Страница 147 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

502 Дополните запись:

a) $3 = \frac{\_}{1}$;

б) $8 = \frac{\_}{1}$;

в) $2 = \frac{\_}{2}$;

г) $4 = \frac{\_}{2}$;

д) $16 = \frac{\_}{3}$;

е) $15 = \frac{\_}{4}$;

ж) $10 = \frac{\_}{5}$;

з) $12 = \frac{\_}{2}$;

и) $7 = \frac{\_}{6}$;

к) $100 = \frac{\_}{5}$;

л) $20 = \frac{\_}{3}$;

м) $9 = \frac{\_}{4}$.

Чтобы дополнить записи, нужно представить каждое целое число в виде дроби с заданным знаменателем. Для этого необходимо найти числитель, который равен произведению целого числа и знаменателя.

а) Представим число 3 в виде дроби со знаменателем 1. Для этого найдем числитель, умножив 3 на 1: $3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: $3 = \frac{3}{1}$

б) Представим число 8 в виде дроби со знаменателем 1. Найдем числитель: $8 \cdot 1 = 8$.

Ответ: $8 = \frac{8}{1}$

в) Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 2. Найдем числитель: $2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: $2 = \frac{4}{2}$

г) Представим число 4 в виде дроби со знаменателем 2. Найдем числитель: $4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: $4 = \frac{8}{2}$

д) Представим число 16 в виде дроби со знаменателем 3. Найдем числитель: $16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: $16 = \frac{48}{3}$

е) Представим число 15 в виде дроби со знаменателем 4. Найдем числитель: $15 \cdot 4 = 60$.

Ответ: $15 = \frac{60}{4}$

ж) Представим число 10 в виде дроби со знаменателем 5. Найдем числитель: $10 \cdot 5 = 50$.

Ответ: $10 = \frac{50}{5}$

з) Представим число 12 в виде дроби со знаменателем 2. Найдем числитель: $12 \cdot 2 = 24$.

Ответ: $12 = \frac{24}{2}$

и) Представим число 7 в виде дроби со знаменателем 6. Найдем числитель: $7 \cdot 6 = 42$.

Ответ: $7 = \frac{42}{6}$

к) Представим число 100 в виде дроби со знаменателем 5. Найдем числитель: $100 \cdot 5 = 500$.

Ответ: $100 = \frac{500}{5}$

л) Представим число 20 в виде дроби со знаменателем 3. Найдем числитель: $20 \cdot 3 = 60$.

Ответ: $20 = \frac{60}{3}$

м) Представим число 9 в виде дроби со знаменателем 4. Найдем числитель: $9 \cdot 4 = 36$.

Ответ: $9 = \frac{36}{4}$

503 Сравните числа:

а) 2 и $ \frac{10}{5} $;

б) $ \frac{15}{3} $ и 4;

в) $ \frac{16}{2} $ и $ \frac{21}{3} $;

г) $ \frac{66}{22} $ и $ \frac{111}{37} $.

а) Чтобы сравнить число 2 и дробь $\frac{10}{5}$, нужно преобразовать дробь в целое число. Для этого разделим числитель дроби на ее знаменатель: $10 \div 5 = 2$. Теперь сравним полученное число с числом 2. Так как $2 = 2$, то и исходные числа равны.
Ответ: $2 = \frac{10}{5}$.

б) Чтобы сравнить дробь $\frac{15}{3}$ и число 4, представим дробь в виде целого числа. Разделим числитель на знаменатель: $15 \div 3 = 5$. Теперь сравним полученное число 5 с числом 4. Так как $5 > 4$, то и исходная дробь больше 4.
Ответ: $\frac{15}{3} > 4$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{16}{2}$ и $\frac{21}{3}$, преобразуем каждую из них в целое число. Для первой дроби: $16 \div 2 = 8$. Для второй дроби: $21 \div 3 = 7$. Теперь сравним полученные целые числа. Так как $8 > 7$, то первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{16}{2} > \frac{21}{3}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{66}{22}$ и $\frac{111}{37}$, преобразуем каждую из них в целое число, выполнив деление числителя на знаменатель. Для первой дроби: $66 \div 22 = 3$. Для второй дроби: $111 \div 37 = 3$. Сравним полученные результаты. Так как $3 = 3$, то и исходные дроби равны.
Ответ: $\frac{66}{22} = \frac{111}{37}$.

