Страница 47, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Найди значения выражений. Выпиши ответы и продолжи ряд на 3 числа, сохраняя закономерность.

1) $40 : 20 + 0 : 367 + 427 : 1 =$

2) $3078 \cdot 0 + 1 \cdot (201 + 0 : 3078) + 428 : 1 =$

3) $930 - 4 \cdot (25 - 0) - 732 : 732 =$

1) $40 : 20 + 0 : 367 + 427 : 1$
Для решения выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняем деление, а затем сложение.
1. $40 : 20 = 2$
2. $0 : 367 = 0$
3. $427 : 1 = 427$
4. $2 + 0 + 427 = 429$
Ответ: 429

2) $3078 \cdot 0 + 1 \cdot (201 + 0 : 3078) + 428 : 1$
Соблюдаем порядок действий: сначала вычисления в скобках (сначала деление, потом сложение), затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение.
1. $0 : 3078 = 0$ (внутри скобок)
2. $201 + 0 = 201$ (результат в скобках)
3. $3078 \cdot 0 = 0$
4. $1 \cdot 201 = 201$
5. $428 : 1 = 428$
6. $0 + 201 + 428 = 629$
Ответ: 629

3) $930 - 4 \cdot (25 - 0) - 732 : 732$
Соблюдаем порядок действий: сначала вычисление в скобках, затем умножение и деление, и в конце вычитание слева направо.
1. $25 - 0 = 25$ (результат в скобках)
2. $4 \cdot 25 = 100$
3. $732 : 732 = 1$
4. $930 - 100 - 1 = 830 - 1 = 829$
Ответ: 829

Выпишем ответы и продолжим ряд на 3 числа
Полученные ответы образуют числовой ряд: 429, 629, 829.
Чтобы найти закономерность, найдем разницу между соседними числами:
$629 - 429 = 200$
$829 - 629 = 200$
Каждое следующее число в ряду на 200 больше предыдущего. Продолжим ряд, прибавив по 200 три раза:
1. $829 + 200 = 1029$
2. $1029 + 200 = 1229$
3. $1229 + 200 = 1429$
Ответ: 1029, 1229, 1429.

4 Фигуры в равенствах обозначают цифры, причём одинаковыми фигурами обозначены одинаковые цифры, а разными – разные.

$\bullet + \bullet = \blacksquare$

$\blacksquare + \blacksquare = \blacktriangle$

Чему равна сумма $\bullet + \blacksquare + \blacktriangle = ?$ Подчеркни правильный ответ.

A 6 B 8 C 9 D 12 E 18

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы представить каждую фигуру. Пусть:

• Зеленый круг (🟢) = $C$
• Желтый квадрат (🟨) = $S$
• Красный треугольник (🔺) = $T$

Согласно условию, $C$, $S$ и $T$ являются разными цифрами от 0 до 9.

Запишем равенства из условия в виде математических уравнений:

1. 🟢 + 🟢 = 🟨 => $C + C = S$ => $S = 2C$
2. 🟨 + 🟨 + 🟨 = 🔺 => $S + S + S = T$ => $T = 3S$

Теперь у нас есть система уравнений. Мы можем выразить все переменные через одну (например, через $C$), чтобы найти их значения.

Мы уже знаем, что $S = 2C$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$T = 3S = 3(2C) = 6C$

Таким образом, мы выразили все фигуры через $C$:

• Круг = $C$
• Квадрат = $2C$
• Треугольник = $6C$

Теперь воспользуемся условием, что все фигуры обозначают разные однозначные цифры. Это накладывает ограничения на возможные значения $C$.

Поскольку Треугольник ($T$) должен быть цифрой, то его значение не может превышать 9. Отсюда следует:

$T = 6C \le 9$

Это неравенство выполняется только для двух целых неотрицательных значений $C$: $C=0$ и $C=1$.

