Номер 483, страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

483 Найдите несколько дробей, которые можно подставить вместо k и получить верное двойное неравенство:

а) $ \frac{3}{7} < k < \frac{4}{7} $;

б) $ \frac{1}{4} < k < \frac{1}{3} $. Сколько таких дробей существует в каждом случае?

Образец. $ \frac{2}{5} < k < \frac{3}{5} $, $ \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} < k < \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} $, $ \frac{4}{10} < k < \frac{6}{10} $, $ k = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $.

Продолжайте действовать таким же образом.

a)

Чтобы найти дроби, которые можно подставить вместо k в неравенство $ \frac{3}{7} < k < \frac{4}{7} $, нужно "расширить" промежуток между дробями. Для этого воспользуемся основным свойством дроби: умножим числитель и знаменатель обеих дробей на одно и то же натуральное число, большее 1. Это не изменит величину дробей, но увеличит числа в числителях, что позволит найти целые числа между ними.

1. Умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} < k < \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} $

$ \frac{6}{14} < k < \frac{8}{14} $

Между числителями 6 и 8 находится целое число 7. Следовательно, одна из возможных дробей: $ k = \frac{7}{14} $, которую можно сократить до $ \frac{1}{2} $.

2. Умножим числитель и знаменатель на 3, чтобы найти еще дроби:

$ \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} < k < \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} $

$ \frac{9}{21} < k < \frac{12}{21} $

Между числителями 9 и 12 находятся целые числа 10 и 11. Следовательно, еще две возможные дроби: $ k = \frac{10}{21} $ и $ k = \frac{11}{21} $.

Этот процесс можно продолжать бесконечно, умножая на 4, 5, 6 и так далее. Каждый раз мы будем находить новые дроби. Это означает, что между любыми двумя различными дробями существует бесконечное множество других дробей.

Ответ: Например, $ \frac{7}{14} $ (или $ \frac{1}{2} $), $ \frac{10}{21} $, $ \frac{11}{21} $. Существует бесконечно много таких дробей.

б)

Для неравенства $ \frac{1}{4} < k < \frac{1}{3} $ сначала необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 4 и 3 является 12.

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} $

Теперь неравенство имеет вид: $ \frac{3}{12} < k < \frac{4}{12} $. Задача свелась к предыдущему случаю. Теперь будем действовать аналогично, умножая числитель и знаменатель на одно и то же число.

1. Умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{3 \cdot 2}{12 \cdot 2} < k < \frac{4 \cdot 2}{12 \cdot 2} $

$ \frac{6}{24} < k < \frac{8}{24} $

Между числителями 6 и 8 находится целое число 7. Значит, одна из возможных дробей: $ k = \frac{7}{24} $.

2. Умножим числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3 \cdot 3}{12 \cdot 3} < k < \frac{4 \cdot 3}{12 \cdot 3} $

$ \frac{9}{36} < k < \frac{12}{36} $

Между числителями 9 и 12 находятся целые числа 10 и 11. Значит, возможные дроби: $ k = \frac{10}{36} $ (сокращается до $ \frac{5}{18} $) и $ k = \frac{11}{36} $.

Так же, как и в пункте а), мы можем продолжать этот процесс до бесконечности, находя все новые и новые дроби. Таким образом, количество таких дробей бесконечно.

Ответ: Например, $ \frac{7}{24} $, $ \frac{5}{18} $, $ \frac{11}{36} $. Существует бесконечно много таких дробей.