Страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

481 Саша проходит 4 м за 3 с, а Коля – 6 м за 5 с. Кто из мальчиков идёт быстрее?

Чтобы определить, кто из мальчиков идёт быстрее, нужно сравнить их скорости. Скорость вычисляется по формуле $v = \frac{s}{t}$, где $s$ – это расстояние, а $t$ – время.

1. Найдём скорость Саши.

Саша проходит 4 метра за 3 секунды. Его скорость равна:

$v_{Саши} = \frac{4 \text{ м}}{3 \text{ с}} = \frac{4}{3} \text{ м/с}$

2. Найдём скорость Коли.

Коля проходит 6 метров за 5 секунд. Его скорость равна:

$v_{Коли} = \frac{6 \text{ м}}{5 \text{ с}} = \frac{6}{5} \text{ м/с}$

3. Сравним скорости мальчиков.

Чтобы сравнить дроби $\frac{4}{3}$ и $\frac{6}{5}$, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 – это 15.

Скорость Саши: $v_{Саши} = \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{20}{15} \text{ м/с}$

Скорость Коли: $v_{Коли} = \frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18}{15} \text{ м/с}$

Теперь сравним полученные дроби:

$\frac{20}{15} > \frac{18}{15}$

Это означает, что скорость Саши больше скорости Коли. Следовательно, Саша идёт быстрее.

Ответ: Саша идёт быстрее.

482 a) Запишите все дроби со знаменателем 24, которые расположены между числами $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$.

б) Найдите какое-нибудь число, расположенное между числами $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{5}$.

а) Чтобы найти все дроби со знаменателем 24, которые расположены между числами $1/3$ и $1/2$, необходимо привести эти дроби к общему знаменателю 24.
Приводим дробь $1/3$ к знаменателю 24. Для этого умножаем числитель и знаменатель на 8:
$1/3 = (1 \cdot 8) / (3 \cdot 8) = 8/24$
Приводим дробь $1/2$ к знаменателю 24. Для этого умножаем числитель и знаменатель на 12:
$1/2 = (1 \cdot 12) / (2 \cdot 12) = 12/24$
Теперь нам нужно найти все дроби со знаменателем 24, которые находятся в интервале между $8/24$ и $12/24$. Пусть искомая дробь имеет вид $x/24$. Тогда должно выполняться двойное неравенство:
$8/24 < x/24 < 12/24$
Это неравенство будет верным, если числитель $x$ будет больше 8 и меньше 12. Целые числа, удовлетворяющие этому условию ($8 < x < 12$), это 9, 10 и 11.
Таким образом, искомые дроби: $9/24$, $10/24$ и $11/24$.
Ответ: $9/24, 10/24, 11/24$.

б) Чтобы найти число, расположенное между числами $3/4$ и $4/5$, можно привести их к общему знаменателю.
Найдем наименьший общий знаменатель для 4 и 5. Это 20.
Приведем дроби к знаменателю 20:
$3/4 = (3 \cdot 5) / (4 \cdot 5) = 15/20$
$4/5 = (4 \cdot 4) / (5 \cdot 4) = 16/20$
Задача сводится к поиску числа между $15/20$ и $16/20$. Так как между числителями 15 и 16 нет целых чисел, мы можем выбрать больший общий знаменатель. Например, возьмем знаменатель 40 (умножив предыдущий на 2).
$15/20 = (15 \cdot 2) / (20 \cdot 2) = 30/40$
$16/20 = (16 \cdot 2) / (20 \cdot 2) = 32/40$
Теперь нам нужно найти число между $30/40$ и $32/40$. Между числителями 30 и 32 есть целое число 31. Следовательно, дробь $31/40$ находится между $30/40$ и $32/40$.
$30/40 < 31/40 < 32/40$, а значит $3/4 < 31/40 < 4/5$.
Стоит отметить, что существует бесконечное множество таких чисел, и $31/40$ является лишь одним из примеров.
Ответ: $31/40$.

