Страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Начертите отрезок, длина которого равна 12 клеткам. С помощью рисунка покажите, что

$ \frac{5}{6} > \frac{3}{6} $, $ \frac{5}{12} < \frac{7}{12} $

Сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Расскажите, как привести к общему знаменателю дроби

$ \frac{3}{8} $ и $ \frac{5}{6} $

Покажите разные способы сравнения дробей

$ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{5} $

Начертите отрезок, длина которого равна 12 клеткам. С помощью рисунка покажите, что $ \frac{5}{6} > \frac{3}{6} $, $ \frac{5}{12} < \frac{7}{12} $. Сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Представим отрезок, который занимает 12 клеток. Этот отрезок будет нашим целым, то есть единицей.

Сравнение дробей $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{3}{6} $

Знаменатель 6 показывает, что наш отрезок из 12 клеток нужно разделить на 6 равных частей. Длина каждой такой части будет равна $ 12 \div 6 = 2 $ клетки.

• Дробь $ \frac{5}{6} $ означает, что мы берем 5 таких частей. Длина этого нового отрезка будет $ 5 \times 2 = 10 $ клеток.
• Дробь $ \frac{3}{6} $ означает, что мы берем 3 такие части. Длина этого отрезка будет $ 3 \times 2 = 6 $ клеток.

На рисунке видно, что отрезок длиной 10 клеток длиннее отрезка длиной 6 клеток. Следовательно, $ \frac{5}{6} > \frac{3}{6} $.

Сравнение дробей $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{7}{12} $

Знаменатель 12 показывает, что наш отрезок нужно разделить на 12 равных частей. Так как длина всего отрезка 12 клеток, то каждая часть равна 1 клетке.

• Дробь $ \frac{5}{12} $ соответствует 5 таким частям, то есть отрезку длиной 5 клеток.
• Дробь $ \frac{7}{12} $ соответствует 7 таким частям, то есть отрезку длиной 7 клеток.

Сравнивая длины, видим, что 5 клеток < 7 клеток. Следовательно, $ \frac{5}{12} < \frac{7}{12} $.

Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.

Ответ: Наглядная демонстрация на отрезке в 12 клеток показывает, что $ \frac{5}{6} $ (10 клеток) больше, чем $ \frac{3}{6} $ (6 клеток), а $ \frac{5}{12} $ (5 клеток) меньше, чем $ \frac{7}{12} $ (7 клеток). Правило: при одинаковых знаменателях сравниваются числители.

Расскажите, как привести к общему знаменателю дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{5}{6} $.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это число и будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ). В нашем случае знаменатели — 8 и 6.
   • Числа, кратные 8: 8, 16, 24, 32, ...
   • Числа, кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, ...
   Наименьшее общее кратное для 8 и 6 — это 24. Значит, НОЗ = 24.
2. Найти для каждой дроби дополнительный множитель. Для этого нужно общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби.
   • Для дроби $ \frac{3}{8} $ дополнительный множитель: $ 24 \div 8 = 3 $.
   • Для дроби $ \frac{5}{6} $ дополнительный множитель: $ 24 \div 6 = 4 $.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
   • $ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24} $
   • $ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24} $

Таким образом, дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{5}{6} $ приведены к общему знаменателю 24.

Ответ: Дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{5}{6} $ приводятся к общему знаменателю 24 и становятся равными $ \frac{9}{24} $ и $ \frac{20}{24} $ соответственно.

Покажите разные способы сравнения дробей $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{5} $.

Существует несколько способов сравнить дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{5} $.

Способ 1: Приведение к общему знаменателю

Это самый универсальный способ. Найдём наименьший общий знаменатель для 4 и 5. Так как у чисел 4 и 5 нет общих делителей кроме 1, их НОК равен их произведению: $ 4 \times 5 = 20 $.

Приведём дроби к знаменателю 20:

• $ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} $
• $ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} $

Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{15}{20} > \frac{8}{20} $, так как $ 15 > 8 $. Следовательно, $ \frac{3}{4} > \frac{2}{5} $.

Способ 2: Преобразование в десятичные дроби

Переведём обыкновенные дроби в десятичные, разделив числитель на знаменатель.

• $ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75 $
• $ \frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0.4 $

Сравним полученные десятичные дроби: $ 0.75 > 0.4 $. Следовательно, $ \frac{3}{4} > \frac{2}{5} $.

Способ 3: "Перекрёстное" умножение

Чтобы сравнить две дроби, можно умножить числитель первой дроби на знаменатель второй и числитель второй дроби на знаменатель первой. Какая дробь "даст" большее произведение, та и больше.

Для дробей $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{2}{5} $ сравним произведения:

• $ 3 \times 5 = 15 $
• $ 2 \times 4 = 8 $

Так как $ 15 > 8 $, то и первая дробь больше второй. Следовательно, $ \frac{3}{4} > \frac{2}{5} $.

Способ 4: Сравнение с числом-посредником

В качестве посредника удобно использовать число $ \frac{1}{2} $.

• Сравним $ \frac{3}{4} $ с $ \frac{1}{2} $. Половина от 4 это 2. Так как числитель 3 больше 2, то $ \frac{3}{4} > \frac{1}{2} $.
• Сравним $ \frac{2}{5} $ с $ \frac{1}{2} $. Половина от 5 это 2,5. Так как числитель 2 меньше 2,5, то $ \frac{2}{5} < \frac{1}{2} $.

Поскольку одна дробь ($ \frac{3}{4} $) больше $ \frac{1}{2} $, а другая ($ \frac{2}{5} $) меньше $ \frac{1}{2} $, то первая дробь очевидно больше второй. Следовательно, $ \frac{3}{4} > \frac{2}{5} $.

Ответ: Все способы сравнения (приведение к общему знаменателю, преобразование в десятичные дроби, "перекрестное" умножение, сравнение с $ \frac{1}{2} $) показывают, что $ \frac{3}{4} > \frac{2}{5} $.