Страница 48, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Вычисли частное и сделай проверку:

a) $155\,800 : 76$

a)

б) $3\,571\,200 : 384$

б)

2. Выполни деление с остатком и сделай проверку: $238\,110 : 85$

3. Вычисли устно и запиши ответ:

$75\,608 : 10 =$

$75\,608 : 100 =$

$75\,608 : 1000 =$

$75\,608 : 10\,000 =$

4*. В магазин обуви пришли 4 сороконожки в одинаковых башмачках (у каждой – по 20 пар ног). У одной из сороконожек не хватало обуви на задней половине ног, у другой – на передней половине, у третьей обуты были только правые ножки, а у четвёртой – только левые. Они купили в магазине обувь и ушли полностью обутые. Сколько пар обуви купили сороконожки в магазине?

1. Вычисли частное и сделай проверку:

а) 155 800 : 76

Выполним деление столбиком. Сначала делим 155 на 76, получаем 2. $2 \times 76 = 152$. Остаток 3. Сносим 8, получаем 38. 38 на 76 не делится, пишем в частном 0. Сносим 0, получаем 380. Делим 380 на 76, получаем 5. $5 \times 76 = 380$. Остаток 0. Сносим последний 0, пишем 0 в частное. Получаем 2050.
$155 800 : 76 = 2050$
Проверка:
$2050 \times 76 = 155 800$
$155 800 = 155 800$

Ответ: 2050.

б) 3 571 200 : 384

Выполним деление столбиком. Сначала делим 3571 на 384, получаем 9. $9 \times 384 = 3456$. Остаток 115. Сносим 2, получаем 1152. Делим 1152 на 384, получаем 3. $3 \times 384 = 1152$. Остаток 0. Оставшиеся два нуля из делимого переносим в частное. Получаем 9300.
$3 571 200 : 384 = 9300$
Проверка:
$9300 \times 384 = 3 571 200$
$3 571 200 = 3 571 200$

Ответ: 9300.

2. Выполни деление с остатком и сделай проверку: 238 110 : 85

Выполним деление с остатком столбиком. 238 делим на 85, получаем 2 (остаток 68). Сносим 1, получаем 681. 681 делим на 85, получаем 8 (остаток 1). Сносим 1, получаем 11. 11 делим на 85, получаем 0 (остаток 11). Сносим 0, получаем 110. 110 делим на 85, получаем 1 (остаток 25).
$238 110 : 85 = 2801$ (ост. 25)
Проверка:
Для проверки нужно частное умножить на делитель и прибавить остаток. В результате должно получиться делимое.
$(2801 \times 85) + 25 = 238 085 + 25 = 238 110$
$238 110 = 238 110$

Ответ: 2801 (ост. 25).

3. Вычисли устно и запиши ответ:

При делении целого числа на 10, 100, 1000 и т.д., частное — это число, которое получается, если убрать с конца делимого столько цифр, сколько нулей в делителе. Убранные цифры составляют остаток.
75 608 : 10 = 7560 (ост. 8)
75 608 : 100 = 756 (ост. 8)
75 608 : 1000 = 75 (ост. 608)
75 608 : 10 000 = 7 (ост. 5608)

Ответ: 75 608 : 10 = 7560 (ост. 8); 75 608 : 100 = 756 (ост. 8); 75 608 : 1000 = 75 (ост. 608); 75 608 : 10 000 = 7 (ост. 5608).

4*.

Для решения этой логической задачи посчитаем, сколько пар обуви не хватало всем сороконожкам вместе.
1. У каждой сороконожки 20 пар ног, то есть $20 \times 2 = 40$ ног.
2. Первой сороконожке не хватало обуви на задней половине ног. Половина — это 20 ног, что составляет $20 \div 2 = 10$ пар обуви.
3. Второй сороконожке не хватало обуви на передней половине ног, что также составляет 10 пар обуви.
4. У третьей сороконожки были обуты только правые ножки. У нее 20 правых и 20 левых ножек, значит, ей не хватало 20 левых башмачков.
5. У четвертой сороконожки были обуты только левые ножки, значит, ей не хватало 20 правых башмачков.
6. Вместе третьей и четвертой сороконожке не хватало 20 левых и 20 правых башмачков, что составляет ровно 20 пар обуви.
7. Чтобы узнать, сколько всего пар обуви купили сороконожки, сложим их потребности: $10 \text{ (для первой)} + 10 \text{ (для второй)} + 20 \text{ (для третьей и четвертой)} = 40$ пар обуви.