483 Найдите несколько дробей, которые можно подставить вместо k и получить верное двойное неравенство:

а) $ \frac{3}{7} < k < \frac{4}{7} $;

б) $ \frac{1}{4} < k < \frac{1}{3} $. Сколько таких дробей существует в каждом случае?

Образец. $ \frac{2}{5} < k < \frac{3}{5} $, $ \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} < k < \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} $, $ \frac{4}{10} < k < \frac{6}{10} $, $ k = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $.

Продолжайте действовать таким же образом.

a)

Чтобы найти дроби, которые можно подставить вместо k в неравенство $ \frac{3}{7} < k < \frac{4}{7} $, нужно "расширить" промежуток между дробями. Для этого воспользуемся основным свойством дроби: умножим числитель и знаменатель обеих дробей на одно и то же натуральное число, большее 1. Это не изменит величину дробей, но увеличит числа в числителях, что позволит найти целые числа между ними.

1. Умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} < k < \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} $

$ \frac{6}{14} < k < \frac{8}{14} $

Между числителями 6 и 8 находится целое число 7. Следовательно, одна из возможных дробей: $ k = \frac{7}{14} $, которую можно сократить до $ \frac{1}{2} $.

2. Умножим числитель и знаменатель на 3, чтобы найти еще дроби:

$ \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} < k < \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} $

$ \frac{9}{21} < k < \frac{12}{21} $

Между числителями 9 и 12 находятся целые числа 10 и 11. Следовательно, еще две возможные дроби: $ k = \frac{10}{21} $ и $ k = \frac{11}{21} $.

Этот процесс можно продолжать бесконечно, умножая на 4, 5, 6 и так далее. Каждый раз мы будем находить новые дроби. Это означает, что между любыми двумя различными дробями существует бесконечное множество других дробей.

Ответ: Например, $ \frac{7}{14} $ (или $ \frac{1}{2} $), $ \frac{10}{21} $, $ \frac{11}{21} $. Существует бесконечно много таких дробей.

б)

Для неравенства $ \frac{1}{4} < k < \frac{1}{3} $ сначала необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 4 и 3 является 12.

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} $

Теперь неравенство имеет вид: $ \frac{3}{12} < k < \frac{4}{12} $. Задача свелась к предыдущему случаю. Теперь будем действовать аналогично, умножая числитель и знаменатель на одно и то же число.

1. Умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{3 \cdot 2}{12 \cdot 2} < k < \frac{4 \cdot 2}{12 \cdot 2} $

$ \frac{6}{24} < k < \frac{8}{24} $

Между числителями 6 и 8 находится целое число 7. Значит, одна из возможных дробей: $ k = \frac{7}{24} $.

2. Умножим числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3 \cdot 3}{12 \cdot 3} < k < \frac{4 \cdot 3}{12 \cdot 3} $

$ \frac{9}{36} < k < \frac{12}{36} $

Между числителями 9 и 12 находятся целые числа 10 и 11. Значит, возможные дроби: $ k = \frac{10}{36} $ (сокращается до $ \frac{5}{18} $) и $ k = \frac{11}{36} $.

Так же, как и в пункте а), мы можем продолжать этот процесс до бесконечности, находя все новые и новые дроби. Таким образом, количество таких дробей бесконечно.

Ответ: Например, $ \frac{7}{24} $, $ \frac{5}{18} $, $ \frac{11}{36} $. Существует бесконечно много таких дробей.

484 Не приводя дроби к общему знаменателю, определите, какая из них меньше:

а) $ \frac{1}{2} $ или $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{1}{7} $ или $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{1}{8} $ или $ \frac{1}{7} $;

г) $ \frac{1}{100} $ или $ \frac{1}{150} $.

Для того чтобы определить, какая из двух дробей с одинаковыми числителями меньше, не приводя их к общему знаменателю, нужно сравнить их знаменатели. Правило гласит: из двух дробей с одинаковыми положительными числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Это можно представить на примере торта: если разделить торт (целое, или 1) на большее количество кусков, то каждый отдельный кусок будет меньше.

