Страница 162 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

557 а) $⅓ \cdot &frac27;;$

б) $½ \cdot ⅚;$

В) $¾ \cdot ¼;$

Г) $⅖ \cdot &frac75;;$

Д) $½ \cdot ⅓.$

a)

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Результатом умножения числителей будет числитель новой дроби, а результатом умножения знаменателей — её знаменатель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{2}{21}$

Полученная дробь $\frac{2}{21}$ является несократимой, так как у числителя 2 и знаменателя 21 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{2}{21}$

б)

Умножим числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 6} = \frac{5}{12}$

Дробь $\frac{5}{12}$ несократима, так как числитель 5 является простым числом, а знаменатель 12 на 5 не делится.

Ответ: $\frac{5}{12}$

в)

Произведем умножение числителей и знаменателей данных дробей.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{3}{16}$

Числа 3 и 16 являются взаимно простыми, поэтому полученная дробь не может быть сокращена.

Ответ: $\frac{3}{16}$

г)

Выполним умножение дробей по тому же правилу: числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 5} = \frac{14}{25}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Общих делителей у чисел 14 и 25 (кроме 1) нет, следовательно, дробь несократима.

Ответ: $\frac{14}{25}$

д)

Найдем произведение двух дробей, перемножив их числители и знаменатели.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Дробь $\frac{1}{6}$ несократима.

Ответ: $\frac{1}{6}$

558 а) $\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{7}$;

б) $\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{5}$;

в) $\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9}$;

г) $\frac{8}{21} \cdot \frac{7}{10}$;

д) $\frac{8}{15} \cdot \frac{25}{28}$.

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. В данном случае можно сократить 5 в числителе и знаменателе:

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 7} = \frac{4 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot 7} = \frac{4}{7}$

Ответ: $\frac{4}{7}$

б) Перемножим числители и знаменатели, а затем сократим общие множители. Число 9 в знаменателе и 3 в числителе имеют общий делитель 3:

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{8 \cdot \cancel{3}}{3 \cdot \cancel{3} \cdot 5} = \frac{8}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$

Ответ: $\frac{8}{15}$

в) В этом примере мы умножаем дробь на обратную ей дробь. Произведение таких дробей всегда равно 1. Можно также сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 9} = \frac{\cancel{9} \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{9}} = 1$

Ответ: 1

г) Перемножим числители и знаменатели. Перед вычислением произведения выполним сокращение. Сократим 8 и 10 на 2, а 7 и 21 на 7:

$\frac{8}{21} \cdot \frac{7}{10} = \frac{8 \cdot 7}{21 \cdot 10} = \frac{(4 \cdot \cancel{2}) \cdot \cancel{7}}{(\cancel{7} \cdot 3) \cdot (5 \cdot \cancel{2})} = \frac{4}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15}$

Ответ: $\frac{4}{15}$

д) Перемножим числители и знаменатели. Перед вычислением произведения выполним сокращение. Сократим 8 и 28 на 4, а 15 и 25 на 5:

$\frac{8}{15} \cdot \frac{25}{28} = \frac{8 \cdot 25}{15 \cdot 28} = \frac{(\cancel{4} \cdot 2) \cdot (\cancel{5} \cdot 5)}{(\cancel{5} \cdot 3) \cdot (\cancel{4} \cdot 7)} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{10}{21}$

Ответ: $\frac{10}{21}$

559 а) $ \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9}; $

б) $ \frac{4}{5} \cdot \frac{10}{27} \cdot \frac{15}{16}; $

в) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}; $

г) $ \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11}; $

д) $ \frac{4}{7} \cdot \frac{35}{36} \cdot \frac{3}{5}; $

е) $ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{24}{25}. $

а) Чтобы перемножить дроби, необходимо перемножить их числители (числа над чертой) и их знаменатели (числа под чертой). Затем, если возможно, сократить полученную дробь.
$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 1 \cdot 4}{5 \cdot 2 \cdot 9}$
Прежде чем вычислять произведение, можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сократим 3 и 9 на 3. Сократим 4 и 2 на 2.
$\frac{\cancel{3}^1 \cdot 1 \cdot \cancel{4}^2}{5 \cdot \cancel{2}^1 \cdot \cancel{9}^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 2}{5 \cdot 1 \cdot 3} = \frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$

