнить пустые ячейки во внешней рамке квадрата. Анализ известных чисел показывает наличие двух закономерностей:

1. Сумма чисел в диаметрально противоположных ячейках рамки постоянна.
Проверим это на известных парах:
Сумма чисел в средней левой и средней правой ячейках: $190 + 630 = 820$.
Сумма чисел в средней верхней и средней нижней ячейках: $540 + 280 = 820$.
Следовательно, сумма для любой пары противоположных ячеек равна 820.

2. Числа в верхней и нижней строках рамки образуют арифметические прогрессии.

Используем эти правила для нахождения неизвестных:

• Левая нижняя ячейка (?):
  Нижняя строка (слева направо: ?, 280, 170) является арифметической прогрессией. Найдем ее разность: $170 - 280 = -110$.
  Тогда первое число в этой строке равно $280 - (-110) = 280 + 110 = 390$.
• Правая верхняя ячейка (?):
  Эта ячейка противоположна левой нижней. Их сумма должна быть 820.
  $820 - 390 = 430$.
• Левая верхняя ячейка (?):
  Эта ячейка противоположна правой нижней (170). Их сумма должна быть 820.
  $820 - 170 = 650$.

Проверим, образует ли верхняя строка (650, 540, 430) арифметическую прогрессию: $540 - 650 = -110$ и $430 - 540 = -110$. Закономерность подтверждается.

Ответ: Верхняя строка: 650, 540, 430. Нижняя строка: 390, 280, 170. Недостающие числа: 650 (в левом верхнем углу), 430 (в правом верхнем углу), 390 (в левом нижнем углу).

Магический квадрат

Магический квадрат — это квадратная таблица, в которой суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях равны. Эта сумма называется магической константой ($S$).

Для любого магического квадрата 3x3 магическая константа в три раза больше числа в центральной ячейке. В данном квадрате центральное число равно 15, следовательно, магическая константа должна быть $S = 3 \times 15 = 45$.

Однако, если мы посчитаем сумму чисел на известной диагонали (справа налево, сверху вниз), мы получим: $16 + 15 + 17 = 48$. Это противоречит свойству магического квадрата. Вероятно, в условии допущена опечатка. Наиболее вероятная ошибка — число 17, которое должно быть 14. В этом случае сумма по диагонали становится $16 + 15 + 14 = 45$, что соответствует магической константе $S=45$.

Будем решать задачу с исправленным числом 14 в левом нижнем углу и магической константой $S=45$.

• Верхний ряд: $18 + ? + 16 = 45 \implies ? = 45 - 34 = 11$.
• Левый столбец: $18 + ? + 14 = 45 \implies ? = 45 - 32 = 13$.
• Главная диагональ (сверху слева вниз): $18 + 15 + ? = 45 \implies ? = 45 - 33 = 12$.

На данный момент квадрат выглядит так:

18	11	16
13	15	?
14	?	12

Теперь найдем оставшиеся два числа:

• Средний ряд: $13 + 15 + ? = 45 \implies ? = 45 - 28 = 17$.
• Средний столбец: $11 + 15 + ? = 45 \implies ? = 45 - 26 = 19$.

Итоговый магический квадрат:

18	11	16
13	15	17
14	19	12

Проверка показывает, что суммы во всех строках, столбцах и диагоналях равны 45.

Ответ: Заполненный магический квадрат (при условии исправления опечатки 17 на 14):
Первая строка: 18, 11, 16
Вторая строка: 13, 15, 17
Третья строка: 14, 19, 12