Страница 158 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

541 Запишите последовательность из 10 чисел, у которой первое число равно 1, а каждое следующее — на $\frac{1}{2}$ больше предыдущего. Найдите сумму членов этой последовательности.

По условию, каждый следующий член последовательности на $\frac{1}{2}$ больше предыдущего. Это означает, что мы имеем дело с арифметической прогрессией.

Определим параметры этой прогрессии:
Первый член $a_1 = 1$.
Разность прогрессии $d = \frac{1}{2} = 0,5$.
Количество членов в последовательности $n = 10$.

Запишите последовательность из 10 чисел

Чтобы найти каждый следующий член последовательности, будем прибавлять разность $d=0,5$ к предыдущему члену, начиная с первого:
$a_1 = 1$
$a_2 = a_1 + d = 1 + 0,5 = 1,5$
$a_3 = a_2 + d = 1,5 + 0,5 = 2$
$a_4 = a_3 + d = 2 + 0,5 = 2,5$
$a_5 = a_4 + d = 2,5 + 0,5 = 3$
$a_6 = a_5 + d = 3 + 0,5 = 3,5$
$a_7 = a_6 + d = 3,5 + 0,5 = 4$
$a_8 = a_7 + d = 4 + 0,5 = 4,5$
$a_9 = a_8 + d = 4,5 + 0,5 = 5$
$a_{10} = a_9 + d = 5 + 0,5 = 5,5$

Ответ: 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5.

Найдите сумму членов этой последовательности

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В нашем случае известны все необходимые значения: $n=10$, первый член $a_1=1$, и десятый член $a_{10}=5,5$. Подставим эти значения в формулу:
$S_{10} = \frac{1 + 5,5}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{6,5}{2} \cdot 10$
$S_{10} = 3,25 \cdot 10 = 32,5$

Ответ: 32,5.

542 Вычислите сумму, используя переместительное и сочетательное свойства сложения:

а) $2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2} + 4\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{4} + 5\frac{1}{2};$

б) $1\frac{1}{3} + 4\frac{1}{6} + 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3} + 3\frac{1}{4}.$

a) $2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2} + 4\frac{1}{4} + 4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{4} + 5\frac{1}{2}$
Используя переместительное и сочетательное свойства сложения, сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями в дробных частях для удобства вычислений:
$(2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{4} + 4\frac{1}{4} + 5\frac{1}{4}) + (2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2} + 4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{2})$
Теперь вычислим сумму в каждой группе, складывая отдельно целые и дробные части.
Сумма в первой группе: $(2+3+4+5) + (\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}) = 14 + \frac{4}{4} = 14 + 1 = 15$.
Сумма во второй группе: $(2+3+4+5) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = 14 + \frac{4}{2} = 14 + 2 = 16$.
Сложим полученные результаты:
$15 + 16 = 31$.
Ответ: $31$.

б) $1\frac{1}{3} + 4\frac{1}{6} + 1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3} + 3\frac{1}{4}$
Используя переместительное и сочетательное свойства, сгруппируем слагаемые так, чтобы их дробные части легко складывались:
$(1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}) + (1\frac{3}{4} + 3\frac{1}{4}) + 4\frac{1}{6}$
Вычислим сумму в каждой скобке:
$1\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} = (1+2) + (\frac{1}{3}+\frac{2}{3}) = 3 + \frac{3}{3} = 3+1 = 4$.
$1\frac{3}{4} + 3\frac{1}{4} = (1+3) + (\frac{3}{4}+\frac{1}{4}) = 4 + \frac{4}{4} = 4+1 = 5$.
Теперь подставим полученные значения обратно в выражение и найдем окончательную сумму:
$4 + 5 + 4\frac{1}{6} = 9 + 4\frac{1}{6} = 13\frac{1}{6}$.
Ответ: $13\frac{1}{6}$.

543 Не вычисляя сумму, сравните её с числом 10:

а) $9\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$;

б) $9\frac{3}{4} + \frac{1}{25}$;

в) $9\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$;

г) $4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3}$.

