Страница 169 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

607 Выполняя домашнюю работу, Толя заметил время, которое ушло на приготовление каждого урока: на работу с картой, на решение задачи, на заучивание стихотворения. Используя полученные данные, он составил две задачи. Решите их и попробуйте сами составить задачи, используя свои данные.

1) Задания по географии и по математике ученик выполнял $\frac{1}{4}$ ч, причём работа с картой заняла на $\frac{1}{20}$ ч меньше, чем решение задачи. Сколько времени потребовалось на каждое задание?

2) На работу с картой и заучивание стихотворения ученик затратил $\frac{2}{5}$ ч, причём времени на заучивание стихотворения ушло в 3 раза больше, чем на работу с картой. Сколько времени заняло каждое задание?

1)

Пусть $x$ ч — время, которое ушло на решение задачи. Согласно условию, работа с картой заняла на $\frac{1}{20}$ ч меньше, то есть $(x - \frac{1}{20})$ ч.

Общее время, затраченное на оба задания, составляет $\frac{1}{4}$ ч. Составим и решим уравнение:

$x + (x - \frac{1}{20}) = \frac{1}{4}$

$2x - \frac{1}{20} = \frac{1}{4}$

$2x = \frac{1}{4} + \frac{1}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20: $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$.

$2x = \frac{5}{20} + \frac{1}{20}$

$2x = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

$x = \frac{3}{10} \div 2 = \frac{3}{20}$ (ч)

Таким образом, на решение задачи ушло $\frac{3}{20}$ часа.

Теперь найдем время на работу с картой:

$x - \frac{1}{20} = \frac{3}{20} - \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ (ч)

Для наглядности можно перевести время в минуты (1 час = 60 минут):
Время на решение задачи: $\frac{3}{20} \times 60 = 9$ минут.
Время на работу с картой: $\frac{1}{10} \times 60 = 6$ минут.

Ответ: на решение задачи потребовалось $\frac{3}{20}$ ч (9 минут), а на работу с картой — $\frac{1}{10}$ ч (6 минут).

2)

Пусть $x$ ч — время, которое ушло на работу с картой. По условию, на заучивание стихотворения ушло в 3 раза больше времени, то есть $3x$ ч.

Общее время, затраченное на эти два задания, составляет $\frac{2}{5}$ ч. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = \frac{2}{5}$

$4x = \frac{2}{5}$

$x = \frac{2}{5} \div 4 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ (ч)

Итак, на работу с картой ушло $\frac{1}{10}$ часа.

Теперь найдем время на заучивание стихотворения:

$3x = 3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$ (ч)

Переведем время в минуты для проверки:
Время на работу с картой: $\frac{1}{10} \times 60 = 6$ минут.
Время на заучивание стихотворения: $\frac{3}{10} \times 60 = 18$ минут.
В сумме: $6 + 18 = 24$ минуты, что соответствует $\frac{2}{5}$ часа ($\frac{2}{5} \times 60 = 24$ мин).

Ответ: работа с картой заняла $\frac{1}{10}$ ч (6 минут), а заучивание стихотворения — $\frac{3}{10}$ ч (18 минут).

Пример составленной задачи и ее решение:

Условие: На решение задачи и заучивание стихотворения Толя потратил 48 минут. Сколько времени ушло на каждое задание, если на заучивание стихотворения потребовалось в 1,4 раза больше времени, чем на решение задачи?

Решение:

Пусть $x$ минут — время, потраченное на решение задачи. Тогда на заучивание стихотворения ушло $1.4x$ минут.

Составим уравнение, исходя из общего времени:

$x + 1.4x = 48$

$2.4x = 48$

$x = 48 \div 2.4$

$x = 480 \div 24$

$x = 20$ (минут)

Время на решение задачи составило 20 минут.

Найдем время на заучивание стихотворения:

$1.4 \times 20 = 28$ (минут)

Проверка: $20 + 28 = 48$ минут. Решение верное.

Ответ: решение задачи заняло 20 минут, а заучивание стихотворения — 28 минут.

608 От причала вниз по реке отплыл плот. Ниже по течению реки на расстоянии 17 км от первого причала находится второй. От него навстречу плоту через $\frac{2}{3}$ ч после отплытия плота отправляется теплоход. Через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом, если собственная скорость теплохода равна 25 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч?

Для решения задачи определим скорости объектов, расстояние между ними на момент старта теплохода и время, необходимое для встречи.

1. Найдем скорость плота и скорость теплохода относительно берега.

   Скорость плота равна скорости течения реки, так как плот движется вместе с потоком воды.