504 Сравните значения выражений:

а) $4 : 6$ и $11 : 15$;

б) $112 : 64$ и $9 : 4$;

в) $72 : 144$ и $36 : 108$;

г) $81 : 45$ и $56 : 48$.

а) Чтобы сравнить значения выражений $4:6$ и $11:15$, представим их в виде обыкновенных дробей.Выражение $4:6$ можно записать как дробь $\frac{4}{6}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:$\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$.Выражение $11:15$ можно записать как дробь $\frac{11}{15}$.Теперь нам нужно сравнить дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{11}{15}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 15 — это 15.Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 15, умножив ее числитель и знаменатель на 5:$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$.Теперь сравним дроби $\frac{10}{15}$ и $\frac{11}{15}$. Так как у них одинаковые знаменатели, сравниваем числители: $10 < 11$.Следовательно, $\frac{10}{15} < \frac{11}{15}$, а значит $4:6 < 11:15$.

Ответ: $4:6 < 11:15$.

б) Сравним значения выражений $112:64$ и $9:4$. Представим их в виде дробей.Выражение $112:64$ запишем как дробь $\frac{112}{64}$. Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 112 и 64 равен 16.$\frac{112}{64} = \frac{112 \div 16}{64 \div 16} = \frac{7}{4}$.Выражение $9:4$ запишем как дробь $\frac{9}{4}$.Теперь сравним дроби $\frac{7}{4}$ и $\frac{9}{4}$. Поскольку знаменатели у дробей одинаковы, сравним их числители. Так как $7 < 9$, то $\frac{7}{4} < \frac{9}{4}$.Следовательно, $112:64 < 9:4$.

Ответ: $112:64 < 9:4$.

в) Сравним значения выражений $72:144$ и $36:108$. Представим их в виде дробей и сократим.Первое выражение: $72:144 = \frac{72}{144}$. Заметим, что знаменатель в два раза больше числителя ($144 = 2 \cdot 72$), поэтому дробь равна $\frac{1}{2}$.$\frac{72}{144} = \frac{72 \div 72}{144 \div 72} = \frac{1}{2}$.Второе выражение: $36:108 = \frac{36}{108}$. Заметим, что знаменатель в три раза больше числителя ($108 = 3 \cdot 36$), поэтому дробь равна $\frac{1}{3}$.$\frac{36}{108} = \frac{36 \div 36}{108 \div 36} = \frac{1}{3}$.Теперь сравним дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6:$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$.$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$.Так как $3 > 2$, то $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, а значит $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.Следовательно, $72:144 > 36:108$.

Ответ: $72:144 > 36:108$.

г) Сравним значения выражений $81:45$ и $56:48$. Представим их в виде дробей и сократим.Первое выражение: $81:45 = \frac{81}{45}$. Наибольший общий делитель для 81 и 45 — это 9.$\frac{81}{45} = \frac{81 \div 9}{45 \div 9} = \frac{9}{5}$.Второе выражение: $56:48 = \frac{56}{48}$. Наибольший общий делитель для 56 и 48 — это 8.$\frac{56}{48} = \frac{56 \div 8}{48 \div 8} = \frac{7}{6}$.Теперь сравним дроби $\frac{9}{5}$ и $\frac{7}{6}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 6 — это 30.$\frac{9}{5} = \frac{9 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{54}{30}$.$\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{35}{30}$.Так как $54 > 35$, то $\frac{54}{30} > \frac{35}{30}$, а значит $\frac{9}{5} > \frac{7}{6}$.Следовательно, $81:45 > 56:48$.

Ответ: $81:45 > 56:48$.

505 а) Для покраски пола можно выбрать один из двух видов краски. Расход одной краски составляет $2 \text{ кг на } 5 \text{ м}^2$, а другой — $3 \text{ кг на } 8 \text{ м}^2$. Какой из этих двух красок потребуется меньше?

б) Коля за $2 \text{ с}$ делает $3 \text{ шага}$, а Борис за $3 \text{ с}$ — $5 \text{ шагов}$. Кто из них идёт с большей скоростью, если длина шага у них одинакова?

в) Таня и Алёша набирают текст на компьютере. Таня делает $660 \text{ ударов за } 7 \text{ мин}$, а Алёша — $380 \text{ ударов за } 4 \text{ мин}$. Кто из них работает быстрее?

а) Чтобы определить, какой краски потребуется меньше, нужно сравнить их расход на 1 квадратный метр. Чем меньше расход на 1 м², тем меньше краски потребуется для покраски одной и той же площади. Расход вычисляется как отношение массы краски к площади, которую можно ею покрасить.