а) Чтобы сравнить сумму $9\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$ с числом 10, не обязательно вычислять точное значение. Достаточно сравнить сумму дробных частей $\frac{9}{10} + \frac{1}{100}$ с числом $10 - 9 = 1$.
Приведем дроби к общему знаменателю 100:
$\frac{9}{10} = \frac{9 \times 10}{10 \times 10} = \frac{90}{100}$.
Теперь сложим дробные части: $\frac{90}{100} + \frac{1}{100} = \frac{91}{100}$.
Сравним полученную сумму с 1: $\frac{91}{100} < 1$.
Поскольку сумма дробных частей меньше 1, то и вся сумма $9 + \frac{91}{100}$ будет меньше 10.
Ответ: $9\frac{9}{10} + \frac{1}{100} < 10$.

б) Сравним сумму $9\frac{3}{4} + \frac{1}{25}$ с числом 10. Для этого сравним сумму дробных частей $\frac{3}{4} + \frac{1}{25}$ с числом $10 - 9 = 1$.
Приведем дроби к общему знаменателю 100:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100}$.
$\frac{1}{25} = \frac{1 \times 4}{25 \times 4} = \frac{4}{100}$.
Сумма дробных частей равна $\frac{75}{100} + \frac{4}{100} = \frac{79}{100}$.
Сравним полученную дробь с 1: $\frac{79}{100} < 1$.
Следовательно, вся сумма $9 + \frac{79}{100}$ меньше 10.
Ответ: $9\frac{3}{4} + \frac{1}{25} < 10$.

в) Сравним сумму $9\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ с числом 10. Для этого сравним сумму дробных частей $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ с числом $10 - 9 = 1$.
Приведем дроби к общему знаменателю 4:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$.
Сумма дробных частей равна $\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$.
Сравним полученную дробь с 1: $\frac{5}{4} > 1$, так как числитель больше знаменателя.
Так как сумма дробных частей больше 1, то и вся сумма $9 + \frac{5}{4}$ будет больше 10.
Ответ: $9\frac{1}{2} + \frac{3}{4} > 10$.

г) Сравним сумму $4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3}$ с числом 10.
Сначала сложим целые части: $4 + 5 = 9$.
Теперь задача сводится к сравнению суммы $9 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})$ с числом 10. Это эквивалентно сравнению суммы дробных частей $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ с числом $10 - 9 = 1$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$.
Сумма дробных частей равна $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
Сравним полученную дробь с 1: $\frac{5}{6} < 1$.
Следовательно, вся сумма $9 + \frac{5}{6}$ меньше 10.
Ответ: $4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{3} < 10$.

544 а) $1 - \frac{1}{3}$;

б) $1 - \frac{3}{4}$;

в) $1 - \frac{11}{20}$;

г) $3 - \frac{1}{2}$;

д) $4 - \frac{1}{9}$;

е) $5 - \frac{2}{5}$;

ж) $6 - \frac{3}{7}$;

з) $8 - \frac{2}{3}$.

Образец. $4 - \frac{5}{6} = 3 + 1 - \frac{5}{6} = 3 + \frac{1}{6} = 3 \frac{1}{6}$.

а) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 3. $1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$. Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 4. $1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$. Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Представим 1 в виде дроби со знаменателем 20. $1 - \frac{11}{20} = \frac{20}{20} - \frac{11}{20} = \frac{20-11}{20} = \frac{9}{20}$. Ответ: $\frac{9}{20}$

г) Займем единицу у числа 3 и представим ее в виде дроби со знаменателем 2. $3 - \frac{1}{2} = 2 + 1 - \frac{1}{2} = 2 + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 2 + \frac{2-1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$. Ответ: $2\frac{1}{2}$

д) Займем единицу у числа 4 и представим ее в виде дроби со знаменателем 9. $4 - \frac{1}{9} = 3 + 1 - \frac{1}{9} = 3 + \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = 3 + \frac{9-1}{9} = 3 + \frac{8}{9} = 3\frac{8}{9}$. Ответ: $3\frac{8}{9}$

