Страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

516 Какое из чисел больше: $\frac{19}{45}$ или $\frac{7}{15}$? На сколько?

Чтобы решить задачу, необходимо выполнить два действия: сравнить числа и найти их разность.

Какое из чисел больше

Для того чтобы сравнить дроби $\frac{19}{45}$ и $\frac{7}{15}$, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 45 и 15 является 45, так как 45 делится на 15 ($45 : 15 = 3$).

Дробь $\frac{19}{45}$ уже имеет необходимый знаменатель.

Приведем дробь $\frac{7}{15}$ к знаменателю 45. Для этого умножим числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3:
$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{21}{45}$

Теперь сравним полученные дроби: $\frac{19}{45}$ и $\frac{21}{45}$.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.
Так как $21 > 19$, то $\frac{21}{45} > \frac{19}{45}$.
Это означает, что $\frac{7}{15} > \frac{19}{45}$.

Ответ: Число $\frac{7}{15}$ больше, чем $\frac{19}{45}$.

На сколько

Чтобы найти, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее. Мы уже знаем, что $\frac{7}{15}$ больше.
Вычислим разность:
$\frac{7}{15} - \frac{19}{45} = \frac{21}{45} - \frac{19}{45} = \frac{21 - 19}{45} = \frac{2}{45}$

Ответ: Число $\frac{7}{15}$ больше числа $\frac{19}{45}$ на $\frac{2}{45}$.

517 Не выполняя сложения, сравните с числом 1 сумму:

a) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{2}{3} + \frac{3}{5} $;

в) $ \frac{5}{6} + \frac{5}{9} $;

г) $ \frac{1}{4} + \frac{3}{7} $.

Образец. Сравним с 1 сумму $ \frac{1}{5} + \frac{2}{7} $. Каждое слагаемое меньше $ \frac{1}{2} $. Значит, сумма $ \frac{1}{5} + \frac{2}{7} $ меньше 1, т. е. верно неравенство $ \frac{1}{5} + \frac{2}{7} < 1 $.

а) Сравним сумму $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ с числом 1. Первое слагаемое равно $\frac{1}{2}$. Второе слагаемое $\frac{1}{3}$ меньше, чем $\frac{1}{2}$ (поскольку у правильных дробей с одинаковым числителем та дробь меньше, у которой знаменатель больше). Следовательно, их сумма меньше, чем $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 1$.

б) Сравним сумму $\frac{2}{3} + \frac{3}{5}$ с числом 1. Для этого сравним каждое слагаемое с $\frac{1}{2}$.

Дробь $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$, так как числитель 2 больше половины знаменателя 3 (т.е. $2 > 1.5$).

Дробь $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$, так как числитель 3 больше половины знаменателя 5 (т.е. $3 > 2.5$).

Поскольку каждое слагаемое больше $\frac{1}{2}$, их сумма будет больше, чем $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $\frac{2}{3} + \frac{3}{5} > 1$.

в) Сравним сумму $\frac{5}{6} + \frac{5}{9}$ с числом 1. Сравним каждое слагаемое с $\frac{1}{2}$.

Дробь $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$, так как числитель 5 больше половины знаменателя 6 (т.е. $5 > 3$).

Дробь $\frac{5}{9} > \frac{1}{2}$, так как числитель 5 больше половины знаменателя 9 (т.е. $5 > 4.5$).

Поскольку каждое слагаемое больше $\frac{1}{2}$, их сумма будет больше, чем $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $\frac{5}{6} + \frac{5}{9} > 1$.

г) Сравним сумму $\frac{1}{4} + \frac{3}{7}$ с числом 1. Сравним каждое слагаемое с $\frac{1}{2}$, как показано в образце к задаче.

Дробь $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$, так как числитель 1 меньше половины знаменателя 4 (т.е. $1 < 2$).

Дробь $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$, так как числитель 3 меньше половины знаменателя 7 (т.е. $3 < 3.5$).

Поскольку каждое слагаемое меньше $\frac{1}{2}$, их сумма будет меньше, чем $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{3}{7} < 1$.

518. Не выполняя сложения, сравните с числом 1 сумму:

а) $\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$;

б) $\frac{7}{8} + \frac{1}{6}$;

в) $\frac{13}{14} + \frac{1}{15}$;

г) $\frac{24}{25} + \frac{1}{4}$.

Образец. Сравним с 1 сумму $\frac{8}{9} + \frac{1}{7}$. Если к $\frac{8}{9}$ прибавить $\frac{1}{9}$, то получится 1. Но $\frac{1}{7} > \frac{1}{9}$, поэтому $\frac{8}{9} + \frac{1}{7} > 1$.

а) Чтобы сравнить сумму $\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$ с числом 1, определим, сколько не хватает дроби $\frac{9}{10}$ до 1.
$1 - \frac{9}{10} = \frac{10}{10} - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$.
Теперь сравним второе слагаемое $\frac{1}{100}$ с полученной разностью $\frac{1}{10}$.
Так как у дробей $\frac{1}{100}$ и $\frac{1}{10}$ одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Поскольку $100 > 10$, то $\frac{1}{100} < \frac{1}{10}$.
Это значит, что к $\frac{9}{10}$ мы прибавляем число, которое меньше, чем нужно для получения 1. Следовательно, сумма будет меньше 1.
$\frac{9}{10} + \frac{1}{100} < 1$.
Ответ: $\frac{9}{10} + \frac{1}{100} < 1$.

