Страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

491 Выполните деление:

а) $2 \div 5$;

б) $3 \div 8$;

в) $7 \div 4$;

г) $4 \div 3$;

д) $19 \div 10$;

е) $3 \div 10$;

ж) $5 \div 9$;

з) $1 \div 6$.

а)

Чтобы выполнить деление $2 : 5$, можно представить это выражение в виде обыкновенной дроби и затем преобразовать ее в десятичную. Деление на 5 эквивалентно умножению на 2 и делению на 10.

$2 : 5 = \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4.

б)

Представим деление $3 : 8$ в виде дроби $\frac{3}{8}$. Чтобы преобразовать эту дробь в десятичную, нужно домножить числитель и знаменатель на 125, чтобы в знаменателе получилось 1000.

$3 : 8 = \frac{3}{8} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1000} = 0,375$

Ответ: 0,375.

в)

Представим деление $7 : 4$ в виде неправильной дроби $\frac{7}{4}$. Можно выделить целую часть, получив $1\frac{3}{4}$, или сразу выполнить деление.

$7 : 4 = \frac{7}{4} = \frac{7 \times 25}{4 \times 25} = \frac{175}{100} = 1,75$

Ответ: 1,75.

г)

Представим деление $4 : 3$ в виде неправильной дроби $\frac{4}{3}$. При делении 4 на 3 получается 1 с остатком 1, то есть $1\frac{1}{3}$. При переводе в десятичную дробь получается бесконечная периодическая дробь.

$4 : 3 = 1,333... = 1,(3)$

Ответ: $1,(3)$.

д)

Чтобы разделить 19 на 10, достаточно перенести запятую в числе 19 на один знак влево.

$19 : 10 = 1,9$

Ответ: 1,9.

е)

Чтобы разделить 3 на 10, нужно перенести запятую в числе 3 на один знак влево.

$3 : 10 = 0,3$

Ответ: 0,3.

ж)

Представим деление $5 : 9$ в виде дроби $\frac{5}{9}$. Деление на 9 приводит к образованию бесконечной периодической десятичной дроби, в периоде которой стоит числитель.

$5 : 9 = 0,555... = 0,(5)$

Ответ: $0,(5)$.

з)

Представим деление $1 : 6$ в виде дроби $\frac{1}{6}$. Чтобы преобразовать эту дробь в десятичную, нужно выполнить деление в столбик. В результате получится бесконечная периодическая дробь.

$1 : 6 = 0,1666... = 0,1(6)$

Ответ: $0,1(6)$.

492 Выполните деление и сократите полученную дробь:

а) $4 : 8;$

б) $3 : 9;$

в) $12 : 10;$

г) $8 : 6;$

д) $25 : 20;$

е) $10 : 15;$

ж) $5 : 25;$

з) $4 : 16.$

а) Чтобы выполнить деление $4 : 8$, представим его в виде дроби $\frac{4}{8}$. Для сокращения дроби найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя (4) и знаменателя (8). В данном случае НОД равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:
$4 : 8 = \frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Представим деление $3 : 9$ в виде дроби $\frac{3}{9}$. Наибольший общий делитель для 3 и 9 равен 3. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$3 : 9 = \frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) Представим деление $12 : 10$ в виде дроби $\frac{12}{10}$. Наибольший общий делитель для 12 и 10 равен 2. Сократим дробь:
$12 : 10 = \frac{12}{10} = \frac{12 \div 2}{10 \div 2} = \frac{6}{5}$.
Ответ: $\frac{6}{5}$.

г) Представим деление $8 : 6$ в виде дроби $\frac{8}{6}$. Наибольший общий делитель для 8 и 6 равен 2. Сократим дробь:
$8 : 6 = \frac{8}{6} = \frac{8 \div 2}{6 \div 2} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

д) Представим деление $25 : 20$ в виде дроби $\frac{25}{20}$. Наибольший общий делитель для 25 и 20 равен 5. Сократим дробь:
$25 : 20 = \frac{25}{20} = \frac{25 \div 5}{20 \div 5} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$.