   $V_{плота} = V_{течения} = 3$ км/ч.

   Теплоход движется навстречу плоту, то есть против течения реки. Его скорость относительно берега будет равна разности его собственной скорости и скорости течения.

   $V_{теплохода} = V_{собственная} - V_{течения} = 25 - 3 = 22$ км/ч.

2. Найдем расстояние, которое проплыл плот до отправления теплохода.

   Теплоход отправился через $\frac{2}{3}$ часа после плота. За это время плот успел проплыть:

   $S_1 = V_{плота} \cdot t_1 = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$ км.

3. Определим расстояние между плотом и теплоходом в момент отправления теплохода.

   Изначальное расстояние между причалами было 17 км. К моменту старта теплохода плот уже проплыл 2 км, сократив расстояние.

   $S_2 = 17 - S_1 = 17 - 2 = 15$ км.

4. Найдем скорость сближения плота и теплохода.

   Так как они движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей.

   $V_{сближения} = V_{плота} + V_{теплохода} = 3 + 22 = 25$ км/ч.

5. Вычислим время, через которое они встретятся после выхода теплохода.

   Это время ($t_2$) равно расстоянию между ними в момент старта теплохода, деленному на скорость сближения.

   $t_2 = \frac{S_2}{V_{сближения}} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ ч.

6. Найдем общее время движения плота до встречи.

   Вопрос задачи — через какое время после своего отплытия плот встретится с теплоходом. Это время складывается из времени, которое плот плыл один ($t_1$), и времени, которое они плыли навстречу друг другу до встречи ($t_2$).

   $t_{общее} = t_1 + t_2 = \frac{2}{3} + \frac{3}{5}$

   Приведем дроби к общему знаменателю 15:

   $\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5}{15} + \frac{3 \cdot 3}{15} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{19}{15}$ ч.

   Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

   $\frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}$ ч.

Ответ: плот встретится с теплоходом через $1\frac{4}{15}$ часа после своего отплытия.

609 Расстояние между пунктами A и B равно 20 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Один шёл со скоростью $4\frac{1}{2}$ км/ч, другой — со скоростью $5\frac{1}{2}$ км/ч. Встретившись, туристы продолжали идти в своём направлении. Через какое время после начала движения расстояние между ними было равным 4 км? (Рассмотрите два случая.)

Для решения задачи сначала найдем скорость сближения туристов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорость сближения (а после встречи — скорость удаления) равна сумме их скоростей.

Скорость первого туриста: $v_1 = 4\frac{1}{2}$ км/ч.

Скорость второго туриста: $v_2 = 5\frac{1}{2}$ км/ч.

Общая скорость (скорость сближения/удаления):

$v_{общ} = v_1 + v_2 = 4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{2} = (4+5) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = 9 + 1 = 10$ км/ч.

Задача предполагает два возможных момента, когда расстояние между туристами будет равно 4 км.

Первый случай

Этот случай происходит до того, как туристы встретились. Изначальное расстояние между ними — 20 км. Чтобы расстояние стало 4 км, они должны вместе пройти путь, равный разнице начального и конечного расстояний.

$S_1 = 20 \text{ км} - 4 \text{ км} = 16 \text{ км}$.

Время, которое потребуется туристам, чтобы вместе пройти 16 км, находим по формуле $t = S/v$:

$t_1 = \frac{S_1}{v_{общ}} = \frac{16}{10} = 1.6$ часа.

Переведем десятичную дробь в часы и минуты для наглядности:

$1.6 \text{ ч} = 1 \text{ час} + 0.6 \text{ часа} = 1 \text{ час} + (0.6 \times 60) \text{ минут} = 1 \text{ час} 36 \text{ минут}$.

Ответ: через 1,6 часа (1 час 36 минут).

Второй случай

Этот случай происходит после того, как туристы встретились и продолжили движение в своих направлениях, удаляясь друг от друга. К моменту, когда расстояние между ними станет 4 км, они суммарно пройдут всё начальное расстояние (20 км) и ещё 4 км.

$S_2 = 20 \text{ км} + 4 \text{ км} = 24 \text{ км}$.

Время, которое потребуется, чтобы вместе пройти 24 км:

$t_2 = \frac{S_2}{v_{общ}} = \frac{24}{10} = 2.4$ часа.

Переведем десятичную дробь в часы и минуты:

$2.4 \text{ ч} = 2 \text{ часа} + 0.4 \text{ часа} = 2 \text{ часа} + (0.4 \times 60) \text{ минут} = 2 \text{ часа} 24 \text{ минуты}$.

Ответ: через 2,4 часа (2 часа 24 минуты).