б) Чтобы сравнить сумму $\frac{7}{8} + \frac{1}{6}$ с числом 1, определим, сколько не хватает дроби $\frac{7}{8}$ до 1.
$1 - \frac{7}{8} = \frac{8}{8} - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$.
Теперь сравним второе слагаемое $\frac{1}{6}$ с полученной разностью $\frac{1}{8}$.
Так как у дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{8}$ одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Поскольку $6 < 8$, то $\frac{1}{6} > \frac{1}{8}$.
Это значит, что к $\frac{7}{8}$ мы прибавляем число, которое больше, чем нужно для получения 1. Следовательно, сумма будет больше 1.
$\frac{7}{8} + \frac{1}{6} > 1$.
Ответ: $\frac{7}{8} + \frac{1}{6} > 1$.

в) Чтобы сравнить сумму $\frac{13}{14} + \frac{1}{15}$ с числом 1, определим, сколько не хватает дроби $\frac{13}{14}$ до 1.
$1 - \frac{13}{14} = \frac{14}{14} - \frac{13}{14} = \frac{1}{14}$.
Теперь сравним второе слагаемое $\frac{1}{15}$ с полученной разностью $\frac{1}{14}$.
Так как у дробей $\frac{1}{15}$ и $\frac{1}{14}$ одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Поскольку $15 > 14$, то $\frac{1}{15} < \frac{1}{14}$.
Это значит, что к $\frac{13}{14}$ мы прибавляем число, которое меньше, чем нужно для получения 1. Следовательно, сумма будет меньше 1.
$\frac{13}{14} + \frac{1}{15} < 1$.
Ответ: $\frac{13}{14} + \frac{1}{15} < 1$.

г) Чтобы сравнить сумму $\frac{24}{25} + \frac{1}{4}$ с числом 1, определим, сколько не хватает дроби $\frac{24}{25}$ до 1.
$1 - \frac{24}{25} = \frac{25}{25} - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$.
Теперь сравним второе слагаемое $\frac{1}{4}$ с полученной разностью $\frac{1}{25}$.
Так как у дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{25}$ одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Поскольку $4 < 25$, то $\frac{1}{4} > \frac{1}{25}$.
Это значит, что к $\frac{24}{25}$ мы прибавляем число, которое больше, чем нужно для получения 1. Следовательно, сумма будет больше 1.
$\frac{24}{25} + \frac{1}{4} > 1$.
Ответ: $\frac{24}{25} + \frac{1}{4} > 1$.

519 Урок длится $-\frac{2}{3}$ ч, перемена $-\frac{1}{6}$ ч. Какую часть часа длятся урок с переменой?

Для того чтобы определить, какую часть часа длится урок вместе с переменой, необходимо сложить продолжительность урока и продолжительность перемены.

Продолжительность урока составляет $\frac{2}{3}$ часа.

Продолжительность перемены составляет $\frac{1}{6}$ часа.

Сложим эти два значения: $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 3 и 6 является 6. Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 6, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, урок с переменой длится $\frac{5}{6}$ часа.

Ответ: $\frac{5}{6}$ ч.

520 В одном пакете $ \frac{2}{5} $ кг орехов, а в другом — на $ \frac{1}{4} $ кг меньше. Сколько орехов в двух пакетах? Ответ выразите в граммах.

1. Сначала определим, сколько килограммов орехов во втором пакете. По условию, в нем на $ \frac{1}{4} $ кг меньше, чем в первом, где $ \frac{2}{5} $ кг. Для этого найдем разность дробей. Приведем дроби к общему знаменателю 20:

$ \frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20} $ (кг)

Таким образом, во втором пакете $ \frac{3}{20} $ кг орехов.

2. Далее найдем общую массу орехов в двух пакетах, сложив массу орехов в первом ($ \frac{2}{5} $ кг) и втором ($ \frac{3}{20} $ кг) пакетах:

$ \frac{2}{5} + \frac{3}{20} = \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11}{20} $ (кг)

3. Теперь необходимо выразить ответ в граммах. В одном килограмме 1000 граммов (1 кг = 1000 г). Чтобы перевести $ \frac{11}{20} $ кг в граммы, умножим это значение на 1000:

$ \frac{11}{20} \cdot 1000 = \frac{11 \cdot 1000}{20} = 11 \cdot 50 = 550 $ (г)

Ответ: 550 г.

521 До остановки автобус ехал $\frac{5}{6}$ ч, а на оставшийся путь он затратил на $\frac{1}{3}$ ч меньше. Сколько времени занял весь маршрут, если на остановке автобус стоял $\frac{1}{4}$ ч? Ответ выразите в часах и минутах.

Для того чтобы найти общее время, затраченное на весь маршрут, необходимо сложить время движения автобуса до остановки, время самой остановки и время движения после остановки. Решим задачу по шагам.