Ответ: 40 пар обуви.

Назови виды движения. Укажи, в каких случаях расстояние между движущимися точками уменьшается ($\downarrow$), а в каких — увеличивается ($\uparrow$).

Сценарий 1:

12 км/ч $\rightarrow$

7 км/ч $\leftarrow$

Сценарий 2:

12 км/ч $\rightarrow$

7 км/ч $\rightarrow$

Сценарий 3:

12 км/ч $\leftarrow$

7 км/ч $\rightarrow$

Сценарий 4:

7 км/ч $\rightarrow$

12 км/ч $\rightarrow$

Верхний левый рисунок
Это встречное движение. Два объекта движутся навстречу друг другу, поэтому расстояние между ними сокращается. Скорость, с которой они сближаются (скорость сближения), равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = 12 \text{ км/ч} + 7 \text{ км/ч} = 19 \text{ км/ч}$. Так как объекты сближаются, расстояние между ними уменьшается.
Ответ: ↓

Верхний правый рисунок
Это движение вдогонку. Объекты движутся в одном направлении, при этом скорость объекта, который находится сзади ($12$ км/ч), больше скорости объекта, который находится впереди ($7$ км/ч). Следовательно, первый объект догоняет второй, и расстояние между ними уменьшается. Скорость сближения в этом случае равна разности скоростей: $v_{сближения} = 12 \text{ км/ч} - 7 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$. Расстояние уменьшается.
Ответ: ↓

Нижний левый рисунок
Это движение в противоположных направлениях. Объекты движутся в разные стороны, отдаляясь друг от друга. Расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), равна сумме их скоростей: $v_{удаления} = 12 \text{ км/ч} + 7 \text{ км/ч} = 19 \text{ км/ч}$. Расстояние увеличивается.
Ответ: ↑

Нижний правый рисунок
Это движение с отставанием. Объекты движутся в одном направлении, но скорость объекта, который находится впереди ($12$ км/ч), больше скорости объекта, который сзади ($7$ км/ч). Поэтому передний объект "убегает" от заднего, и расстояние между ними увеличивается. Скорость удаления равна разности скоростей: $v_{удаления} = 12 \text{ км/ч} - 7 \text{ км/ч} = 5 \text{ км/ч}$. Расстояние увеличивается.
Ответ: ↑

2 a) Попробуй найти скорость удаления движущихся точек ($v_{\text{уд.}}$):

(I) 2 м/с ← → 4 м/с

$v_{\text{уд.}}$ = _________

(II) 2 м/с → → 4 м/с

$v_{\text{уд.}}$ = _________

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Покажи движение точек на координатном луче, заполни пропуски ($x_1$ и $x_2$ - координаты движущихся точек, $d$ - расстояние между ними). Что ты замечаешь? Сделай вывод.

(I) Координатный луч: 0 2 6 10 14 18 22

Стрелки: (на 6) ← 2 м/с, (на 10) → 4 м/с

Точки удаляются на _________ м/с.

Вывод:

При движении в противоположных направлениях скорость удаления равна

_________ скоростей.

$v_{\text{уд.}}$ = _________

(II) Координатный луч: 0 2 6 10 14 18 22

Стрелки: (на 6) → 2 м/с, (на 10) → 4 м/с

Точки удаляются на _________ м/с.

Вывод:

При движении с отставанием скорость удаления равна

_________ скоростей.

$v_{\text{уд.}}$ = _________

Проверь свои выводы по учебнику, с. 81. Если нужно, исправь ошибки.

a)

I $v_{уд.} = 6 \text{ м/с}$

II $v_{уд.} = 2 \text{ м/с}$

б)

I

Точки удаляются на 6 м/с.

Ответ: 6 м/с.

II

Точки удаляются на 2 м/с.

Ответ: 2 м/с.

