Страница 52, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Сделай оценку площади фигуры. Найди приближённое значение её площади (считать, что площадь каждой клетки равна 1 см²).

Нижняя граница: a = $\text{____} \text{ см}^2$

Верхняя граница: b = $\text{____} \text{ см}^2$

$\text{____} \text{ см}^2 < S < \text{____} \text{ см}^2$

$S \approx \text{____}$

2. Найди наибольшее решение неравенства:

$x < 10 526 400 : (426 \cdot 309 - 129 054)$

Ответ: ____

3. Составь выражения к задачам:

a) В 5 корзин разложили поровну y кг малины. Сколько килограммов малины в трёх таких корзинах? $\text{____}$

б) Автобус проехал n км за 6 ч, а вертолёт пролетел это же расстояние за 2 ч. Во сколько раз скорость вертолёта больше скорости автобуса? $\text{____}$

4*. Продолжи ряд на 3 числа, сохраняя закономерность:

1, 2, 6, 3, 4, 14, 5, 6, 22, ____, ____, ____

1.

Для оценки площади фигуры нужно найти её нижнюю и верхнюю границы. Площадь одной клетки равна 1 см².

Нижняя граница: a =
Нижняя граница (a) — это количество целых клеток, которые полностью находятся внутри фигуры. Посчитав их, получаем 9 клеток.
$a = 9 \text{ см}^2$.

Верхняя граница: b =
Верхняя граница (b) — это количество всех клеток, которые хотя бы частично заняты фигурой. Посчитав их, получаем 21 клетку.
$b = 21 \text{ см}^2$.

Таким образом, площадь фигуры S находится в следующих пределах:
$9 \text{ см}^2 < S < 21 \text{ см}^2$.

S ≈
Приближённое значение площади можно найти как среднее арифметическое её нижней и верхней границ:
$S \approx (a + b) / 2 = (9 + 21) / 2 = 30 / 2 = 15 \text{ см}^2$.

Ответ: Нижняя граница: a = 9 см², Верхняя граница: b = 21 см², 9 см² < S < 21 см², S ≈ 15 см².

2.

Чтобы найти наибольшее решение неравенства $x < 10 526 400 : (426 \cdot 309 - 129 054)$, необходимо вычислить значение выражения в правой части.

1. Выполним умножение в скобках:
$426 \cdot 309 = 131 634$.

2. Выполним вычитание в скобках:
$131 634 - 129 054 = 2 580$.

3. Выполним деление:
$10 526 400 : 2 580 = 4 080$.

Теперь неравенство имеет вид:
$x < 4 080$.

Наибольшим целым решением этого неравенства является число, которое на единицу меньше 4080.
$x = 4079$.

Ответ: 4079.

3.

а) В 5 корзин разложили поровну y кг малины. Сколько килограммов малины в трёх таких корзинах?
Сначала найдём, сколько малины в одной корзине, разделив общую массу $y$ на количество корзин 5: $y : 5$.
Затем умножим массу в одной корзине на 3, чтобы найти массу в трёх корзинах: $(y : 5) \cdot 3$.
Ответ: $y : 5 \cdot 3$.

б) Автобус проехал n км за 6 ч, а вертолёт пролетел это же расстояние за 2 ч. Во сколько раз скорость вертолёта больше скорости автобуса?
Скорость автобуса: $v_a = n : 6$ км/ч.
Скорость вертолёта: $v_в = n : 2$ км/ч.
Чтобы найти, во сколько раз скорость вертолёта больше, нужно разделить скорость вертолёта на скорость автобуса: $(n : 2) : (n : 6)$.
Ответ: $(n : 2) : (n : 6)$.

4*.

Проанализируем ряд чисел: 1, 2, 6, 3, 4, 14, 5, 6, 22, ...

Заметим, что ряд можно разбить на тройки чисел: (1, 2, 6), (3, 4, 14), (5, 6, 22).
В каждой тройке (a, b, c) третье число получается из первых двух по правилу: $c = (a + b) \cdot 2$.
Проверка:
$(1 + 2) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6$.
$(3 + 4) \cdot 2 = 7 \cdot 2 = 14$.
$(5 + 6) \cdot 2 = 11 \cdot 2 = 22$.
Закономерность верна.