1. Найдём расход первой краски на 1 м²:
$ \frac{2 \text{ кг}}{5 \text{ м}^2} = \frac{2}{5} \frac{\text{кг}}{\text{м}^2} $.

2. Найдём расход второй краски на 1 м²:
$ \frac{3 \text{ кг}}{8 \text{ м}^2} = \frac{3}{8} \frac{\text{кг}}{\text{м}^2} $.

3. Теперь сравним полученные дроби $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{8} $. Для этого приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 8 равен 40.
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40} $
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40} $

4. Сравним числители полученных дробей: $ 15 < 16 $. Следовательно, $ \frac{15}{40} < \frac{16}{40} $, а это значит, что $ \frac{3}{8} < \frac{2}{5} $.
Расход второй краски меньше, чем расход первой. Таким образом, второй краски потребуется меньше.

Ответ: потребуется меньше второй краски.

б) Поскольку длина шага у Коли и Бориса одинакова, тот, кто делает больше шагов за единицу времени, идёт с большей скоростью. Найдём, сколько шагов в секунду делает каждый из них.

1. Скорость Коли: он делает 3 шага за 2 секунды. Его скорость составляет $ \frac{3}{2} $ шага в секунду.
2. Скорость Бориса: он делает 5 шагов за 3 секунды. Его скорость составляет $ \frac{5}{3} $ шага в секунду.

3. Сравним дроби $ \frac{3}{2} $ и $ \frac{5}{3} $. Приведём их к общему знаменателю 6.
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6} $
$ \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6} $

4. Сравниваем числители: $ 10 > 9 $. Следовательно, $ \frac{10}{6} > \frac{9}{6} $, а это значит, что $ \frac{5}{3} > \frac{3}{2} $.
Борис делает больше шагов в секунду, чем Коля, значит он идёт быстрее.

Ответ: Борис идёт с большей скоростью.

в) Чтобы определить, кто работает быстрее, нужно сравнить их производительность, то есть количество ударов, которое каждый из них делает за одну минуту.

1. Производительность Тани: 660 ударов за 7 минут. Её скорость набора составляет $ \frac{660}{7} $ ударов в минуту.
2. Производительность Алёши: 380 ударов за 4 минуты. Его скорость набора составляет $ \frac{380}{4} $ ударов в минуту.

3. Упростим дробь, выражающую производительность Алёши:
$ \frac{380}{4} = 95 $ ударов в минуту.

4. Теперь сравним производительность Тани $ \frac{660}{7} $ с производительностью Алёши $ 95 $. Для этого сравним дроби $ \frac{660}{7} $ и $ \frac{95}{1} $. Приведём их к общему знаменателю 7:
$ 95 = \frac{95 \cdot 7}{7} = \frac{665}{7} $.

5. Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{660}{7} $ и $ \frac{665}{7} $.
Поскольку $ 660 < 665 $, то $ \frac{660}{7} < \frac{665}{7} $.
Это означает, что производительность Тани меньше, чем производительность Алёши.

Ответ: Алёша работает быстрее.

506 Найдите неизвестный множитель:

а) $2 \cdot x = 7;$

б) $x \cdot 120 = 80;$

в) $75 \cdot x = 15;$

г) $x \cdot 84 = 112.$

Подсказка. Вспомните, как найти неизвестный множитель.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Для уравнения вида $a \cdot x = b$, неизвестный множитель $x$ находится по формуле $x = \frac{b}{a}$.

а) $2 \cdot x = 7$

В этом уравнении произведение равно 7, а известный множитель – 2. Чтобы найти $x$, разделим произведение на известный множитель:

$x = \frac{7}{2}$

$x = 3,5$

Ответ: $3,5$.

б) $x \cdot 120 = 80$

Здесь произведение равно 80, а известный множитель – 120. Находим $x$:

$x = \frac{80}{120}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 40:

$x = \frac{80 \div 40}{120 \div 40} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) $75 \cdot x = 15$

Произведение равно 15, известный множитель – 75. Находим $x$:

$x = \frac{15}{75}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$x = \frac{15 \div 15}{75 \div 15} = \frac{1}{5}$

Ответ можно также представить в виде десятичной дроби: $0,2$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

г) $x \cdot 84 = 112$

Произведение равно 112, известный множитель – 84. Находим $x$:

$x = \frac{112}{84}$

Для сокращения дроби найдем наибольший общий делитель для 112 и 84. Он равен 28. Разделим числитель и знаменатель на 28:

$x = \frac{112 \div 28}{84 \div 28} = \frac{4}{3}$

Ответ можно также представить в виде смешанного числа: $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

507. Подставьте в дробь $\frac{a}{b}$ вместо $a$ и $b$ числа от 1 до 5 всеми возможными способами.