• Вариант 1: $C = 0$
  Если $C=0$, то $S = 2 \cdot 0 = 0$ и $T = 6 \cdot 0 = 0$. В этом случае все три фигуры обозначают одну и ту же цифру (0), что противоречит условию о том, что разные фигуры обозначают разные цифры. Следовательно, этот вариант не подходит.
• Вариант 2: $C = 1$
  Если $C=1$, то $S = 2 \cdot 1 = 2$ и $T = 6 \cdot 1 = 6$. В этом случае мы получаем три разные цифры: 1, 2 и 6. Это решение полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Итак, мы нашли уникальные значения для каждой фигуры:

• Зеленый круг (🟢) = 1
• Желтый квадрат (🟨) = 2
• Красный треугольник (🔺) = 6

Теперь, зная значения каждой фигуры, мы можем вычислить требуемую сумму:

Сумма = $C + S + T = 1 + 2 + 6 = 9$.

Этот результат соответствует варианту (C) из предложенных ответов.

Ответ: 9

3 Придумай задачи по схемам и найди скорость сближения:

а) 9 км/ч 3 км/ч

$V_{\text{сбл.}} =$

б) 7 м/с 4 м/с

$V_{\text{сбл.}} =$

в) 15 м/мин 8 м/мин

$V_{\text{сбл.}} =$

г) 36 км/ч 64 км/ч

$V_{\text{сбл.}} =$

а) Задача: Два пешехода вышли из двух разных сёл и идут навстречу друг другу. Скорость первого пешехода 9 км/ч, а второго — 3 км/ч. Какова скорость их сближения?
Решение: При движении объектов навстречу друг другу их скорость сближения ($v_{сбл.}$) равна сумме их скоростей ($v_1$ и $v_2$).
$v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 9 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$.
Ответ: 12 км/ч.

б) Задача: Собака со скоростью 7 м/с гонится за кошкой, которая убегает от неё со скоростью 4 м/с. С какой скоростью собака догоняет кошку?
Решение: Когда один объект догоняет другой, двигаясь в одном направлении (движение вдогонку), скорость сближения ($v_{сбл.}$) равна разности их скоростей ($v_1$ и $v_2$).
$v_{сбл.} = v_1 - v_2 = 7 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с} = 3 \text{ м/с}$.
Ответ: 3 м/с.

в) Задача: Две черепахи ползут в одном направлении. Скорость черепахи, которая ползёт сзади, составляет 15 м/мин, а скорость той, что впереди — 8 м/мин. Найдите скорость их сближения.
Решение: Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти скорость сближения ($v_{сбл.}$), нужно из большей скорости ($v_1$) вычесть меньшую ($v_2$).
$v_{сбл.} = v_1 - v_2 = 15 \text{ м/мин} - 8 \text{ м/мин} = 7 \text{ м/мин}$.
Ответ: 7 м/мин.

г) Задача: Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 36 км/ч, а второго – 64 км/ч. Найдите скорость, с которой автомобили сближаются.
Решение: При встречном движении скорость сближения ($v_{сбл.}$) находится путём сложения скоростей объектов ($v_1$ и $v_2$).
$v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 36 \text{ км/ч} + 64 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$.
Ответ: 100 км/ч.

4 Из $8 \text{ кг}$ шерсти получают $10 \text{ м}$ ткани. На один костюм идёт $4 \text{ м}$ ткани. Сколько нужно шерсти, чтобы изготовить ткань для $15$ таких костюмов?

Для решения этой задачи нужно выполнить два действия.

1. Сначала рассчитаем, сколько всего метров ткани необходимо для пошива 15 костюмов.
Известно, что на один костюм идёт 4 метра ткани. Чтобы узнать, сколько ткани потребуется на 15 таких же костюмов, нужно умножить количество костюмов на расход ткани на один костюм:
$15 \times 4 = 60$ (м)
Таким образом, для 15 костюмов потребуется 60 метров ткани.