Первые числа в тройках (1, 3, 5, ...) — это последовательные нечётные числа. Следующее будет 7.
Вторые числа в тройках (2, 4, 6, ...) — это последовательные чётные числа. Следующее будет 8.

Значит, следующая тройка будет начинаться с чисел 7 и 8. Найдём третье число в этой тройке:
$(7 + 8) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30$.

Таким образом, следующие три числа в ряду — 7, 8, 30.

Ответ: 7, 8, 30.

2 1. Сделай оценку площади фигуры. Найди приближённое значение её площади (считать, что площадь каждой клетки равна 1 см²).

Нижняя граница: $a$ = ____ см²

Верхняя граница: $b$ = ____ см²

____ см² < $S$ < ____ см²

$S \approx$ ____

2. Найди наибольшее решение неравенства:

$x > 156 \cdot (59785100 : 7390) - 859481$

Ответ: ____

3. Составь выражения к задачам:

а) В 8 одинаковых ящиков разложили поровну $b$ кг яблок. Сколько ящиков нужно, чтобы разложить в них так же $c$ кг яблок?

б) Путь от дома до магазина, равный $d$ м, Алёша пробежал за 5 мин, а обратный путь прошёл за 10 мин. На сколько метров в минуту меньше была его скорость на обратном пути?

1.

Для оценки площади фигуры $S$ необходимо найти ее нижнюю и верхнюю границы. Площадь одной клетки равна 1 см².

Нижняя граница (a) — это количество целых клеток, которые полностью находятся внутри фигуры. Визуально подсчитав их на рисунке, получаем 8 целых клеток (2 клетки в верхнем ряду, 4 в среднем и 2 в нижнем).

Нижняя граница: $a = 8$ см².

Верхняя граница (b) — это общее количество клеток, которых фигура касается или которые содержатся в ней. Посчитав все такие клетки по рядам сверху вниз, получаем: $2 + 6 + 8 + 6 + 2 = 24$ клетки.

Верхняя граница: $b = 24$ см².

Таким образом, площадь фигуры $S$ заключена в интервале между нижней и верхней границами: $8 \text{ см}^2 < S < 24 \text{ см}^2$.

Приближенное значение площади можно найти как среднее арифметическое ее границ: $S \approx (a + b) / 2$.

$S \approx (8 + 24) / 2 = 32 / 2 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: Нижняя граница: a = 8 см², Верхняя граница: b = 24 см², $8 \text{ см}^2 < S < 24 \text{ см}^2$, $S \approx 16 \text{ см}^2$.

2.

Чтобы решить неравенство, сначала вычислим значение выражения в его правой части: $156 \cdot (59 785 100 : 7390) - 859 481$.

1) Выполним деление в скобках:
$59 785 100 : 7390 = 5 978 510 : 739 = 8090$.

2) Выполним умножение:
$156 \cdot 8090 = 1 262 040$.

3) Выполним вычитание:
$1 262 040 - 859 481 = 402 559$.

Теперь неравенство имеет вид: $x > 402 559$.

В задаче требуется найти наибольшее решение. Однако, для неравенства $x > 402 559$ существует бесконечно много целых решений (402560, 402561, 402562 и так далее), и среди них нет наибольшего. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и знак неравенства должен быть «<». Если предположить, что неравенство должно быть $x < 402 559$, то наибольшим целым решением будет число 402558.

Ответ: 402558.

3.

а)

1. Сначала найдем, сколько килограммов яблок помещается в один ящик. Для этого общее количество яблок ($b$ кг) разделим на количество ящиков (8):
$b : 8$ (кг в одном ящике).

2. Теперь найдем, сколько ящиков потребуется для $c$ кг яблок. Для этого новое общее количество яблок ($c$ кг) разделим на количество яблок в одном ящике ($b : 8$):
$c : (b : 8)$.

Ответ: $c : (b : 8)$.