а) Сколько среди полученных чисел правильных дробей и сколько — неправильных?

б) Сколько дробей представляют натуральные числа и сколько среди них представляют число 1?

В задаче требуется подставить в дробь $\frac{a}{b}$ вместо $a$ и $b$ числа от 1 до 5. Это означает, что и числитель $a$, и знаменатель $b$ могут принимать любое целое значение из множества {1, 2, 3, 4, 5}.

Общее количество возможных дробей можно найти, перемножив количество вариантов для числителя на количество вариантов для знаменателя: $5 \times 5 = 25$ дробей.

а)

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя ($a < b$). Посчитаем количество таких дробей для каждого возможного знаменателя:

- при $b=1$ правильных дробей нет;
- при $b=2$ числитель может быть равен 1 (1 дробь: $\frac{1}{2}$);
- при $b=3$ числитель может быть равен 1, 2 (2 дроби: $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$);
- при $b=4$ числитель может быть равен 1, 2, 3 (3 дроби: $\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}$);
- при $b=5$ числитель может быть равен 1, 2, 3, 4 (4 дроби: $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$).

Суммарное количество правильных дробей: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($a \ge b$). Их количество можно найти, вычтя из общего числа дробей количество правильных:

$25 - 10 = 15$.

Ответ: 10 правильных дробей и 15 неправильных.

б)

Дробь представляет натуральное число, если ее числитель $a$ делится на знаменатель $b$ без остатка. Перечислим все такие дроби:

- со знаменателем 1: $\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1}, \frac{4}{1}, \frac{5}{1}$ (5 дробей);
- со знаменателем 2: $\frac{2}{2}, \frac{4}{2}$ (2 дроби);
- со знаменателем 3: $\frac{3}{3}$ (1 дробь);
- со знаменателем 4: $\frac{4}{4}$ (1 дробь);
- со знаменателем 5: $\frac{5}{5}$ (1 дробь).

Общее количество дробей, представляющих натуральные числа: $5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10$.

Дробь представляет число 1, если ее числитель равен знаменателю ($a = b$). Из перечисленных выше это дроби:

$\frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{3}{3}, \frac{4}{4}, \frac{5}{5}$

Всего таких дробей 5.

Ответ: 10 дробей представляют натуральные числа, из них 5 дробей представляют число 1.

508 Найдите все такие значения $a$, при которых дробь $\frac{a}{3}$ правильная и при которых неправильная. При каких значениях $a$ дробь $\frac{a}{3}$ равна натуральному числу?

Значения $a$, при которых дробь $\frac{a}{3}$ правильная

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. В данном случае числитель равен $a$, а знаменатель равен 3. По определению, числитель $a$ должен быть натуральным числом (то есть $a \in \{1, 2, 3, ...\}$).
Следовательно, для того чтобы дробь $\frac{a}{3}$ была правильной, должно выполняться неравенство: $a < 3$.
Этому условию удовлетворяют натуральные числа 1 и 2.
Ответ: $a=1, 2$.

Значения $a$, при которых дробь $\frac{a}{3}$ неправильная

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю.
Следовательно, для того чтобы дробь $\frac{a}{3}$ была неправильной, должно выполняться неравенство: $a \ge 3$.
Этому условию удовлетворяют все натуральные числа $a$, которые больше или равны 3 (например, 3, 4, 5, 6 и так далее).
Ответ: $a$ — любое натуральное число, такое что $a \ge 3$.

Значения $a$, при которых дробь $\frac{a}{3}$ равна натуральному числу

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, ...$).
Чтобы дробь $\frac{a}{3}$ была равна натуральному числу, необходимо, чтобы числитель $a$ делился на знаменатель 3 нацело (без остатка).
Это означает, что $a$ должно быть кратно 3. Такими значениями являются $3, 6, 9, 12$ и так далее — все натуральные числа, кратные 3.
Это можно записать в виде формулы: $a = 3k$, где $k$ — любое натуральное число ($k \in \{1, 2, 3, ...\}$).
Ответ: $a$ — любое натуральное число, кратное 3.