1. Находим время, затраченное на оставшийся путь (после остановки).

По условию, до остановки автобус ехал $\frac{5}{6}$ часа, а на оставшийся путь он затратил на $\frac{1}{3}$ часа меньше. Вычтем из времени до остановки $\frac{1}{3}$ часа. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6.

$\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6}$ часа.

Сократим полученную дробь:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ часа.

Итак, на оставшийся путь автобус затратил $\frac{1}{2}$ часа.

2. Находим общее время всего маршрута.

Общее время равно сумме времени движения до остановки ($\frac{5}{6}$ ч), времени на остановке ($\frac{1}{4}$ ч) и времени движения после остановки ($\frac{1}{2}$ ч).

$\frac{5}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Чтобы сложить эти дроби, найдем наименьший общий знаменатель для чисел 6, 4 и 2. Это число 12. Приведем все дроби к знаменателю 12.

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}$

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{10}{12} + \frac{3}{12} + \frac{6}{12} = \frac{10 + 3 + 6}{12} = \frac{19}{12}$ часа.

3. Выражаем общее время в часах и минутах.

Мы получили, что общее время маршрута составляет $\frac{19}{12}$ часа. Выделим из неправильной дроби целую часть:

$\frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$ часа.

Это 1 полный час и $\frac{7}{12}$ часа. Чтобы перевести $\frac{7}{12}$ часа в минуты, умножим эту дробь на 60 (так как в 1 часе 60 минут).

$\frac{7}{12} \times 60 = 7 \times 5 = 35$ минут.

Следовательно, общее время, которое занял весь маршрут, составляет 1 час 35 минут.

Ответ: 1 час 35 минут.

522 a) Рабочий может выполнить весь заказ за 3 ч, а ученик — за 7 ч. Какую часть заказа выполнит рабочий за 1 ч? Какую часть заказа выполнит ученик за 1 ч? Какую часть заказа они выполнят, работая вместе, за 1 ч?

б) Швея может выполнить заказ за 3 дня, а её ученица — за 6 дней. Какую часть заказа они могут выполнить за один день, работая вместе?

а)

Примем весь объем заказа за 1.
Чтобы найти, какую часть заказа выполнит рабочий за 1 час, разделим весь заказ (1) на время его выполнения (3 часа). Производительность рабочего составляет:
$1 \div 3 = \frac{1}{3}$ часть заказа в час.

Аналогично найдем производительность ученика. Он выполняет весь заказ за 7 часов, следовательно, за 1 час он выполнит:
$1 \div 7 = \frac{1}{7}$ часть заказа в час.

Чтобы найти, какую часть заказа они выполнят за 1 час, работая вместе, нужно сложить их производительности:
$ \frac{1}{3} + \frac{1}{7} $
Приведем дроби к общему знаменателю 21:
$ \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{7}{21} + \frac{3}{21} = \frac{7+3}{21} = \frac{10}{21} $
Таким образом, вместе за 1 час они выполнят $ \frac{10}{21} $ часть заказа.

Ответ: рабочий за 1 час выполнит $ \frac{1}{3} $ заказа, ученик — $ \frac{1}{7} $ заказа, а вместе они выполнят $ \frac{10}{21} $ заказа.

б)

Примем весь объем заказа за 1.
Производительность швеи (часть заказа, выполняемая за 1 день) составляет:
$1 \div 3 = \frac{1}{3}$ заказа в день.

Производительность ее ученицы составляет:
$1 \div 6 = \frac{1}{6}$ заказа в день.

Чтобы найти, какую часть заказа они могут выполнить за один день, работая вместе, сложим их производительности:
$ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} $
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$ \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} $
Сократим дробь:
$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
Следовательно, работая вместе, за один день они выполнят $ \frac{1}{2} $ заказа.

Ответ: $ \frac{1}{2} $ часть заказа.

523 Для заполнения бассейна водой есть два водопроводных крана. Если включить один кран, то бассейн наполнится водой за 2 ч. Через другой кран вода течёт медленнее, и если включить только его, то бассейн наполнится за 3 ч. Какая часть бассейна останется не заполненной водой при одновременном включении на 1 ч двух кранов?

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1.

1. Сначала определим, какую часть бассейна наполняет каждый кран за один час. Это их производительность.

Производительность первого крана: если он наполняет весь бассейн (1) за 2 часа, то за 1 час он наполнит $1 \div 2 = \frac{1}{2}$ часть бассейна.

Производительность второго крана: если он наполняет весь бассейн (1) за 3 часа, то за 1 час он наполнит $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ часть бассейна.

2. Теперь найдем общую производительность, то есть какую часть бассейна наполнят оба крана, работая вместе, за 1 час. Для этого сложим их производительности:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 6:

$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, за 1 час совместной работы два крана наполнят $\frac{5}{6}$ часть бассейна.

3. В вопросе требуется найти, какая часть бассейна останется не заполненной. Для этого нужно из всего объема бассейна (1) вычесть ту часть, которая будет заполнена за 1 час:

$1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$ часть бассейна останется не заполненной водой.