б)

1. Найдем скорость Алёши по пути в магазин. Он прошел $d$ метров за 5 минут. Скорость $v_1$ равна расстоянию, деленному на время:
$v_1 = d : 5$ (м/мин).

2. Найдем скорость Алёши на обратном пути. Он прошел то же расстояние $d$ метров за 10 минут. Скорость $v_2$ равна:
$v_2 = d : 10$ (м/мин).

3. Чтобы найти, на сколько скорость на обратном пути была меньше, нужно из скорости по пути в магазин вычесть скорость на обратном пути:
$v_1 - v_2 = (d : 5) - (d : 10)$.

Ответ: $d : 5 - d : 10$.

1 Заяц и Лиса идут навстречу друг другу со скоростями $v_1$ м/мин и $v_2$ м/мин. На сколько метров уменьшится расстояние между ними за 3 мин? Составь выражение.

Чтобы определить, на сколько метров уменьшится расстояние между Зайцем и Лисой, необходимо найти их общую скорость сближения и умножить её на время движения.

1. Скорость сближения.

Поскольку Заяц и Лиса движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость, с которой они сближаются, называется скоростью сближения ($v_{сбл}$).

Выражение для скорости сближения:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$ (м/мин)

2. Уменьшение расстояния за 3 минуты.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время ($t = 3$ мин). В данном случае, мы умножаем скорость сближения на заданное время.

Выражение для уменьшения расстояния (S):

$S = v_{сбл} \cdot t = (v_1 + v_2) \cdot 3$ (м)

Это выражение показывает, на сколько метров Заяц и Лиса станут ближе друг к другу за 3 минуты.

Ответ: $(v_1 + v_2) \cdot 3$ м.

2 а) Попробуй решить задачу, составляя выражения:
«Велосипедист и мотоциклист едут навстречу друг другу со скоростями соответственно 20 км/ч и 40 км/ч. Сейчас между ними 180 км. На каком расстоянии друг от друга они будут через 2 ч? Через сколько времени они встретятся?»

Что ты пока не знаешь?
Поставь перед собой цель и составь план.

20 км/ч →
← 40 км/ч
0—20—40—60—80—100—120—140—160—180

✓ Чему равно первоначальное расстояние между велосипедистом и мотоциклистом?

✓ На сколько оно уменьшается каждый час? $v_{\text{сбл.}} = \text{____________}$

✓ Сколько времени пройдёт до встречи? $t_{\text{встр.}} = \text{____________}$

✓ Запиши в таблице, каким станет расстояние $d$ между велосипедистом и мотоциклистом через 1 ч, 2 ч, 3 ч, $t$ ч?

✓ Построй формулу расстояния $d$ между ними в зависимости от $t$:
$d = \text{________} - (\text{________} + \text{________}) \cdot \text{________}$

✓ Запиши общую формулу, обозначив $v_1$ и $v_2$ скорости движения объектов, а $s$ – первоначальное расстояние между ними:
$d = \text{________} - (\text{________} + \text{________}) \cdot \text{________}$

✓ Чему равно значение $d$ при встрече? Что можно сказать об уменьшаемом и вычитаемом? Какая формула получится? Сделай вывод.
$= (\text{________} + \text{________}) \cdot \text{________}$

Проверь себя по учебнику, с. 87. Если нужно, исправь ошибки.

а) Попробуй решить задачу, составляя выражения:
Чтобы решить задачу, выполним следующие шаги:
1. Найдём скорость сближения велосипедиста и мотоциклиста. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:
$v_{сбл} = 20 + 40 = 60$ (км/ч).
2. Вычислим, на каком расстоянии они будут друг от друга через 2 часа. Для этого из начального расстояния вычтем путь, который они проедут вместе за это время:
$d = 180 - (20 + 40) \cdot 2 = 180 - 60 \cdot 2 = 180 - 120 = 60$ (км).
3. Найдём время, через которое они встретятся. Для этого разделим начальное расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = 180 : (20 + 40) = 180 : 60 = 3$ (ч).
Ответ: Через 2 часа расстояние между ними будет 60 км, а встретятся они через 3 часа.