е) Займем единицу у числа 5 и представим ее в виде дроби со знаменателем 5. $5 - \frac{2}{5} = 4 + 1 - \frac{2}{5} = 4 + \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 4 + \frac{5-2}{5} = 4 + \frac{3}{5} = 4\frac{3}{5}$. Ответ: $4\frac{3}{5}$

ж) Займем единицу у числа 6 и представим ее в виде дроби со знаменателем 7. $6 - \frac{3}{7} = 5 + 1 - \frac{3}{7} = 5 + \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = 5 + \frac{7-3}{7} = 5 + \frac{4}{7} = 5\frac{4}{7}$. Ответ: $5\frac{4}{7}$

з) Займем единицу у числа 8 и представим ее в виде дроби со знаменателем 3. $8 - \frac{2}{3} = 7 + 1 - \frac{2}{3} = 7 + \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = 7 + \frac{3-2}{3} = 7 + \frac{1}{3} = 7\frac{1}{3}$. Ответ: $7\frac{1}{3}$

545 а) $5\frac{2}{3} - 4$;

б) $12\frac{1}{4} - 9$;

в) $5\frac{2}{3} - \frac{1}{3}$;

г) $10\frac{8}{9} - \frac{2}{9}$;

д) $6\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4}$;

е) $7\frac{4}{9} - 1\frac{1}{9}$.

а) Чтобы вычесть из смешанного числа целое число, нужно вычесть это число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменений.

$5\frac{2}{3} - 4 = (5 - 4) + \frac{2}{3} = 1 + \frac{2}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $1\frac{2}{3}$.

б) Выполняем вычитание по тому же правилу, что и в предыдущем примере.

$12\frac{1}{4} - 9 = (12 - 9) + \frac{1}{4} = 3 + \frac{1}{4} = 3\frac{1}{4}$

Ответ: $3\frac{1}{4}$.

в) Чтобы вычесть из смешанного числа дробь с таким же знаменателем, вычитаем эту дробь из дробной части смешанного числа, а целую часть оставляем без изменений.

$5\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 5 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) = 5 + \frac{2-1}{3} = 5 + \frac{1}{3} = 5\frac{1}{3}$

Ответ: $5\frac{1}{3}$.

г) Вычитаем дробные части. Полученную в результате дробь $\frac{6}{9}$ нужно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3.

$10\frac{8}{9} - \frac{2}{9} = 10 + (\frac{8}{9} - \frac{2}{9}) = 10 + \frac{8-2}{9} = 10 + \frac{6}{9} = 10\frac{2}{3}$

Ответ: $10\frac{2}{3}$.

д) Чтобы вычесть одно смешанное число из другого, вычитаем отдельно целые части и отдельно дробные части. Полученную дробь $\frac{2}{4}$ сокращаем.

$6\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4} = (6 - 2) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{4}) = 4 + \frac{3-1}{4} = 4 + \frac{2}{4} = 4\frac{1}{2}$

Ответ: $4\frac{1}{2}$.

е) Выполняем вычитание по тому же правилу: отдельно вычитаем целые части и отдельно — дробные. Результат сокращаем.

$7\frac{4}{9} - 1\frac{1}{9} = (7 - 1) + (\frac{4}{9} - \frac{1}{9}) = 6 + \frac{4-1}{9} = 6 + \frac{3}{9} = 6\frac{1}{3}$

Ответ: $6\frac{1}{3}$.

546 а) $5 - 2\frac{1}{2};$

б) $6 - 3\frac{2}{5};$

в) $7 - 5\frac{3}{7};$

г) $8 - 3\frac{3}{4};$

д) $4 - 2\frac{3}{5};$

е) $7 - 1\frac{2}{3}.$

Образец. $6 - 2\frac{1}{2} = 4 - \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}.$

а) Для вычитания смешанного числа $2\frac{1}{2}$ из целого числа $5$ можно сначала вычесть целые части, а затем из результата вычесть дробную часть.
$5 - 2\frac{1}{2} = (5 - 2) - \frac{1}{2} = 3 - \frac{1}{2}$.
Чтобы вычесть дробь из целого числа, "займем" единицу у целого и представим ее в виде дроби с нужным знаменателем:
$3 - \frac{1}{2} = 2 + 1 - \frac{1}{2} = 2 + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 2 + \frac{2-1}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}$.