а) Сравниваем дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.
Числители у дробей одинаковы и равны 1. Сравниваем их знаменатели: $3 > 2$.
Поскольку знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ больше, эта дробь меньше, чем $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Сравниваем дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{4}$.
Числители у дробей одинаковы. Сравниваем их знаменатели: $7 > 4$.
Так как знаменатель 7 больше знаменателя 4, то дробь $\frac{1}{7}$ меньше, чем $\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

в) Сравниваем дроби $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{7}$.
Числители у дробей одинаковы. Сравниваем их знаменатели: $8 > 7$.
Поскольку знаменатель 8 больше знаменателя 7, дробь $\frac{1}{8}$ будет меньше, чем $\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

г) Сравниваем дроби $\frac{1}{100}$ и $\frac{1}{150}$.
Числители у дробей одинаковы. Сравниваем их знаменатели: $150 > 100$.
Так как знаменатель 150 больше, чем 100, то дробь $\frac{1}{150}$ меньше, чем дробь $\frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{150}$.

485. Запишите дроби в том порядке, как они расположены на координатной прямой:

а) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$;

б) $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{12}$.

а)

Чтобы записать дроби в том порядке, как они расположены на координатной прямой, их необходимо расположить в порядке возрастания (от меньшей к большей). Даны дроби: $ \frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3} $.

Все эти дроби имеют одинаковый числитель, равный 1. Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше.

Сравним знаменатели данных дробей: $ 5 > 4 > 3 > 2 $.

Следовательно, в порядке возрастания дроби расположатся так: $ \frac{1}{5} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} $.

Проверим, приведя дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2, 5, 4 и 3 — это 60.

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 30}{2 \cdot 30} = \frac{30}{60} $

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{12}{60} $

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{15}{60} $

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{20}{60} $

Сравнив числители, получаем: $ 12 < 15 < 20 < 30 $. Этому неравенству соответствует следующий порядок дробей: $ \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} $.

б)

Даны дроби: $ \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{12} $.

Аналогично предыдущему пункту, все дроби имеют одинаковый числитель 1. Значит, чем больше знаменатель, тем меньше дробь.

Сравним знаменатели: $ 12 > 6 > 5 > 3 $.

Расположим дроби в порядке возрастания их значений: $ \frac{1}{12} < \frac{1}{6} < \frac{1}{5} < \frac{1}{3} $.

Проверим, приведя дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 6, 5 и 12 — это 60.

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{20}{60} $

$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{10}{60} $

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{12}{60} $

$ \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60} $

Сравнив числители, получаем: $ 5 < 10 < 12 < 20 $. Этому неравенству соответствует следующий порядок дробей: $ \frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3} $.

486 Сравните:

а) $\frac{3}{7}$ и 1;

б) $\frac{5}{2}$ и 1;

в) 1 и $\frac{11}{12}$;

г) $\frac{12}{17}$ и $\frac{17}{12}$;

д) $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{3}$.

а) Чтобы сравнить дробь $\frac{3}{7}$ и 1, можно представить 1 как дробь со знаменателем 7. Так как $1 = \frac{7}{7}$, мы сравниваем дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{7}{7}$. У дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Поскольку $3 < 7$, то и $\frac{3}{7} < \frac{7}{7}$. Следовательно, $\frac{3}{7} < 1$. Также можно отметить, что $\frac{3}{7}$ – правильная дробь (числитель меньше знаменателя), а любая правильная дробь меньше единицы.
Ответ: $\frac{3}{7} < 1$.

б) Чтобы сравнить дробь $\frac{5}{2}$ и 1, представим 1 как дробь со знаменателем 2. Так как $1 = \frac{2}{2}$, мы сравниваем дроби $\frac{5}{2}$ и $\frac{2}{2}$. Поскольку знаменатели одинаковы, сравниваем числители. Так как $5 > 2$, то и $\frac{5}{2} > \frac{2}{2}$. Следовательно, $\frac{5}{2} > 1$. Также можно отметить, что $\frac{5}{2}$ – неправильная дробь (числитель больше знаменателя), а любая неправильная дробь больше единицы.
Ответ: $\frac{5}{2} > 1$.