б) Покажи движение велосипедиста и мотоциклиста на координатном луче. Используя схему, ответь на вопросы и выполни задания.

Чему равно первоначальное расстояние между велосипедистом и мотоциклистом?
Первоначальное расстояние дано в условии задачи и показано на схеме.
Ответ: 180 км.

На сколько оно уменьшается каждый час?
Каждый час расстояние между ними уменьшается на величину их общей скорости, которую называют скоростью сближения ($v_{сбл}$).
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 20 + 40 = 60$ (км/ч).
Ответ: Расстояние уменьшается на 60 км каждый час.

Сколько времени пройдёт до встречи?
Время до встречи ($t_{встр}$) можно найти, разделив первоначальное расстояние ($s$) на скорость сближения ($v_{сбл}$).
$t_{встр} = s : v_{сбл} = 180 : 60 = 3$ (ч).
Ответ: До встречи пройдёт 3 часа.

Запиши в таблице, каким станет расстояние d между велосипедистом и мотоциклистом через 1 ч, 2 ч, 3 ч, t ч?
Рассчитаем расстояние $d$ для каждого указанного момента времени $t$:
- Через 1 час: $d = 180 - (20+40) \cdot 1 = 180 - 60 = 120$ км.
- Через 2 часа: $d = 180 - (20+40) \cdot 2 = 180 - 120 = 60$ км.
- Через 3 часа: $d = 180 - (20+40) \cdot 3 = 180 - 180 = 0$ км.
- Через $t$ часов: $d = 180 - (20+40) \cdot t$.
Заполненная таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

Построй формулу расстояния d между ними в зависимости от t:
Формула зависимости расстояния $d$ от времени $t$ выводится так: из начального расстояния (180 км) вычитается путь, на который они сблизились за время $t$. Этот путь равен произведению скорости сближения (60 км/ч) на время $t$.
Ответ: $d = 180 - (20 + 40) \cdot t$.

Запиши общую формулу, обозначив v₁ и v₂ скорости движения объектов, а s – первоначальное расстояние между ними:
Для получения общей формулы заменим числовые значения в предыдущем выражении на буквенные обозначения: 180 км на $s$, 20 км/ч на $v_1$ и 40 км/ч на $v_2$.
Ответ: $d = s - (v_1 + v_2) \cdot t$.

Чему равно значение d при встрече? Что можно сказать об уменьшаемом и вычитаемом? Какая формула получится? Сделай вывод.
В момент встречи расстояние между велосипедистом и мотоциклистом становится равным нулю, следовательно, $d = 0$.
Если подставить это значение в общую формулу, получим $0 = s - (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$.
Из этого равенства следует, что уменьшаемое ($s$) равно вычитаемому ($(v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$).
Таким образом, получается формула: $s = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$.
Вывод: при встречном движении первоначальное расстояние равно произведению скорости сближения на время до встречи.
Ответ: При встрече $d=0$. Уменьшаемое становится равным вычитаемому. Получается формула $s = (v_1 + v_2) \cdot t$.

1. Туристы отправились в поход. На рисунке показан график их движения. Вставь в рассказ пропущенные числа.

Туристы выехали из города на велосипедах в __ ч утра со скоростью __ км/ч. Через __ ч они остановились у велостоянки, чтобы поставить свои велосипеды, а в __ ч __ мин пошли пешком со скоростью __ км/ч.

В __ ч __ мин в __ км от города они сделали привал. Там они обедали, отдыхали, играли в футбол до __ ч __ мин. Затем они отправились в обратный путь со скоростью __ км/ч. Дойдя до велостоянки, туристы за __ мин взяли свои велосипеды и в __ ч __ мин поехали в город со скоростью __ км/ч. В город они вернулись в __ ч.

2. Составь программу действий и вычисли:

$6920 \cdot 804 : 670 - (254716 + 97874) : 438 = $

3*. Лист бумаги сложили и разрезали, как показано на рисунке. Сколько кусочков получилось?

1.

Для того чтобы заполнить пропуски в рассказе, проанализируем график движения туристов. Ось ординат (вертикальная) показывает расстояние от города $S$ в километрах, а ось абсцисс (горизонтальная) — время $t$ в часах и минутах.