б) Выполним вычитание по аналогии с предыдущим примером. Сначала вычитаем целые части:
$6 - 3\frac{2}{5} = (6-3) - \frac{2}{5} = 3 - \frac{2}{5}$.
Затем "занимаем" единицу у целого числа и вычитаем дробную часть:
$3 - \frac{2}{5} = 2 + 1 - \frac{2}{5} = 2 + \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 2 + \frac{5-2}{5} = 2\frac{3}{5}$.
Ответ: $2\frac{3}{5}$.

в) Вычитаем целую часть из целого числа:
$7 - 5\frac{3}{7} = (7-5) - \frac{3}{7} = 2 - \frac{3}{7}$.
Представляем целое число в виде смешанного, чтобы вычесть дробь:
$2 - \frac{3}{7} = 1 + 1 - \frac{3}{7} = 1 + \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = 1 + \frac{7-3}{7} = 1\frac{4}{7}$.
Ответ: $1\frac{4}{7}$.

г) Сначала вычитаем целые части:
$8 - 3\frac{3}{4} = (8-3) - \frac{3}{4} = 5 - \frac{3}{4}$.
"Занимаем" единицу у целого числа и выполняем вычитание дробей:
$5 - \frac{3}{4} = 4 + 1 - \frac{3}{4} = 4 + \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = 4 + \frac{4-3}{4} = 4\frac{1}{4}$.
Ответ: $4\frac{1}{4}$.

д) Вычитаем целую часть из целого числа:
$4 - 2\frac{3}{5} = (4-2) - \frac{3}{5} = 2 - \frac{3}{5}$.
Представляем целое число в виде смешанного и вычитаем дробную часть:
$2 - \frac{3}{5} = 1 + 1 - \frac{3}{5} = 1 + \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = 1 + \frac{5-3}{5} = 1\frac{2}{5}$.
Ответ: $1\frac{2}{5}$.

е) Вычитаем целые части:
$7 - 1\frac{2}{3} = (7-1) - \frac{2}{3} = 6 - \frac{2}{3}$.
"Занимаем" единицу у целого числа и вычитаем дробь:
$6 - \frac{2}{3} = 5 + 1 - \frac{2}{3} = 5 + \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = 5 + \frac{3-2}{3} = 5\frac{1}{3}$.
Ответ: $5\frac{1}{3}$.

547 а) $5 \frac{2}{6} - \frac{5}{6}$;

б) $2 \frac{1}{3} - \frac{2}{3}$;

в) $4 \frac{5}{9} - \frac{8}{9}$;

г) $3 \frac{1}{12} - 1 \frac{5}{12}$;

д) $6 \frac{3}{7} - 5 \frac{5}{7}$;

е) $4 \frac{1}{8} - 3 \frac{5}{8}$.

Указание. Используйте в качестве образца пример 4 (с. 155).

а)

Для вычитания $5 \frac{2}{6} - \frac{5}{6}$, мы видим, что дробная часть уменьшаемого ($ \frac{2}{6} $) меньше вычитаемого ($ \frac{5}{6} $). Поэтому нужно "занять" единицу у целой части. Представим $5 \frac{2}{6}$ в виде $4 + 1 + \frac{2}{6}$. Единицу представим как дробь со знаменателем 6, то есть $1 = \frac{6}{6}$. Получаем: $5 \frac{2}{6} = 4 + \frac{6}{6} + \frac{2}{6} = 4 \frac{8}{6}$. Теперь выполняем вычитание: $4 \frac{8}{6} - \frac{5}{6} = 4 + (\frac{8}{6} - \frac{5}{6}) = 4 + \frac{8-5}{6} = 4 \frac{3}{6}$. Сократим дробную часть $ \frac{3}{6} $, разделив числитель и знаменатель на 3: $ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $. В результате получаем $4 \frac{1}{2}$.