2. Теперь найдём, сколько килограммов шерсти нужно для производства 60 метров ткани.
В условии сказано, что из 8 кг шерсти получается 10 м ткани. Можно составить пропорцию, чтобы найти необходимое количество шерсти (обозначим его как $x$):
8 кг шерсти — 10 м ткани
$x$ кг шерсти — 60 м ткани
Из пропорции получаем уравнение:
$\frac{8}{x} = \frac{10}{60}$
Чтобы найти $x$, решим это уравнение:
$x = \frac{8 \times 60}{10} = \frac{480}{10} = 48$ (кг)
Следовательно, для производства 60 метров ткани потребуется 48 кг шерсти.

Ответ: чтобы изготовить ткань для 15 таких костюмов, нужно 48 кг шерсти.

5 Выдели из дробей целую часть:

а) $\frac{3}{2} = $

б) $\frac{21}{8} = $

в) $\frac{62}{11} = $

г) $\frac{156}{20} = $

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби (дроби, у которой числитель больше знаменателя или равен ему), необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток от деления станет числителем дробной части, а знаменатель останется без изменений.

а)

Для дроби $\frac{3}{2}$ разделим числитель 3 на знаменатель 2.

$3 \div 2 = 1$ с остатком $1$.

Целая часть равна 1, числитель дробной части — 1, знаменатель — 2.

Следовательно, $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2}$

б)

Для дроби $\frac{21}{8}$ разделим числитель 21 на знаменатель 8.

$21 \div 8 = 2$ с остатком $5$.

Целая часть равна 2, числитель дробной части — 5, знаменатель — 8.

Следовательно, $\frac{21}{8} = 2\frac{5}{8}$.

Ответ: $2\frac{5}{8}$

в)

Для дроби $\frac{62}{11}$ разделим числитель 62 на знаменатель 11.

$62 \div 11 = 5$ с остатком $7$.

Целая часть равна 5, числитель дробной части — 7, знаменатель — 11.

Следовательно, $\frac{62}{11} = 5\frac{7}{11}$.

Ответ: $5\frac{7}{11}$

г)

Для дроби $\frac{156}{20}$ разделим числитель 156 на знаменатель 20.

$156 \div 20 = 7$ с остатком $16$.

Целая часть равна 7, числитель дробной части — 16, знаменатель — 20. Получается смешанное число $7\frac{16}{20}$.

Дробную часть $\frac{16}{20}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4.

$\frac{16 \div 4}{20 \div 4} = \frac{4}{5}$

Следовательно, $\frac{156}{20} = 7\frac{4}{5}$.

Ответ: $7\frac{4}{5}$

6 Запиши смешанные числа в виде неправильной дроби:

а) $2\frac{4}{5}=$

б) $5\frac{2}{3}=$

в) $12\frac{7}{10}=$

г) $2\frac{18}{23}=$

а) Чтобы записать смешанное число $2\frac{4}{5}$ в виде неправильной дроби, нужно его целую часть (2) умножить на знаменатель (5) и к полученному произведению прибавить числитель (4). Результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель (5) оставить прежним.
$2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5}$

Ответ: $\frac{14}{5}$

б) Чтобы записать смешанное число $5\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби, нужно его целую часть (5) умножить на знаменатель (3) и к полученному произведению прибавить числитель (2). Результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель (3) оставить прежним.
$5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{15 + 2}{3} = \frac{17}{3}$

Ответ: $\frac{17}{3}$

в) Чтобы записать смешанное число $12\frac{7}{10}$ в виде неправильной дроби, нужно его целую часть (12) умножить на знаменатель (10) и к полученному произведению прибавить числитель (7). Результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель (10) оставить прежним.
$12\frac{7}{10} = \frac{12 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{120 + 7}{10} = \frac{127}{10}$

Ответ: $\frac{127}{10}$

г) Чтобы записать смешанное число $2\frac{18}{23}$ в виде неправильной дроби, нужно его целую часть (2) умножить на знаменатель (23) и к полученному произведению прибавить числитель (18). Результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель (23) оставить прежним.
$2\frac{18}{23} = \frac{2 \cdot 23 + 18}{23} = \frac{46 + 18}{23} = \frac{64}{23}$