• Участок 1 (9:00 – 10:00): Движение на велосипедах.
  Время в пути: $10:00 - 9:00 = 1$ час.
  Пройденное расстояние: $18 - 0 = 18$ км.
  Скорость: $v = S/t = 18 \text{ км} / 1 \text{ ч} = 18$ км/ч.
  Туристы выехали в 9 ч утра со скоростью 18 км/ч.
• Остановка 1 (10:00 – 10:30): График — горизонтальная линия, значит, была остановка у велостоянки.
  Они остановились через $10:00 - 9:00 = 1$ час после выезда.
  Они остановились через 1 ч.
• Участок 2 (10:30 – 12:30): Движение пешком.
  Время начала движения пешком: 10 ч 30 мин.
  Время в пути: $12:30 - 10:30 = 2$ часа.
  Пройденное расстояние: $30 - 18 = 12$ км.
  Скорость: $v = 12 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 6$ км/ч.
  Пошли пешком со скоростью 6 км/ч.
• Привал (12:30 – 15:00): Остановка на максимальном удалении от города.
  Время начала привала: 12 ч 30 мин.
  Расстояние от города: 30 км.
  Время окончания привала: 15 ч 00 мин.
• Участок 3 (15:00 – 17:00): Возвращение пешком до велостоянки.
  Время в пути: $17:00 - 15:00 = 2$ часа.
  Пройденное расстояние: $30 - 18 = 12$ км.
  Скорость: $v = 12 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 6$ км/ч.
  Отправились в обратный путь со скоростью 6 км/ч.
• Участок 4 (17:00 – 18:00): Возвращение на велосипедах.
  Туристы дошли до велостоянки в 17:00. Судя по графику, они сразу же поехали дальше, без остановки. Следовательно, время, чтобы взять велосипеды, равно 0 мин.
  Они поехали в город в 17 ч.
  Время в пути: $18:00 - 17:00 = 1$ час.
  Пройденное расстояние: $18 - 0 = 18$ км.
  Скорость: $v = 18 \text{ км} / 1 \text{ ч} = 18$ км/ч.
  Поехали со скоростью 18 км/ч.
• Прибытие: Туристы вернулись в город ($S=0$) в 18 ч.

Ответ: 9, 18, 1, 10, 30, 6, 12, 30, 30, 15, 00, 6, 0, 17, 18, 18.

2. Составь программу действий и вычисли:

Вычислим значение выражения: $6920 \cdot 804 : 670 - (254716 + 97874) : 438$.

1. Первым действием выполним сложение в скобках:
   $254716 + 97874 = 352590$
2. Вторым действием выполним умножение:
   $6920 \cdot 804 = 5563680$
3. Третьим действием выполним деление произведения на 670:
   $5563680 : 670 = 8304$
4. Четвертым действием выполним деление суммы из скобок на 438:
   $352590 : 438 = 805$
5. Пятым, последним, действием выполним вычитание:
   $8304 - 805 = 7499$

Ответ: 7499.

3*.

Проанализируем процесс складывания и разрезания листа бумаги, как показано на рисунке.

1. Квадратный лист бумаги складывают пополам, а затем еще раз пополам. В результате получается квадрат, состоящий из 4 слоев бумаги.
2. На рисунке видно, что разрез делается в углу, где нет сгибов. Этот угол соответствует четырем внешним углам исходного большого листа бумаги.
3. При разрезании этого угла образуются две группы сложенных частей: маленький отрезанный уголок (4 слоя) и большая оставшаяся часть листа (4 слоя).
4. Когда мы развернем маленький отрезанный уголок, мы получим 4 отдельных маленьких кусочка, так как они происходят из разных углов исходного листа и не соединены между собой.
5. Когда мы развернем большую оставшуюся часть, мы получим 1 большой кусок бумаги, у которого все четыре угла обрезаны.
6. Таким образом, общее количество получившихся кусочков равно сумме кусочков из обеих групп: $4 + 1 = 5$.

Ответ: 5.