в) Чтобы сравнить 1 и дробь $\frac{11}{12}$, представим 1 как дробь со знаменателем 12. Так как $1 = \frac{12}{12}$, мы сравниваем дроби $\frac{12}{12}$ и $\frac{11}{12}$. Поскольку знаменатели одинаковы, сравниваем числители. Так как $12 > 11$, то и $\frac{12}{12} > \frac{11}{12}$. Следовательно, $1 > \frac{11}{12}$.
Ответ: $1 > \frac{11}{12}$.

г) Сравним дроби $\frac{12}{17}$ и $\frac{17}{12}$. Дробь $\frac{12}{17}$ является правильной, так как ее числитель 12 меньше знаменателя 17, поэтому она меньше 1 ($\frac{12}{17} < 1$). Дробь $\frac{17}{12}$ является неправильной, так как ее числитель 17 больше знаменателя 12, поэтому она больше 1 ($\frac{17}{12} > 1$). Так как одно число меньше 1, а другое больше 1, то очевидно, что первое число меньше второго.
Ответ: $\frac{12}{17} < \frac{17}{12}$.

д) Сравним дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{3}$. Можно сравнить каждую дробь с единицей. Дробь $\frac{6}{7}$ правильная ($\frac{6}{7} < 1$), а дробь $\frac{4}{3}$ неправильная ($\frac{4}{3} > 1$). Следовательно, $\frac{6}{7} < \frac{4}{3}$.
Другой способ – привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 3 – это их произведение, $7 \cdot 3 = 21$.
Приведем первую дробь к знаменателю 21: $\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{18}{21}$.
Приведем вторую дробь к знаменателю 21: $\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{28}{21}$.
Теперь сравним полученные дроби: $\frac{18}{21}$ и $\frac{28}{21}$. Так как $18 < 28$, то $\frac{18}{21} < \frac{28}{21}$.
Ответ: $\frac{6}{7} < \frac{4}{3}$.

487 Определите, какая из дробей ближе к 1, и сравните их:

а) $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6}$;

б) $\frac{7}{8}$ и $\frac{2}{3}$;

в) $\frac{129}{130}$ и $\frac{12}{13}$;

г) $\frac{10}{9}$ и $\frac{5}{4}$.

а) $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{5}{6} $

Чтобы определить, какая из дробей ближе к 1, найдем модуль разности между 1 и каждой из дробей. Так как обе дроби меньше 1, мы вычитаем их из 1.

Для дроби $ \frac{4}{5} $ разность равна: $ 1 - \frac{4}{5} = \frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} $.

Для дроби $ \frac{5}{6} $ разность равна: $ 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $.

Теперь сравним полученные разности: $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{6} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями та меньше, у которой знаменатель больше. Так как $ 6 > 5 $, то $ \frac{1}{6} < \frac{1}{5} $. Это означает, что дробь $ \frac{5}{6} $ находится ближе к 1.

Теперь сравним сами дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{5}{6} $. Приведем их к общему знаменателю 30.

$ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{24}{30} $

$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30} $

Так как $ 24 < 25 $, то $ \frac{24}{30} < \frac{25}{30} $, следовательно, $ \frac{4}{5} < \frac{5}{6} $.

Ответ: Дробь $ \frac{5}{6} $ ближе к 1; $ \frac{4}{5} < \frac{5}{6} $.

б) $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{2}{3} $

Чтобы определить, какая из дробей ближе к 1, найдем расстояние от каждой дроби до 1. Обе дроби меньше 1.

Для дроби $ \frac{7}{8} $ расстояние до 1 равно: $ 1 - \frac{7}{8} = \frac{8}{8} - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} $.

Для дроби $ \frac{2}{3} $ расстояние до 1 равно: $ 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $.