б) Запишем произведение в виде одной дроби и выполним сокращение.
$\frac{4}{5} \cdot \frac{10}{27} \cdot \frac{15}{16} = \frac{4 \cdot 10 \cdot 15}{5 \cdot 27 \cdot 16}$
Сокращаем 4 и 16 на 4 (в числителе останется 1, в знаменателе 4).
Сокращаем 10 и 5 на 5 (в числителе останется 2, в знаменателе 1).
Сокращаем 15 и 27 на 3 (в числителе останется 5, в знаменателе 9).
$\frac{\cancel{4}^1 \cdot \cancel{10}^2 \cdot \cancel{15}^5}{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{27}^9 \cdot \cancel{16}^4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 5}{1 \cdot 9 \cdot 4} = \frac{10}{36}$
Полученную дробь $\frac{10}{36}$ можно сократить на 2.
$\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$
Ответ: $\frac{5}{18}$

в) В этом произведении мы видим закономерность: знаменатель каждой дроби (кроме последней) равен числителю следующей дроби.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}$
При умножении одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются.
$\frac{1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot 5} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

г) Этот пример похож на предыдущий. Знаменатель каждой дроби (кроме последней) сокращается с числителем следующей.
$\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11}$
Сокращаем одинаковые множители:
$\frac{6 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{10}}{\cancel{7} \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{10} \cdot 11} = \frac{6}{11}$
Остается числитель первой дроби и знаменатель последней.
Ответ: $\frac{6}{11}$

д) Запишем произведение в виде одной дроби и сократим общие множители.
$\frac{4}{7} \cdot \frac{35}{36} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 35 \cdot 3}{7 \cdot 36 \cdot 5}$
Сокращаем 4 и 36 на 4 (в числителе 1, в знаменателе 9).
Сокращаем 35 и 7 на 7 (в числителе 5, в знаменателе 1).
$\frac{\cancel{4}^1 \cdot \cancel{35}^5 \cdot 3}{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{36}^9 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 3}{1 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{15}{45}$
Полученную дробь $\frac{15}{45}$ можно сократить на 15.
$\frac{15}{45} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

е) В данном произведении наблюдается та же закономерность, что и в примерах в) и г). Знаменатель каждой дроби сокращается с числителем следующей дроби.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{24}{25}$
Это можно записать как одну большую дробь:
$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 23 \cdot 24}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 24 \cdot 25}$
Все числа от 2 до 24 в числителе и знаменателе сокращаются.
$\frac{1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \dots \cdot \cancel{23} \cdot \cancel{24}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot \dots \cdot \cancel{24} \cdot 25} = \frac{1}{25}$
В результате остается числитель первой дроби (1) и знаменатель последней (25).
Ответ: $\frac{1}{25}$

Вычислите (№ 560–562):

560

а) $ \frac{3}{7} \cdot 2; $

б) $ 3 \cdot \frac{1}{6}; $

в) $ 9 \cdot \frac{5}{6}; $

г) $ \frac{2}{5} \cdot 15; $

д) $ \frac{1}{4} \cdot 4; $

е) $ 5 \cdot \frac{1}{5}. $

а) Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
$\frac{3}{7} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 2}{7} = \frac{6}{7}$
Ответ: $\frac{6}{7}$

б) Чтобы умножить натуральное число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения. Полученную дробь можно сократить.
$3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 1}{6} = \frac{3}{6}$
Сокращаем числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$\frac{3}{6} = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Умножаем натуральное число на числитель дроби, а знаменатель оставляем без изменения.
$9 \cdot \frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 5}{6} = \frac{45}{6}$
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{45}{6} = \frac{45 \div 3}{6 \div 3} = \frac{15}{2}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:
$15 \div 2 = 7$ (остаток $1$), поэтому $\frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$
Ответ: $7\frac{1}{2}$

