Номер 3, страница 40, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Моро, Бантова

Проектные задания. Числа, которые больше 1000. Умножение и деление (продолжение). ч. 2 - номер 3, страница 40.

3. К числу 9 справа и слева припиши одну и ту же такую цифру, чтобы полученное трёхзначное число делилось на 7 без остатка.

3.

Пусть искомая цифра будет $x$. По условию задачи, эту цифру нужно приписать к числу 9 слева и справа. В результате получится трёхзначное число вида $x9x$. Так как это трёхзначное число, первая цифра $x$ не может быть нулём, следовательно, $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Представим полученное число в виде суммы разрядных слагаемых:

$x9x = x \cdot 100 + 9 \cdot 10 + x \cdot 1 = 100x + 90 + x = 101x + 90$

По условию, это число должно делиться на 7 без остатка. Это значит, что выражение $101x + 90$ должно быть кратно 7. Математически это можно записать как сравнение по модулю 7:

$101x + 90 \equiv 0 \pmod{7}$

Для решения этого сравнения, сначала упростим его коэффициенты, найдя их остатки от деления на 7:

$101 \div 7 = 14$ с остатком 3, следовательно $101 \equiv 3 \pmod{7}$.

$90 \div 7 = 12$ с остатком 6, следовательно $90 \equiv 6 \pmod{7}$.

Теперь подставим упрощённые коэффициенты обратно в сравнение:

$3x + 6 \equiv 0 \pmod{7}$

Перенесём 6 в правую часть:

$3x \equiv -6 \pmod{7}$

Так как $-6 \equiv 1 \pmod{7}$, получаем:

$3x \equiv 1 \pmod{7}$

Теперь нам нужно найти такую цифру $x$ (от 1 до 9), которая при умножении на 3 даёт остаток 1 при делении на 7. Проверим все возможные значения $x$ методом подстановки:

• При $x=1 \implies 3 \cdot 1 = 3 \equiv 3 \pmod{7}$
• При $x=2 \implies 3 \cdot 2 = 6 \equiv 6 \pmod{7}$
• При $x=3 \implies 3 \cdot 3 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$
• При $x=4 \implies 3 \cdot 4 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$
• При $x=5 \implies 3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$. Это решение нам подходит.
• При $x=6 \implies 3 \cdot 6 = 18 \equiv 4 \pmod{7}$
• При $x=7 \implies 3 \cdot 7 = 21 \equiv 0 \pmod{7}$
• При $x=8 \implies 3 \cdot 8 = 24 \equiv 3 \pmod{7}$
• При $x=9 \implies 3 \cdot 9 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$

Единственным подходящим значением является $x=5$. Искомая цифра — 5.

Следовательно, искомое трёхзначное число — 595. Сделаем проверку, разделив его на 7:

$595 \div 7 = 85$

Число 595 делится на 7 без остатка, что соответствует условию задачи.

Ответ: 5.