е) Представим деление $10 : 15$ в виде дроби $\frac{10}{15}$. Наибольший общий делитель для 10 и 15 равен 5. Сократим дробь:
$10 : 15 = \frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

ж) Представим деление $5 : 25$ в виде дроби $\frac{5}{25}$. Наибольший общий делитель для 5 и 25 равен 5. Сократим дробь:
$5 : 25 = \frac{5}{25} = \frac{5 \div 5}{25 \div 5} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

з) Представим деление $4 : 16$ в виде дроби $\frac{4}{16}$. Наибольший общий делитель для 4 и 16 равен 4. Сократим дробь:
$4 : 16 = \frac{4}{16} = \frac{4 \div 4}{16 \div 4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

493 а) Масса 4 одинаковых дынь равна 3 кг. Какова масса каждой дыни? (Дайте ответ в килограммах.)

б) Высота 5 одинаковых полок в шкафу равна 2 м. Чему равна высота каждой полки? (Дайте ответ в метрах.)

а)

Чтобы найти массу одной дыни, необходимо общую массу разделить на количество дынь. По условию, масса 4 одинаковых дынь составляет 3 кг.

Разделим общую массу на количество дынь:

$3 \text{ кг} \div 4 = 0,75 \text{ кг}$

Таким образом, масса каждой дыни составляет 0,75 кг.

Ответ: 0,75 кг.

б)

Чтобы определить высоту одной полки, нужно общую высоту разделить на количество полок. Общая высота 5 одинаковых полок равна 2 м.

Разделим общую высоту на количество полок:

$2 \text{ м} \div 5 = 0,4 \text{ м}$

Следовательно, высота каждой полки равна 0,4 м.

Ответ: 0,4 м.

494 а) Ребята разделили 4 пиццы поровну на 12 человек. Сколько досталось каждому? $ \frac{4}{12} $

б) Ребята разделили 3 яблока поровну на 6 человек. Сколько досталось каждому? $ \frac{3}{6} $

а) Чтобы найти, какая часть пиццы досталась каждому человеку, необходимо общее количество пицц разделить на количество человек. В данном случае, 4 пиццы делятся на 12 человек.

Это можно записать в виде дроби: $\frac{4}{12}$.

Эту дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя (4) и знаменателя (12) равен 4. Разделим и числитель, и знаменатель на 4:

$\frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$

Следовательно, каждому человеку досталось по $\frac{1}{3}$ пиццы.

Ответ: $\frac{1}{3}$ пиццы.

б) Аналогично, чтобы найти, какая часть яблока досталась каждому человеку, нужно общее количество яблок разделить на количество человек. То есть, 3 яблока делятся на 6 человек.

Запишем это в виде дроби: $\frac{3}{6}$.

Эту дробь также можно сократить. Наибольший общий делитель для 3 и 6 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$

Таким образом, каждому человеку досталось по $\frac{1}{2}$ яблока, то есть по половине яблока.

Ответ: $\frac{1}{2}$ яблока.

495. a) Таня прошла 2 км за 30 мин. Сколько километров в минуту проходила Таня?

б) Поезд за 15 мин проехал 20 км. Сколько километров проезжал поезд за 1 мин?

а) Чтобы узнать, какое расстояние Таня проходила за одну минуту, необходимо общее расстояние разделить на время, за которое оно было пройдено.
Расстояние (S) = 2 км.
Время (t) = 30 мин.
Скорость (v) = $S \div t$
$v = 2 \div 30 = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ км/мин.
Таким образом, Таня проходила $\frac{1}{15}$ километра в минуту.
Ответ: $\frac{1}{15}$ км в минуту.