г) Умножаем числитель дроби на натуральное число. Удобнее сначала сократить натуральное число и знаменатель дроби на их общий делитель.
$\frac{2}{5} \cdot 15 = \frac{2 \cdot 15}{5}$
Сокращаем 15 и 5 на 5:
$\frac{2 \cdot 15}{5} = \frac{2 \cdot (3 \cdot 5)}{5} = 2 \cdot 3 = 6$
Ответ: $6$

д) Умножаем числитель дроби на натуральное число. В данном случае мы умножаем дробь на ее знаменатель.
$\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{1 \cdot 4}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $1$

е) Умножаем натуральное число на числитель дроби. Это пример умножения числа на обратное ему число (взаимно обратные числа), произведение которых всегда равно 1.
$5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 1}{5} = \frac{5}{5} = 1$
Ответ: $1$

561 а) $2\frac{1}{3} \cdot 2$;

б) $4 \cdot 1\frac{1}{2}$;

в) $1\frac{1}{3} \cdot 9$;

г) $\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$;

д) $1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{2}$.

а) Для того чтобы умножить смешанное число $2\frac{1}{3}$ на целое число $2$, необходимо сначала преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Теперь умножим полученную дробь на $2$:
$\frac{7}{3} \cdot 2 = \frac{7 \cdot 2}{3} = \frac{14}{3}$
Преобразуем результат обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком: $14 \div 3 = 4$ (остаток $2$).
$\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$
Ответ: $4\frac{2}{3}$.

б) Чтобы умножить целое число $4$ на смешанное число $1\frac{1}{2}$, представим смешанное число в виде неправильной дроби.
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Теперь выполним умножение:
$4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{12}{2} = 6$
Ответ: $6$.

в) Чтобы умножить смешанное число $1\frac{1}{3}$ на целое число $9$, представим смешанное число в виде неправильной дроби.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Умножим полученную дробь на $9$:
$\frac{4}{3} \cdot 9 = \frac{4 \cdot 9}{3}$
Сократим дробь, разделив $9$ и $3$ на $3$:
$\frac{4 \cdot 9}{3} = 4 \cdot \frac{9}{3} = 4 \cdot 3 = 12$
Ответ: $12$.

г) Для умножения дроби $\frac{3}{7}$ на смешанное число $2\frac{1}{3}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Теперь умножим две дроби:
$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{21}{21}$
Сократим дробь:
$\frac{21}{21} = 1$
Можно также сократить дроби до умножения:
$\frac{\cancel{3}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{3}} = 1$
Ответ: $1$.

д) Чтобы перемножить два смешанных числа $1\frac{1}{3}$ и $1\frac{1}{2}$, сначала преобразуем каждое из них в неправильную дробь.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{12}{6}$
Сократим результат:
$\frac{12}{6} = 2$
Можно также сократить дроби до умножения:
$\frac{4}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: $2$.

562 а) $12 \cdot \frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{2} \cdot 3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{1}{5}$;

б) $3 \cdot 5\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{7} \cdot 5\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{11}$.

а) $12 \cdot \frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{2} \cdot 3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{1}{5}$

Для решения этого примера необходимо сначала преобразовать все целые и смешанные числа в неправильные дроби.

1. Преобразуем числа в неправильные дроби:

$12 = \frac{12}{1}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$

$4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$

2. Перепишем выражение, используя полученные дроби:

$\frac{12}{1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{15}{4} \cdot \frac{21}{5}$

3. Выполним умножение. Чтобы упростить вычисления, сократим дроби перед умножением числителей и знаменателей:

$\frac{12 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 15 \cdot 21}{1 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5}$

Сократим 12 и 6 (на 6), получим 2 в числителе:

$\frac{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 15 \cdot 21}{1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5}$

Сократим 2 в числителе и 2 в знаменателе:

$\frac{1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 15 \cdot 21}{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 5}$

Сократим 15 и 5 (на 5), получим 3 в числителе:

$\frac{3 \cdot 3 \cdot 21}{4} = \frac{9 \cdot 21}{4} = \frac{189}{4}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{189}{4} = 47\frac{1}{4}$

Ответ: $47\frac{1}{4}$

б) $3 \cdot 5\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{7} \cdot 5\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{11}$

Аналогично первому примеру, преобразуем все целые и смешанные числа в неправильные дроби.