610. Два курьера идут навстречу друг другу и в пути встречаются. Через $\frac{5}{12}$ ч после их встречи расстояние между ними стало равным $3\frac{3}{4}$ км. С какой скоростью движется первый курьер, если скорость второго $3\frac{1}{2}$ км/ч?

Для решения задачи сначала найдем общую скорость, с которой курьеры удаляются друг от друга после встречи. Эта скорость называется скоростью удаления и равна сумме их индивидуальных скоростей.

1. Найдем скорость удаления курьеров.
Скорость удаления ($v_{уд}$) можно найти, разделив расстояние, которое стало между ними ($S$), на время, прошедшее после встречи ($t$):
$v_{уд} = S \div t$
По условию, $S = 3\frac{3}{4}$ км, а $t = \frac{5}{12}$ ч.
Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$S = 3\frac{3}{4} = \frac{3 \times 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$ км.
Теперь вычислим скорость удаления:
$v_{уд} = \frac{15}{4} \div \frac{5}{12} = \frac{15}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{15 \times 12}{4 \times 5} = \frac{3 \times 5 \times 3 \times 4}{4 \times 5} = 3 \times 3 = 9$ км/ч.

2. Найдем скорость первого курьера.
Скорость удаления равна сумме скоростей первого ($v_1$) и второго ($v_2$) курьеров:
$v_{уд} = v_1 + v_2$
Отсюда скорость первого курьера равна разности скорости удаления и скорости второго курьера:
$v_1 = v_{уд} - v_2$
Скорость второго курьера по условию равна $v_2 = 3\frac{1}{2}$ км/ч.
Вычислим скорость первого курьера:
$v_1 = 9 - 3\frac{1}{2} = 8\frac{2}{2} - 3\frac{1}{2} = (8-3) + (\frac{2}{2} - \frac{1}{2}) = 5\frac{1}{2}$ км/ч.

Ответ: $5\frac{1}{2}$ км/ч.

611 Для проведения выставки собак была построена трибуна, передняя стенка которой изображена на рисунке 9.3. Эту стенку нужно покрасить. Сколько банок с краской надо купить, если известно, что одной банки хватает на покраску $1 \frac{1}{2}$ м$^2$?

9.3

$1 \frac{1}{2}$ м

$1$ м

$1$ м

$\frac{3}{4}$ м

1. Найдем общую площадь стенки, которую нужно покрасить.

Стенка состоит из прямоугольников двух видов: высоких и низких. Из рисунка видно, что у нас есть 5 высоких прямоугольников и 5 низких.

Размеры высокого прямоугольника: высота $1$ м, ширина $\frac{3}{4}$ м.
Площадь одного высокого прямоугольника: $S_1 = 1 \text{ м} \times \frac{3}{4} \text{ м} = \frac{3}{4} \text{ м}^2$.
Общая площадь всех высоких прямоугольников: $S_{высоких} = 5 \times \frac{3}{4} = \frac{15}{4} \text{ м}^2$.

Размеры низкого прямоугольника: высота $\frac{1}{2}$ м, ширина $1$ м.
Площадь одного низкого прямоугольника: $S_2 = \frac{1}{2} \text{ м} \times 1 \text{ м} = \frac{1}{2} \text{ м}^2$.
Общая площадь всех низких прямоугольников: $S_{низких} = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \text{ м}^2$.

Теперь найдем общую площадь всей стенки, сложив площади всех частей:
$S_{общая} = S_{высоких} + S_{низких} = \frac{15}{4} + \frac{5}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$S_{общая} = \frac{15}{4} + \frac{10}{4} = \frac{25}{4} \text{ м}^2$.
Переведем в смешанное число: $S_{общая} = 6\frac{1}{4} \text{ м}^2$.

2. Рассчитаем необходимое количество банок краски.

Известно, что одной банки краски хватает на $1\frac{1}{2} \text{ м}^2$. Переведем это значение в неправильную дробь:
$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \text{ м}^2$.

Чтобы найти количество банок, нужно общую площадь разделить на площадь, которую покрывает одна банка:
Количество банок = $S_{общая} \div (\text{Площадь покрытия одной банки}) = \frac{25}{4} \div \frac{3}{2}$.
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$\frac{25}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{25 \times 2}{4 \times 3} = \frac{50}{12} = \frac{25}{6}$.

Переведем результат в смешанное число:
$\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$ банок.

Так как нельзя купить часть банки, необходимое количество нужно округлить в большую сторону до целого числа. Округляем $4\frac{1}{6}$ до 5.
Ответ: 5 банок.