Сравним расстояния $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{1}{3} $. Так как $ 8 > 3 $, то $ \frac{1}{8} < \frac{1}{3} $. Следовательно, дробь $ \frac{7}{8} $ ближе к 1.

Теперь сравним дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{2}{3} $. Приведем их к общему знаменателю 24.

$ \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24} $

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} $

Так как $ 21 > 16 $, то $ \frac{21}{24} > \frac{16}{24} $, следовательно, $ \frac{7}{8} > \frac{2}{3} $.

Ответ: Дробь $ \frac{7}{8} $ ближе к 1; $ \frac{7}{8} > \frac{2}{3} $.

в) $ \frac{129}{130} $ и $ \frac{12}{13} $

Обе дроби меньше 1. Найдем, насколько каждая из них меньше 1.

Для дроби $ \frac{129}{130} $: $ 1 - \frac{129}{130} = \frac{130}{130} - \frac{129}{130} = \frac{1}{130} $.

Для дроби $ \frac{12}{13} $: $ 1 - \frac{12}{13} = \frac{13}{13} - \frac{12}{13} = \frac{1}{13} $.

Сравним полученные разности $ \frac{1}{130} $ и $ \frac{1}{13} $. Так как $ 130 > 13 $, то $ \frac{1}{130} < \frac{1}{13} $. Значит, дробь $ \frac{129}{130} $ ближе к 1.

Теперь сравним сами дроби. Так как дроби $ \frac{129}{130} $ не хватает до единицы меньшей величины ($ \frac{1}{130} $), чем дроби $ \frac{12}{13} $ (которой не хватает $ \frac{1}{13} $), то дробь $ \frac{129}{130} $ больше.

Таким образом, $ \frac{129}{130} > \frac{12}{13} $.

Ответ: Дробь $ \frac{129}{130} $ ближе к 1; $ \frac{129}{130} > \frac{12}{13} $.

г) $ \frac{10}{9} $ и $ \frac{5}{4} $

Обе дроби больше 1. Найдем, насколько каждая из них больше 1.

Для дроби $ \frac{10}{9} $ разность равна: $ \frac{10}{9} - 1 = \frac{10}{9} - \frac{9}{9} = \frac{1}{9} $.

Для дроби $ \frac{5}{4} $ разность равна: $ \frac{5}{4} - 1 = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4} $.

Сравним полученные разности $ \frac{1}{9} $ и $ \frac{1}{4} $. Так как $ 9 > 4 $, то $ \frac{1}{9} < \frac{1}{4} $. Это означает, что дробь $ \frac{10}{9} $ находится ближе к 1.

Теперь сравним сами дроби $ \frac{10}{9} $ и $ \frac{5}{4} $. Приведем их к общему знаменателю 36.

$ \frac{10}{9} = \frac{10 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{40}{36} $

$ \frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{45}{36} $

Так как $ 40 < 45 $, то $ \frac{40}{36} < \frac{45}{36} $, следовательно, $ \frac{10}{9} < \frac{5}{4} $.

Ответ: Дробь $ \frac{10}{9} $ ближе к 1; $ \frac{10}{9} < \frac{5}{4} $.

488 Начертите координатную прямую (возьмите единичный отрезок, равный 14 клеткам). Отметьте на координатной прямой все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь $ \frac{1}{2} $.

Какие из отмеченных чисел меньше $ \frac{1}{2} $?

Какие из отмеченных чисел больше $ \frac{1}{2} $?

Для решения задачи начертим координатную прямую. По условию, единичный отрезок, то есть расстояние от 0 до 1, равен 14 клеткам.

На этой прямой необходимо отметить все правильные дроби со знаменателем 7 и дробь $ \frac{1}{2} $.