Рассмотри графики движения. Найди скорости движения и определи, чьи это могут быть графики? Нарисуй движущиеся объекты I и II (или наклей картинки) справа от графиков. Ответь на вопросы.

a) s км

$v_1 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

$v_2 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

1) В котором часу началось движение I? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

2) В каком направлении двигался I? Из \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ В \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

3) В каком направлении двигался II? Из \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ В \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

4) Когда и на каком расстоянии от А произошла встреча? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

5) В котором часу I прибыл в пункт В? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ II прибыл в пункт А? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

6) На каком расстоянии друг от друга были I и II в полдень? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

7) На сколько дольше был в пути I, чем II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

t ч

б) s км

$v_1 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

$v_2 = \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_$

1) Сколько времени был в пути I? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

2) Какой путь проехал I? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

3) Через сколько времени после выхода I произошла встреча? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

На каком расстоянии от пункта В? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

4) Была ли остановка у I? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ у II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ Если «да», то сколько времени она длилась? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

5) Какое расстояние было между I и II в момент выхода II? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

6) Кто из них раньше приехал в пункт В и на сколько? \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

t ч

а)

Для начала определим скорости движущихся объектов.
Скорость объекта I ($v_1$). График движения объекта I состоит из трех участков. На двух он движется, на одном — стоит.
1. С 9:00 до 11:00 (за 2 часа) объект прошел 4 км. Его скорость на этом участке была $v_{1a} = \frac{4 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 2 \text{ км/ч}$.
2. С 11:30 до 13:30 (за 2 часа) объект прошел расстояние от 4 км до 14 км, то есть $14 - 4 = 10$ км. Его скорость на этом участке была $v_{1b} = \frac{10 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 5 \text{ км/ч}$.
Скорость объекта II ($v_2$). Объект II двигался из точки B (16 км) в точку A (0 км) с 10:30 до 12:00.
Время в пути: $t_2 = 12:00 - 10:30 = 1.5$ часа.
Пройденный путь: $s_2 = 16$ км.
Скорость: $v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{16 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = \frac{16}{3/2} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \text{ км/ч}$.
Таким образом, $v_1$ имеет два значения: 2 км/ч и 5 км/ч, а $v_2 = 10\frac{2}{3}$ км/ч.

1) В котором часу началось движение I? II?

Согласно графику, движение объекта I началось в 9:00, а движение объекта II — в 10:30.

Ответ: I в 9:00, II в 10:30.

2) В каком направлении двигался I? Из ___ в ___

Объект I начал движение от отметки s=0 км (пункт А) и двигался в сторону увеличения расстояния, то есть к пункту В.

Ответ: Из А в В.

3) В каком направлении двигался II? Из ___ в ___

Объект II начал движение от отметки s=16 км (пункт В) и двигался в сторону уменьшения расстояния до нуля, то есть к пункту А.

Ответ: Из В в А.

4) Когда и на каком расстоянии от А произошла встреча?

Встреча соответствует точке пересечения графиков. Для нахождения точных координат решим систему уравнений движения. Отсчет времени $t$ будем вести в часах от 9:00.
Уравнение для I (до остановки): $s_1(t) = 2t$.
Уравнение для II: прямая проходит через точки (1.5, 16) и (3, 0). Ее уравнение: $s_2(t) = -\frac{32}{3}(t-3)$.
Приравниваем $s_1$ и $s_2$: $2t = -\frac{32}{3}(t-3) \Rightarrow 6t = -32t + 96 \Rightarrow 38t = 96 \Rightarrow t = \frac{48}{19}$ ч.
Это $t = 2 \frac{10}{19}$ часа после 9:00, что примерно равно 2 ч 32 мин. То есть, встреча произошла в 11:32.
Расстояние от А: $s = 2 \cdot \frac{48}{19} = \frac{96}{19} \approx 5.1$ км.

Ответ: Встреча произошла примерно в 11:32 на расстоянии около 5.1 км от пункта А.

5) В котором часу I прибыл в пункт B? II прибыл в пункт A?

Из графика видно, что объект II прибыл в пункт А (s=0) в 12:00.
График движения объекта I заканчивается в 13:30 в точке s=14 км. Пункт B находится на расстоянии 16 км от А. Следовательно, к 13:30 объект I еще не достиг пункта В.

Ответ: II прибыл в пункт А в 12:00. Объект I к 13:30 в пункт В не прибыл.

6) На каком расстоянии друг от друга были I и II в полдень?