Ответ: $\frac{64}{23}$

7 Вычисли:

a) $15\frac{3}{4} - (8\frac{1}{4} - 4\frac{2}{4} + 2) = $

б) $(3\frac{3}{14} + 1\frac{11}{14}) + 7\frac{13}{14} - (5\frac{5}{14} - 2\frac{6}{14}) = $

а) $15\frac{3}{4} - (8\frac{1}{4} - 4\frac{2}{4} + 2)$

Решим по действиям. Сначала выполним вычисления в скобках.

1) Выполним вычитание в скобках. Чтобы вычесть дробь $4\frac{2}{4}$ из $8\frac{1}{4}$, нужно занять единицу у целой части уменьшаемого, так как $\frac{1}{4} < \frac{2}{4}$.

$8\frac{1}{4} = 7\frac{4+1}{4} = 7\frac{5}{4}$

$7\frac{5}{4} - 4\frac{2}{4} = (7-4) + (\frac{5}{4} - \frac{2}{4}) = 3\frac{3}{4}$

2) Теперь прибавим 2 к полученному результату:

$3\frac{3}{4} + 2 = 5\frac{3}{4}$

3) Выполним последнее действие — вычитание из $15\frac{3}{4}$:

$15\frac{3}{4} - 5\frac{3}{4} = (15-5) + (\frac{3}{4} - \frac{3}{4}) = 10 + 0 = 10$

Ответ: 10

б) $(3\frac{3}{14} + 1\frac{11}{14}) + 7\frac{13}{14} - (5\frac{5}{14} - 2\frac{6}{14})$

Решим по действиям, начиная с выражений в скобках.

1) Вычислим значение в первой скобке:

$3\frac{3}{14} + 1\frac{11}{14} = (3+1) + (\frac{3}{14} + \frac{11}{14}) = 4 + \frac{14}{14} = 4 + 1 = 5$

2) Вычислим значение во второй скобке. Поскольку дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого ($\frac{5}{14} < \frac{6}{14}$), займем единицу у целой части:

$5\frac{5}{14} = 4\frac{14+5}{14} = 4\frac{19}{14}$

$4\frac{19}{14} - 2\frac{6}{14} = (4-2) + (\frac{19}{14} - \frac{6}{14}) = 2\frac{13}{14}$

3) Подставим полученные значения в исходное выражение:

$5 + 7\frac{13}{14} - 2\frac{13}{14}$

4) Удобнее сначала выполнить вычитание, а затем сложение:

$7\frac{13}{14} - 2\frac{13}{14} = (7-2) + (\frac{13}{14} - \frac{13}{14}) = 5 + 0 = 5$

$5 + 5 = 10$

Ответ: 10

3. Реши уравнение:

$25 - (x \cdot 30 + 360) : 70 = 16$

Чтобы решить данное уравнение, будем выполнять действия в обратном порядке, находя неизвестные компоненты.

Исходное уравнение:

$25 - (x \cdot 30 + 360) : 70 = 16$

Сначала определим неизвестное вычитаемое, которым является выражение $(x \cdot 30 + 360) : 70$. Для этого из уменьшаемого ($25$) вычтем разность ($16$).

$(x \cdot 30 + 360) : 70 = 25 - 16$

$(x \cdot 30 + 360) : 70 = 9$

Теперь найдём неизвестное делимое, которым является выражение $(x \cdot 30 + 360)$. Для этого частное ($9$) умножим на делитель ($70$).

$x \cdot 30 + 360 = 9 \cdot 70$

$x \cdot 30 + 360 = 630$

Далее найдём неизвестное слагаемое $x \cdot 30$. Для этого из суммы ($630$) вычтем известное слагаемое ($360$).

$x \cdot 30 = 630 - 360$

$x \cdot 30 = 270$

Наконец, найдём неизвестный множитель $x$. Для этого произведение ($270$) разделим на известный множитель ($30$).