1. Правильные дроби со знаменателем 7. Это дроби, у которых числитель меньше знаменателя: $ \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} $. Чтобы найти их положение на прямой, умножим каждую дробь на длину единичного отрезка (14 клеток):

• Положение $ \frac{1}{7} $: $ 14 \cdot \frac{1}{7} = 2 $ клетки от 0.
• Положение $ \frac{2}{7} $: $ 14 \cdot \frac{2}{7} = 4 $ клетки от 0.
• Положение $ \frac{3}{7} $: $ 14 \cdot \frac{3}{7} = 6 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{4}{7} $: $ 14 \cdot \frac{4}{7} = 8 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{5}{7} $: $ 14 \cdot \frac{5}{7} = 10 $ клеток от 0.
• Положение $ \frac{6}{7} $: $ 14 \cdot \frac{6}{7} = 12 $ клеток от 0.

2. Дробь $ \frac{1}{2} $. Найдем ее положение на прямой:

• Положение $ \frac{1}{2} $: $ 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 $ клеток от 0.

Ниже представлена координатная прямая с отмеченными точками:

Для сравнения дробей приведем их к общему знаменателю 14. $ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{14} $. Для дробей со знаменателем 7: $ \frac{1}{7}=\frac{2}{14} $, $ \frac{2}{7}=\frac{4}{14} $, $ \frac{3}{7}=\frac{6}{14} $, $ \frac{4}{7}=\frac{8}{14} $, $ \frac{5}{7}=\frac{10}{14} $, $ \frac{6}{7}=\frac{12}{14} $.

Какие из отмеченных чисел меньше $ \frac{1}{2} $?

Нужно найти дроби, которые меньше $ \frac{1}{2} $ или $ \frac{7}{14} $. Это те дроби, у которых числитель (при знаменателе 14) меньше 7. На координатной прямой они расположены левее точки $ \frac{1}{2} $. Это дроби: $ \frac{2}{14}, \frac{4}{14}, \frac{6}{14} $.

Ответ: $ \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7} $.

Какие из отмеченных чисел больше $ \frac{1}{2} $?

Нужно найти дроби, которые больше $ \frac{1}{2} $ или $ \frac{7}{14} $. Это те дроби, у которых числитель (при знаменателе 14) больше 7. На координатной прямой они расположены правее точки $ \frac{1}{2} $. Это дроби: $ \frac{8}{14}, \frac{10}{14}, \frac{12}{14} $.

Ответ: $ \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} $.

489 Выпишите дроби, которые больше $\frac{1}{2}$: $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{5}{7}$.

Чтобы определить, какие из предложенных дробей больше $\frac{1}{2}$, мы сравним каждую дробь с $\frac{1}{2}$. Дробь $\frac{a}{b}$ будет больше $\frac{1}{2}$, если её числитель $a$ больше половины её знаменателя $b$ (то есть $a > \frac{b}{2}$), или, что эквивалентно, если удвоенный числитель больше знаменателя ($2a > b$).

Проверка дроби $\frac{2}{3}$
Удвоенный числитель: $2 \cdot 2 = 4$. Знаменатель равен $3$.
Так как $4 > 3$, то дробь $\frac{2}{3}$ больше $\frac{1}{2}$.

Проверка дроби $\frac{3}{4}$
Удвоенный числитель: $2 \cdot 3 = 6$. Знаменатель равен $4$.
Так как $6 > 4$, то дробь $\frac{3}{4}$ больше $\frac{1}{2}$.

Проверка дроби $\frac{3}{8}$
Удвоенный числитель: $2 \cdot 3 = 6$. Знаменатель равен $8$.
Так как $6 < 8$, то дробь $\frac{3}{8}$ меньше $\frac{1}{2}$.

Проверка дроби $\frac{5}{8}$
Удвоенный числитель: $2 \cdot 5 = 10$. Знаменатель равен $8$.
Так как $10 > 8$, то дробь $\frac{5}{8}$ больше $\frac{1}{2}$.

Проверка дроби $\frac{3}{7}$
Удвоенный числитель: $2 \cdot 3 = 6$. Знаменатель равен $7$.
Так как $6 < 7$, то дробь $\frac{3}{7}$ меньше $\frac{1}{2}$.