Полдень — это 12:00. В это время объект II был в пункте А ($s_2 = 0$ км).
Объект I с 11:30 двигался со скоростью 5 км/ч от отметки 4 км. К 12:00 он двигался 0.5 часа и прошел $5 \text{ км/ч} \cdot 0.5 \text{ ч} = 2.5$ км.
Его координата: $s_1 = 4 + 2.5 = 6.5$ км.
Расстояние между ними: $6.5 - 0 = 6.5$ км.

Ответ: 6.5 км.

7) На сколько дольше был в пути I, чем II?

Время движения I по графику: с 9:00 до 13:30, то есть 4.5 часа.
Время движения II по графику: с 10:30 до 12:00, то есть 1.5 часа.
Разница: $4.5 - 1.5 = 3$ часа.

Ответ: I был в пути дольше на 3 часа.

б)

Определим скорости движущихся объектов.
Скорость объекта I ($v_1$). Объект I двигался с 0 до 2 часов, проехав 40 км. Затем стоял 1 час. Затем с 3 до 5 часов проехал еще 40 км (с 40 км до 80 км). В обоих случаях скорость движения была одинакова:
$v_1 = \frac{40 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч}$.
Скорость объекта II ($v_2$). Объект II двигался с 3 ч до 4.5 ч, то есть 1.5 часа, и проехал 80 км.
$v_2 = \frac{80 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = \frac{80}{3/2} = \frac{160}{3} = 53\frac{1}{3} \text{ км/ч}$.
Таким образом, $v_1 = 20$ км/ч, а $v_2 = 53\frac{1}{3}$ км/ч.

1) Сколько времени был в пути I? II?

Объект I находился в пути с 0 до 5 часов. Общее время: 5 часов.
Объект II находился в пути с 3 до 4.5 часов. Общее время: $4.5 - 3 = 1.5$ часа.

Ответ: I — 5 часов, II — 1.5 часа.

2) Какой путь проехал I? II?

Оба объекта проехали от пункта А (0 км) до пункта В (80 км). Таким образом, каждый из них проехал 80 км.

Ответ: I — 80 км, II — 80 км.

3) Через сколько времени после выхода I произошла встреча? На каком расстоянии от пункта B?

Встреча (обгон) произойдет, когда координаты объектов совпадут ($s_1 = s_2$). Это случится после 3 часов, когда движутся оба объекта.
Уравнение движения I (при $t \ge 3$): $s_1(t) = 40 + 20(t - 3)$.
Уравнение движения II (при $t \ge 3$): $s_2(t) = \frac{160}{3}(t - 3)$.
Приравняем: $40 + 20(t - 3) = \frac{160}{3}(t - 3)$.
$40 = (\frac{160}{3} - 20)(t - 3) \Rightarrow 40 = (\frac{160 - 60}{3})(t-3) \Rightarrow 40 = \frac{100}{3}(t-3)$.
$t - 3 = \frac{40 \cdot 3}{100} = 1.2$ часа.
$t = 3 + 1.2 = 4.2$ часа.
Встреча произошла через 4.2 часа (4 часа 12 минут) после выхода I.
Расстояние от А в этот момент: $s = s_1(4.2) = 40 + 20(4.2 - 3) = 40 + 20(1.2) = 40 + 24 = 64$ км.
Расстояние от пункта В (80 км): $80 - 64 = 16$ км.

Ответ: Через 4.2 часа (4 часа 12 минут), на расстоянии 16 км от пункта В.

4) Была ли остановка у I? у II? Если «да», то сколько времени она длилась?

На графике I есть горизонтальный участок с t=2 до t=3, что означает остановку длительностью $3 - 2 = 1$ час.
График II — это непрерывная наклонная линия, что означает движение без остановок.

Ответ: У I была остановка длительностью 1 час. У II остановок не было.

5) Какое расстояние было между I и II в момент выхода II?

Объект II вышел в t=3 ч. В этот момент он был в точке А ($s_2=0$).
Объект I в t=3 ч находился в точке s=40 км (он только что закончил остановку).
Расстояние между ними составляло $40 - 0 = 40$ км.

Ответ: 40 км.

6) Кто из них раньше приехал в пункт B и на сколько?

Объект I прибыл в пункт В (80 км) в t=5 часов.
Объект II прибыл в пункт В (80 км) в t=4.5 часа.
Следовательно, II приехал раньше.
Разница во времени: $5 - 4.5 = 0.5$ часа (30 минут).

Ответ: II приехал раньше на 0.5 часа (на 30 минут).