$x = 270 : 30$

$x = 9$

Проверка:

Подставим найденное значение $x = 9$ в исходное уравнение:

$25 - (9 \cdot 30 + 360) : 70 = 16$

$25 - (270 + 360) : 70 = 16$

$25 - 630 : 70 = 16$

$25 - 9 = 16$

$16 = 16$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $9$.

4 Два поезда – пассажирский и товарный – выехали одновременно в противоположных направлениях из двух городов, расстояние между которыми 140 км. Скорость пассажирского поезда 90 км/ч, а скорость товарного составляет $ \frac{5}{6} $ скорости пассажирского. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 2 ч пути?

1. Вычислим скорость товарного поезда.
По условию, скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч, а скорость товарного составляет $ \frac{5}{6} $ от скорости пассажирского. Чтобы найти скорость товарного поезда, умножим скорость пассажирского на дробь:
$ 90 \cdot \frac{5}{6} = \frac{90 \cdot 5}{6} = 15 \cdot 5 = 75 $ (км/ч).
Ответ: скорость товарного поезда составляет 75 км/ч.

2. Найдем скорость удаления поездов друг от друга.
Поскольку поезда движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга, равна сумме их скоростей:
$ 90 + 75 = 165 $ (км/ч).
Ответ: скорость удаления поездов равна 165 км/ч.

3. Найдем расстояние, на которое поезда удалились за 2 часа.
Чтобы найти это расстояние, нужно умножить скорость удаления на время в пути:
$ 165 \cdot 2 = 330 $ (км).
Ответ: за 2 часа поезда удалились друг от друга на 330 км.

4. Определим, на каком расстоянии друг от друга будут поезда через 2 часа.
К начальному расстоянию между городами (140 км) необходимо прибавить расстояние, на которое поезда дополнительно удалились друг от друга за 2 часа:
$ 140 + 330 = 470 $ (км).
Ответ: через 2 часа поезда будут на расстоянии 470 км друг от друга.

5 Определи закономерность и продолжи ряд на три числа:

а) 1, 5, 4, 8, 7, 11, ___

б) 1, 7, 16, 3, 9, 18, 5, 11, 20, ___

а) 1, 5, 4, 8, 7, 11, ...

Закономерность данного числового ряда заключается в последовательном чередовании двух арифметических операций: прибавление 4 и вычитание 1.
$1 + 4 = 5$
$5 - 1 = 4$
$4 + 4 = 8$
$8 - 1 = 7$
$7 + 4 = 11$
Продолжим ряд, следуя этой закономерности:
$11 - 1 = 10$
$10 + 4 = 14$
$14 - 1 = 13$
Таким образом, следующие три числа в ряду — это 10, 14 и 13.
Ответ: 10, 14, 13.

б) 1, 7, 16, 3, 9, 18, 5, 11, 20, ...

В этом ряду можно выявить закономерность, если разбить его на группы по три числа.
Группа 1: 1, 7, 16. Здесь $1 + 6 = 7$, а $7 + 9 = 16$.
Группа 2: 3, 9, 18. Здесь $3 + 6 = 9$, а $9 + 9 = 18$.
Группа 3: 5, 11, 20. Здесь $5 + 6 = 11$, а $11 + 9 = 20$.
Мы видим, что в каждой группе второе число получается прибавлением 6 к первому, а третье — прибавлением 9 ко второму.
Также можно заметить, что первые числа в каждой группе (1, 3, 5) образуют арифметическую прогрессию, где каждое следующее число на 2 больше предыдущего ($1 + 2 = 3$, $3 + 2 = 5$).
Чтобы продолжить ряд, нужно найти четвертую группу чисел. Первое число в ней будет $5 + 2 = 7$.
Теперь найдем остальные два числа в четвертой группе, используя ту же логику:
$7 + 6 = 13$
$13 + 9 = 22$
Следовательно, следующие три числа в ряду — это 7, 13 и 22.
Ответ: 7, 13, 22.