б) Чтобы найти, сколько километров проезжал поезд за одну минуту, нужно разделить пройденное им расстояние на затраченное время.
Расстояние (S) = 20 км.
Время (t) = 15 мин.
Скорость (v) = $S \div t$
$v = 20 \div 15 = \frac{20}{15}$ км/мин.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{20}{15} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ км/мин.
Следовательно, поезд проезжал $1\frac{1}{3}$ километра за 1 минуту.
Ответ: $1\frac{1}{3}$ км за 1 мин.

496 Скорость велосипедиста 15 км/ч. За какое время он проедет расстояние, равное 9 км? Выберите верный ответ.

1) За $\frac{1}{15}$ ч

2) За $\frac{5}{3}$ ч

3) За $\frac{3}{5}$ ч

4) За $\frac{5}{9}$ ч

Чтобы найти время, за которое велосипедист проедет заданное расстояние, необходимо разделить расстояние на скорость. Воспользуемся формулой нахождения времени $t$ через расстояние $s$ и скорость $v$:

$t = \frac{s}{v}$

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Расстояние $s = 9$ км;
• Скорость $v = 15$ км/ч.

Подставим эти значения в формулу, чтобы вычислить время:

$t = \frac{9 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{9}{15}$ ч

Теперь нужно упростить (сократить) полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя (9) и знаменателя (15) — это 3. Разделим числитель и знаменатель на 3:

$t = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$ ч

Следовательно, велосипедист проедет 9 км за $\frac{3}{5}$ часа. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3) За $\frac{3}{5}$ ч

497 Каким натуральным числам равны дроби: $\frac{4}{4}$, $\frac{10}{5}$, $\frac{18}{3}$, $\frac{7}{1}$, $\frac{3}{1}$, $\frac{24}{6}$, $\frac{10}{10}$, $\frac{20}{4}$?

Чтобы определить, каким натуральным числам равны данные дроби, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель для каждой дроби. Дробь равна натуральному числу, если ее числитель делится на знаменатель без остатка.

$\frac{4}{4}$. Разделим числитель (4) на знаменатель (4): $4 \div 4 = 1$. Дробь, у которой числитель равен знаменателю, всегда равна 1. Ответ: 1

$\frac{10}{5}$. Разделим числитель (10) на знаменатель (5): $10 \div 5 = 2$. Ответ: 2

$\frac{18}{3}$. Разделим числитель (18) на знаменатель (3): $18 \div 3 = 6$. Ответ: 6

$\frac{7}{1}$. Разделим числитель (7) на знаменатель (1): $7 \div 1 = 7$. Любое натуральное число, представленное в виде дроби со знаменателем 1, равно своему числителю. Ответ: 7

$\frac{3}{1}$. Разделим числитель (3) на знаменатель (1): $3 \div 1 = 3$. Ответ: 3

$\frac{24}{6}$. Разделим числитель (24) на знаменатель (6): $24 \div 6 = 4$. Ответ: 4

$\frac{10}{10}$. Разделим числитель (10) на знаменатель (10): $10 \div 10 = 1$. Ответ: 1

$\frac{20}{4}$. Разделим числитель (20) на знаменатель (4): $20 \div 4 = 5$. Ответ: 5

498. Сократите дроби и укажите, какие из них представляют натуральные числа:

а) $\frac{25}{100}$, $\frac{100}{25}$, $\frac{24}{30}$, $\frac{30}{24}$, $\frac{36}{12}$, $\frac{36}{4}$;

б) $\frac{2}{8}$, $\frac{8}{2}$, $\frac{10}{8}$, $\frac{42}{7}$, $\frac{51}{17}$, $\frac{100}{50}$.

а)

Чтобы сократить дробь, нужно разделить её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Натуральные числа — это целые положительные числа. Дробь представляет натуральное число, если её числитель делится на знаменатель без остатка.