Проверка дроби $\frac{5}{7}$
Удвоенный числитель: $2 \cdot 5 = 10$. Знаменатель равен $7$.
Так как $10 > 7$, то дробь $\frac{5}{7}$ больше $\frac{1}{2}$.

Итак, выписываем все дроби, которые оказались больше $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{5}{7}$.

490 Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю:

а) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{11}{16} $;

б) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{7} $;

в) $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{8} $;

г) $ \frac{10}{27} $ и $ \frac{15}{28} $.

а) Сравнить дроби $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{11}{16} $

Для решения этой задачи сравним каждую из дробей с $ \frac{1}{2} $. Этот метод позволяет сравнить дроби, не приводя их к общему знаменателю.

1. Сравним дробь $ \frac{5}{12} $ с $ \frac{1}{2} $. Половина знаменателя 12 равна $ 12 \div 2 = 6 $. Так как числитель 5 меньше 6, то дробь $ \frac{5}{12} < \frac{6}{12} $, следовательно, $ \frac{5}{12} < \frac{1}{2} $.

2. Сравним дробь $ \frac{11}{16} $ с $ \frac{1}{2} $. Половина знаменателя 16 равна $ 16 \div 2 = 8 $. Так как числитель 11 больше 8, то дробь $ \frac{11}{16} > \frac{8}{16} $, следовательно, $ \frac{11}{16} > \frac{1}{2} $.

3. Поскольку $ \frac{5}{12} $ меньше половины, а $ \frac{11}{16} $ больше половины, то $ \frac{5}{12} < \frac{11}{16} $.

Ответ: $ \frac{5}{12} < \frac{11}{16} $.

б) Сравнить дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{7} $

Сравним обе дроби с числом $ \frac{1}{2} $.

1. Для дроби $ \frac{2}{3} $ половина знаменателя 3 равна $ 3 \div 2 = 1,5 $. Так как числитель 2 больше 1,5, то $ \frac{2}{3} > \frac{1}{2} $.

2. Для дроби $ \frac{3}{7} $ половина знаменателя 7 равна $ 7 \div 2 = 3,5 $. Так как числитель 3 меньше 3,5, то $ \frac{3}{7} < \frac{1}{2} $.

3. Так как $ \frac{2}{3} $ больше половины, а $ \frac{3}{7} $ меньше половины, то $ \frac{2}{3} > \frac{3}{7} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} > \frac{3}{7} $.

в) Сравнить дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{8} $

Сравним обе дроби с числом $ \frac{1}{2} $.

1. Для дроби $ \frac{4}{5} $ половина знаменателя 5 равна $ 5 \div 2 = 2,5 $. Так как числитель 4 больше 2,5, то $ \frac{4}{5} > \frac{1}{2} $.

2. Для дроби $ \frac{3}{8} $ половина знаменателя 8 равна $ 8 \div 2 = 4 $. Так как числитель 3 меньше 4, то $ \frac{3}{8} < \frac{1}{2} $.

3. Поскольку $ \frac{4}{5} $ больше половины, а $ \frac{3}{8} $ меньше половины, то $ \frac{4}{5} > \frac{3}{8} $.

Ответ: $ \frac{4}{5} > \frac{3}{8} $.

г) Сравнить дроби $ \frac{10}{27} $ и $ \frac{15}{28} $

Сравним обе дроби с числом $ \frac{1}{2} $.

1. Для дроби $ \frac{10}{27} $ половина знаменателя 27 равна $ 27 \div 2 = 13,5 $. Так как числитель 10 меньше 13,5, то $ \frac{10}{27} < \frac{1}{2} $.

2. Для дроби $ \frac{15}{28} $ половина знаменателя 28 равна $ 28 \div 2 = 14 $. Так как числитель 15 больше 14, то $ \frac{15}{28} > \frac{1}{2} $.

3. Поскольку $ \frac{10}{27} $ меньше половины, а $ \frac{15}{28} $ больше половины, то $ \frac{10}{27} < \frac{15}{28} $.

Ответ: $ \frac{10}{27} < \frac{15}{28} $.