Ответ: $4 \frac{1}{2}$

б)

В выражении $2 \frac{1}{3} - \frac{2}{3}$ дробная часть уменьшаемого ($ \frac{1}{3} $) меньше вычитаемого ($ \frac{2}{3} $). Займем единицу у целой части: $2 \frac{1}{3} = 1 + 1 + \frac{1}{3}$. Представим единицу как $ \frac{3}{3} $: $1 + \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = 1 \frac{4}{3}$. Теперь вычитаем: $1 \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = 1 + (\frac{4}{3} - \frac{2}{3}) = 1 + \frac{4-2}{3} = 1 \frac{2}{3}$.

Ответ: $1 \frac{2}{3}$

в)

Рассмотрим выражение $4 \frac{5}{9} - \frac{8}{9}$. Дробная часть $ \frac{5}{9} $ меньше, чем $ \frac{8}{9} $. Займем единицу у целой части 4: $4 \frac{5}{9} = 3 + 1 + \frac{5}{9} = 3 + \frac{9}{9} + \frac{5}{9} = 3 \frac{14}{9}$. Теперь произведем вычитание: $3 \frac{14}{9} - \frac{8}{9} = 3 + (\frac{14}{9} - \frac{8}{9}) = 3 + \frac{14-8}{9} = 3 \frac{6}{9}$. Сократим дробь $ \frac{6}{9} $, разделив числитель и знаменатель на 3: $ \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} $. Итоговый результат: $3 \frac{2}{3}$.

Ответ: $3 \frac{2}{3}$

г)

В выражении $3 \frac{1}{12} - 1 \frac{5}{12}$ дробная часть уменьшаемого ($ \frac{1}{12} $) меньше дробной части вычитаемого ($ \frac{5}{12} $). Займем единицу у целой части уменьшаемого: $3 \frac{1}{12} = 2 + 1 + \frac{1}{12} = 2 + \frac{12}{12} + \frac{1}{12} = 2 \frac{13}{12}$. Теперь вычитание выглядит так: $2 \frac{13}{12} - 1 \frac{5}{12}$. Вычитаем целые части: $2 - 1 = 1$. Вычитаем дробные части: $\frac{13}{12} - \frac{5}{12} = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12}$. Сократим полученную дробь $ \frac{8}{12} $, разделив числитель и знаменатель на 4: $ \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $. Собираем результат: $1 \frac{2}{3}$.

Ответ: $1 \frac{2}{3}$

д)

В выражении $6 \frac{3}{7} - 5 \frac{5}{7}$ дробная часть $ \frac{3}{7} $ меньше $ \frac{5}{7} $. Займем единицу у целой части уменьшаемого: $6 \frac{3}{7} = 5 + 1 + \frac{3}{7} = 5 + \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = 5 \frac{10}{7}$. Теперь вычитаем: $5 \frac{10}{7} - 5 \frac{5}{7}$. Вычитаем целые части: $5 - 5 = 0$. Вычитаем дробные части: $\frac{10}{7} - \frac{5}{7} = \frac{10-5}{7} = \frac{5}{7}$. Результат равен $ \frac{5}{7} $.

Ответ: $\frac{5}{7}$

е)

В выражении $4 \frac{1}{8} - 3 \frac{5}{8}$ дробная часть $ \frac{1}{8} $ меньше $ \frac{5}{8} $. Займем единицу у целой части уменьшаемого: $4 \frac{1}{8} = 3 + 1 + \frac{1}{8} = 3 + \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = 3 \frac{9}{8}$. Теперь вычитаем: $3 \frac{9}{8} - 3 \frac{5}{8}$. Вычитаем целые части: $3 - 3 = 0$. Вычитаем дробные части: $\frac{9}{8} - \frac{5}{8} = \frac{9-5}{8} = \frac{4}{8}$. Сократим дробь $ \frac{4}{8} $, разделив числитель и знаменатель на 4: $ \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} $. Результат равен $ \frac{1}{2} $.

Ответ: $\frac{1}{2}$