$ \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} $
$ \frac{100}{25} = \frac{100 \div 25}{25 \div 25} = \frac{4}{1} = 4 $ — это натуральное число.
$ \frac{24}{30} = \frac{24 \div 6}{30 \div 6} = \frac{4}{5} $
$ \frac{30}{24} = \frac{30 \div 6}{24 \div 6} = \frac{5}{4} $
$ \frac{36}{12} = \frac{36 \div 12}{12 \div 12} = \frac{3}{1} = 3 $ — это натуральное число.
$ \frac{36}{4} = \frac{36 \div 4}{4 \div 4} = \frac{9}{1} = 9 $ — это натуральное число.

Дроби, представляющие натуральные числа: $ \frac{100}{25} $, $ \frac{36}{12} $, $ \frac{36}{4} $.

Ответ: $ \frac{25}{100}=\frac{1}{4} $; $ \frac{100}{25}=4 $; $ \frac{24}{30}=\frac{4}{5} $; $ \frac{30}{24}=\frac{5}{4} $; $ \frac{36}{12}=3 $; $ \frac{36}{4}=9 $. Натуральными числами являются дроби $ \frac{100}{25} $, $ \frac{36}{12} $ и $ \frac{36}{4} $.

б)

Сократим дроби и определим, какие из них являются натуральными числами.

$ \frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4} $
$ \frac{8}{2} = \frac{8 \div 2}{2 \div 2} = \frac{4}{1} = 4 $ — это натуральное число.
$ \frac{10}{8} = \frac{10 \div 2}{8 \div 2} = \frac{5}{4} $
$ \frac{42}{7} = \frac{42 \div 7}{7 \div 7} = \frac{6}{1} = 6 $ — это натуральное число.
$ \frac{51}{17} = \frac{51 \div 17}{17 \div 17} = \frac{3}{1} = 3 $ — это натуральное число.
$ \frac{100}{50} = \frac{100 \div 50}{50 \div 50} = \frac{2}{1} = 2 $ — это натуральное число.

Дроби, представляющие натуральные числа: $ \frac{8}{2} $, $ \frac{42}{7} $, $ \frac{51}{17} $, $ \frac{100}{50} $.

Ответ: $ \frac{2}{8}=\frac{1}{4} $; $ \frac{8}{2}=4 $; $ \frac{10}{8}=\frac{5}{4} $; $ \frac{42}{7}=6 $; $ \frac{51}{17}=3 $; $ \frac{100}{50}=2 $. Натуральными числами являются дроби $ \frac{8}{2} $, $ \frac{42}{7} $, $ \frac{51}{17} $ и $ \frac{100}{50} $.

499 a) Представьте каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5 в виде дроби со знаменателем 10.

б) Представьте число 12 в виде дроби со знаменателем 1, 2, 3, 4, 5.

а) Чтобы представить целое число в виде дроби с определенным знаменателем, необходимо умножить это число на требуемый знаменатель. Полученное произведение станет числителем новой дроби, а знаменатель останется тем, который был задан.
Представим числа 1, 2, 3, 4, 5 в виде дроби со знаменателем 10:
$1 = \frac{1 \cdot 10}{10} = \frac{10}{10}$
$2 = \frac{2 \cdot 10}{10} = \frac{20}{10}$
$3 = \frac{3 \cdot 10}{10} = \frac{30}{10}$
$4 = \frac{4 \cdot 10}{10} = \frac{40}{10}$
$5 = \frac{5 \cdot 10}{10} = \frac{50}{10}$
Ответ: $1 = \frac{10}{10}$; $2 = \frac{20}{10}$; $3 = \frac{30}{10}$; $4 = \frac{40}{10}$; $5 = \frac{50}{10}$.

б) Применим то же правило для числа 12, представив его в виде дробей с заданными знаменателями 1, 2, 3, 4, 5.
Со знаменателем 1: $12 = \frac{12 \cdot 1}{1} = \frac{12}{1}$
Со знаменателем 2: $12 = \frac{12 \cdot 2}{2} = \frac{24}{2}$
Со знаменателем 3: $12 = \frac{12 \cdot 3}{3} = \frac{36}{3}$
Со знаменателем 4: $12 = \frac{12 \cdot 4}{4} = \frac{48}{4}$
Со знаменателем 5: $12 = \frac{12 \cdot 5}{5} = \frac{60}{5}$
Ответ: $12 = \frac{12}{1} = \frac{24}{2} = \frac{36}{3} = \frac{48}{4} = \frac{60}{5}$.