1. Преобразуем числа в неправильные дроби:

$3 = \frac{3}{1}$

$5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$

$5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$

2. Перепишем выражение с неправильными дробями:

$\frac{3}{1} \cdot \frac{21}{4} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{11}{2} \cdot \frac{4}{11}$

3. Выполним умножение, предварительно сократив дроби:

$\frac{3 \cdot 21 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 4}{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 11}$

Сократим 11 в числителе и знаменателе, а также 4 в числителе и знаменателе:

$\frac{3 \cdot 21 \cdot 8}{1 \cdot 7 \cdot 2}$

Сократим 21 и 7 (на 7), получим 3 в числителе:

$\frac{3 \cdot 3 \cdot 8}{1 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{9 \cdot 8}{2}$

Сократим 8 и 2 (на 2), получим 4 в числителе:

$\frac{9 \cdot 4}{1} = 36$

Ответ: $36$

563 Найдите значение степени:

а) $(\frac{2}{9})^2$;

б) $(\frac{2}{3})^3$;

в) $(\frac{1}{4})^3$;

г) $(\frac{4}{3})^3$;

д) $(\frac{1}{5})^3$;

е) $(\frac{1}{3})^2$.

а) Чтобы найти значение степени $(\frac{2}{9})^2$, необходимо возвести во вторую степень как числитель, так и знаменатель дроби.

$(\frac{2}{9})^2 = \frac{2^2}{9^2} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \frac{4}{81}$

Ответ: $\frac{4}{81}$

б) Чтобы найти значение степени $(\frac{2}{3})^3$, необходимо возвести в третью степень как числитель, так и знаменатель дроби.

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$

в) Чтобы найти значение степени $(\frac{1}{4})^3$, необходимо возвести в третью степень как числитель, так и знаменатель дроби.

$(\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{64}$

Ответ: $\frac{1}{64}$

г) Чтобы найти значение степени $(\frac{4}{3})^3$, необходимо возвести в третью степень как числитель, так и знаменатель дроби.

$(\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{64}{27}$

Ответ: $\frac{64}{27}$

д) Чтобы найти значение степени $(\frac{1}{5})^3$, необходимо возвести в третью степень как числитель, так и знаменатель дроби.

$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{125}$

Ответ: $\frac{1}{125}$

е) Чтобы найти значение степени $(\frac{1}{3})^2$, необходимо возвести во вторую степень как числитель, так и знаменатель дроби.

$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

564 В числовой последовательности первое число равно $2/9$, а каждое следующее в $1 \frac{1}{2}$ раза больше предыдущего. Запишите первые пять чисел этой последовательности.

По условию, первый член числовой последовательности равен $\frac{2}{9}$. Каждый следующий член в $1\frac{1}{2}$ раза больше предыдущего. Это означает, что мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = \frac{2}{9}$, а знаменатель $q = 1\frac{1}{2}$.

Для выполнения вычислений представим знаменатель прогрессии в виде неправильной дроби:
$q = 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем следующие четыре члена последовательности, последовательно умножая предыдущий член на знаменатель $q$.

Первый член последовательности задан в условии:
$b_1 = \frac{2}{9}$

Второй член последовательности:
$b_2 = b_1 \cdot q = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Третий член последовательности:
$b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Четвертый член последовательности:
$b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$

Пятый член последовательности:
$b_5 = b_4 \cdot q = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \frac{9}{8}$

Таким образом, первые пять чисел этой последовательности: $\frac{2}{9}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{2}{9}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{9}{8}$.

565 а) $\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{49} + 5\frac{3}{7}$;$

б) $1\frac{3}{11} - \frac{27}{44} \cdot \frac{4}{9}$;$

в) $1\frac{2}{3} + \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{7}$.$

а) $ \frac{14}{15} \cdot \frac{10}{49} + 5\frac{3}{7} $

1. В соответствии с порядком действий, сначала выполняем умножение. Перед умножением сократим дроби: числитель 14 и знаменатель 49 можно сократить на 7; числитель 10 и знаменатель 15 можно сократить на 5.

$ \frac{14}{15} \cdot \frac{10}{49} = \frac{^{2}\cancel{14}}{_{3}\cancel{15}} \cdot \frac{^{2}\cancel{10}}{_{7}\cancel{49}} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{4}{21} $

2. Теперь выполним сложение. Для этого приведем дробную часть смешанного числа к общему знаменателю 21.

$ \frac{4}{21} + 5\frac{3}{7} = \frac{4}{21} + 5\frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21} + 5\frac{9}{21} = 5\frac{4+9}{21} = 5\frac{13}{21} $

Ответ: $ 5\frac{13}{21} $

б) $ 1\frac{3}{11} - \frac{27}{44} \cdot \frac{4}{9} $

1. Первым действием выполняем умножение. Сократим дроби: 27 и 9 делятся на 9; 44 и 4 делятся на 4.

$ \frac{27}{44} \cdot \frac{4}{9} = \frac{^{3}\cancel{27}}{_{11}\cancel{44}} \cdot \frac{^{1}\cancel{4}}{_{1}\cancel{9}} = \frac{3 \cdot 1}{11 \cdot 1} = \frac{3}{11} $

2. Далее выполняем вычитание.

$ 1\frac{3}{11} - \frac{3}{11} = 1 + (\frac{3}{11} - \frac{3}{11}) = 1 + 0 = 1 $

Ответ: $ 1 $

в) $ 1\frac{2}{3} + \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{7} $

1. Первым действием выполняем умножение. Сократим дроби: 14 и 7 делятся на 7; 15 и 5 делятся на 5.

$ \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{7} = \frac{^{2}\cancel{14}}{_{3}\cancel{15}} \cdot \frac{^{1}\cancel{5}}{_{1}\cancel{7}} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} $

2. Теперь выполним сложение.

$ 1\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5+2}{3} = \frac{7}{3} $

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.

$ \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} $

Ответ: $ 2\frac{1}{3} $

566 a) $(1 - \frac{3}{4}) \cdot (\frac{4}{5} - \frac{3}{4})$;

б) $14 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$;

В) $\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}$.

а) $(1 - \frac{3}{4}) \cdot (\frac{4}{5} - \frac{3}{4})$

Решим данное выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в каждой из скобок, а затем перемножим полученные результаты.

1. Вычислим значение первого выражения в скобках:
$1 - \frac{3}{4}$
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 4: $1 = \frac{4}{4}$.
$\frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$.

2. Вычислим значение второго выражения в скобках:
$\frac{4}{5} - \frac{3}{4}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 4 равен 20.
$\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{16}{20} - \frac{15}{20} = \frac{16 - 15}{20} = \frac{1}{20}$.

3. Теперь перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:
$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 20} = \frac{1}{80}$.

Ответ: $\frac{1}{80}$.

б) $14 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$

Сначала выполним сложение дробей в скобках, а затем умножим полученную сумму на 14.

1. Найдем сумму дробей в скобках:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 4 это 12.
$\frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12}$.

2. Умножим 14 на полученную дробь:
$14 \cdot \frac{13}{12} = \frac{14}{1} \cdot \frac{13}{12} = \frac{14 \cdot 13}{1 \cdot 12} = \frac{182}{12}$.

3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{182 \div 2}{12 \div 2} = \frac{91}{6}$.

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$91 \div 6 = 15$ и $1$ в остатке. Таким образом, $\frac{91}{6} = 15\frac{1}{6}$.

Ответ: $15\frac{1}{6}$.

в) $\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}$

Согласно порядку действий, сначала выполняются операции умножения, а затем вычитание.

1. Выполним первое умножение. Можно предварительно сократить 6 и 3 на 3:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 7} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{2}{7}$.

2. Выполним второе умножение:
$\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 4} = \frac{3}{28}$.

3. Выполним вычитание результатов, полученных в пунктах 1 и 2:
$\frac{2}{7} - \frac{3}{28}$
Приведем дроби к общему знаменателю 28. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 4.
$\frac{2 \cdot 4}{7 \cdot 4} - \frac{3}{28} = \frac{8}{28} - \frac{3}{28} = \frac{8-3}{28} = \frac{5}{28}$.

Ответ: $\frac{5}{28}$.