500 Представьте в виде дроби несколькими способами числа 3, 1, 8, 15.

Любое целое число можно представить в виде дроби. Самый простой способ — записать это число в числитель, а в знаменатель поставить 1. Чтобы получить другие, равные этой, дроби, нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число (по основному свойству дроби).

3

Представим число 3 в виде дроби со знаменателем 1: $3 = \frac{3}{1}$.

Теперь найдем несколько других дробей, равных 3, умножая числитель и знаменатель на разные числа:

$3 = \frac{3 \times 2}{1 \times 2} = \frac{6}{2}$

$3 = \frac{3 \times 5}{1 \times 5} = \frac{15}{5}$

$3 = \frac{3 \times 10}{1 \times 10} = \frac{30}{10}$

Ответ: $\frac{3}{1}, \frac{6}{2}, \frac{15}{5}$.

1

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем 1: $1 = \frac{1}{1}$.

Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю (кроме $\frac{0}{0}$), равна единице. Например:

$1 = \frac{7}{7}$

$1 = \frac{25}{25}$

$1 = \frac{100}{100}$

Ответ: $\frac{1}{1}, \frac{7}{7}, \frac{25}{25}$.

8

Представим число 8 в виде дроби со знаменателем 1: $8 = \frac{8}{1}$.

Теперь найдем несколько других дробей, равных 8, умножая числитель и знаменатель на разные числа:

$8 = \frac{8 \times 2}{1 \times 2} = \frac{16}{2}$

$8 = \frac{8 \times 3}{1 \times 3} = \frac{24}{3}$

$8 = \frac{8 \times 10}{1 \times 10} = \frac{80}{10}$

Ответ: $\frac{8}{1}, \frac{16}{2}, \frac{24}{3}$.

15

Представим число 15 в виде дроби со знаменателем 1: $15 = \frac{15}{1}$.

Теперь найдем несколько других дробей, равных 15, умножая числитель и знаменатель на разные числа:

$15 = \frac{15 \times 2}{1 \times 2} = \frac{30}{2}$

$15 = \frac{15 \times 3}{1 \times 3} = \frac{45}{3}$

$15 = \frac{15 \times 5}{1 \times 5} = \frac{75}{5}$

Ответ: $\frac{15}{1}, \frac{30}{2}, \frac{45}{3}$.

501 Запишите все неправильные дроби с числителем 5. Какие из них представляют натуральные числа?

Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По условию задачи, числитель равен 5. Чтобы дробь была неправильной, её знаменатель должен быть натуральным числом (то есть целым положительным числом), которое меньше или равно числителю.

Следовательно, знаменателями могут быть натуральные числа от 1 до 5 включительно: 1, 2, 3, 4, 5.

Запишем все возможные неправильные дроби с числителем 5: $ \frac{5}{1}, \frac{5}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, \frac{5}{5} $.

Теперь выясним, какие из этих дробей представляют натуральные числа. Дробь является натуральным числом, если её числитель делится на знаменатель без остатка.

• $ \frac{5}{1} = 5 $ (является натуральным числом)
• $ \frac{5}{2} = 2,5 $ (не является натуральным числом)
• $ \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $ (не является натуральным числом)
• $ \frac{5}{4} = 1,25 $ (не является натуральным числом)
• $ \frac{5}{5} = 1 $ (является натуральным числом)

Таким образом, только две дроби из этого списка представляют натуральные числа.

Ответ: все неправильные дроби с числителем 5: $ \frac{5}{1}, \frac{5}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, \frac{5}{5} $. Из них натуральные числа представляют дроби $ \frac{5}{1} $ и $ \frac{5}{5} $.