Страница 168 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

599 Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

a) $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$;

б) $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$;

в) $\frac{20}{9}$ и $\left(\frac{20}{9}\right)^2$.

а) Сравним выражения $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$.

Первое выражение — это умножение положительного числа $999$ на правильную дробь $\frac{3}{4}$. Так как $\frac{3}{4} < 1$, при умножении на такую дробь число уменьшается. Следовательно, $999 \cdot \frac{3}{4} < 999$.

Второе выражение — это деление положительного числа $999$ на правильную дробь $\frac{3}{4}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Обратная дробь для $\frac{3}{4}$ — это $\frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3} > 1$, при делении на $\frac{3}{4}$ (то есть умножении на $\frac{4}{3}$) число увеличивается. Следовательно, $999 : \frac{3}{4} > 999$.

Таким образом, первое выражение меньше $999$, а второе больше $999$. Значит, $999 \cdot \frac{3}{4} < 999 : \frac{3}{4}$.

Ответ: $999 \cdot \frac{3}{4} < 999 : \frac{3}{4}$.

б) Сравним выражения $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$.

В обоих выражениях мы выполняем действия с числом $\frac{5}{7}$ и смешанным числом $1\frac{1}{8}$.

Число $1\frac{1}{8}$ больше единицы ($1\frac{1}{8} > 1$).

При умножении положительного числа (в данном случае $\frac{5}{7}$) на число, которое больше единицы, результат будет больше исходного числа. То есть, $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7}$.

При делении положительного числа на число, которое больше единицы, результат будет меньше исходного числа. То есть, $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8} < \frac{5}{7}$.

Следовательно, значение первого выражения больше $\frac{5}{7}$, а второго — меньше $\frac{5}{7}$. Значит, $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$.

в) Сравним выражения $\frac{20}{9}$ и $(\frac{20}{9})^2$.

Нам нужно сравнить число и его квадрат.

Выражение $(\frac{20}{9})^2$ можно записать как $\frac{20}{9} \cdot \frac{20}{9}$.

Дробь $\frac{20}{9}$ является неправильной, так как ее числитель $20$ больше знаменателя $9$. Это означает, что $\frac{20}{9} > 1$.

При возведении в квадрат числа, которое больше единицы, результат всегда будет больше самого этого числа. Это происходит потому, что мы умножаем число, большее единицы, само на себя, тем самым увеличивая его.

Таким образом, $(\frac{20}{9})^2 > \frac{20}{9}$.

Ответ: $\frac{20}{9} < (\frac{20}{9})^2$.

600 Составьте все возможные частные из чисел $ \frac{5}{6} $, $ \frac{8}{9} $, $ \frac{11}{12} $. Найдите их значения.

Для того чтобы составить все возможные частные из чисел $ \frac{5}{6} $, $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{11}{12} $, необходимо каждое число разделить на каждое число из этого набора, включая деление числа на само себя. Частное — это результат деления. Правило деления дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

1. Частное чисел $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{5}{6} $

Деление любого ненулевого числа на само себя дает в результате 1.

$ \frac{5}{6} \div \frac{5}{6} = 1 $

Ответ: $1$

2. Частное чисел $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{8}{9} $

$ \frac{5}{6} \div \frac{8}{9} = \frac{5}{6} \times \frac{9}{8} = \frac{5 \times 9}{6 \times 8} = \frac{45}{48} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{45 \div 3}{48 \div 3} = \frac{15}{16} $

Ответ: $ \frac{15}{16} $

3. Частное чисел $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{11}{12} $

$ \frac{5}{6} \div \frac{11}{12} = \frac{5}{6} \times \frac{12}{11} = \frac{5 \times 12}{6 \times 11} $

Сократим 12 и 6 на 6:

$ \frac{5 \times 2}{1 \times 11} = \frac{10}{11} $

Ответ: $ \frac{10}{11} $

4. Частное чисел $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{5}{6} $

$ \frac{8}{9} \div \frac{5}{6} = \frac{8}{9} \times \frac{6}{5} = \frac{8 \times 6}{9 \times 5} $

Сократим 6 и 9 на 3:

$ \frac{8 \times 2}{3 \times 5} = \frac{16}{15} = 1\frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{16}{15} $

5. Частное чисел $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{8}{9} $

Деление числа на само себя дает 1.

$ \frac{8}{9} \div \frac{8}{9} = 1 $

Ответ: $1$

6. Частное чисел $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{11}{12} $

$ \frac{8}{9} \div \frac{11}{12} = \frac{8}{9} \times \frac{12}{11} = \frac{8 \times 12}{9 \times 11} $

Сократим 12 и 9 на 3:

$ \frac{8 \times 4}{3 \times 11} = \frac{32}{33} $

Ответ: $ \frac{32}{33} $

7. Частное чисел $ \frac{11}{12} $ и $ \frac{5}{6} $

$ \frac{11}{12} \div \frac{5}{6} = \frac{11}{12} \times \frac{6}{5} = \frac{11 \times 6}{12 \times 5} $

Сократим 6 и 12 на 6:

$ \frac{11 \times 1}{2 \times 5} = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} $

Ответ: $ \frac{11}{10} $

8. Частное чисел $ \frac{11}{12} $ и $ \frac{8}{9} $

$ \frac{11}{12} \div \frac{8}{9} = \frac{11}{12} \times \frac{9}{8} = \frac{11 \times 9}{12 \times 8} $

Сократим 9 и 12 на 3:

$ \frac{11 \times 3}{4 \times 8} = \frac{33}{32} = 1\frac{1}{32} $

Ответ: $ \frac{33}{32} $

9. Частное чисел $ \frac{11}{12} $ и $ \frac{11}{12} $

Деление числа на само себя дает 1.

$ \frac{11}{12} \div \frac{11}{12} = 1 $

Ответ: $1$

601 В детский сад привезли 36 кг яблок, груш — в полтора раза меньше, чем яблок, а слив — в полтора раза меньше, чем груш. Сколько всего килограммов фруктов привезли в детский сад?

Для того чтобы узнать, сколько всего килограммов фруктов привезли в детский сад, необходимо последовательно вычислить массу каждого вида фруктов, а затем сложить полученные значения.

1. Вычислим массу груш.

В условии сказано, что груш привезли в полтора раза меньше, чем яблок. "В полтора раза" означает в 1,5 раза. Масса яблок — 36 кг. Чтобы найти массу груш, нужно массу яблок разделить на 1,5.

$36 \div 1.5 = 24$ (кг)

Таким образом, в детский сад привезли 24 кг груш.

2. Вычислим массу слив.

Масса слив в полтора раза меньше массы груш. Мы уже знаем, что масса груш составляет 24 кг. Разделим массу груш на 1,5.

$24 \div 1.5 = 16$ (кг)

Следовательно, в детский сад привезли 16 кг слив.

3. Найдем общую массу всех фруктов.

Теперь сложим массу яблок, груш и слив, чтобы найти общее количество привезенных фруктов.

$36 + 24 + 16 = 60 + 16 = 76$ (кг)

Ответ: всего в детский сад привезли 76 килограммов фруктов.

602 Скорость электрички 50 км/ч. На своём маршруте она должна пройти три перегона длиной 12 км, 15 км и 18 км, сделав при этом две остановки по $ \frac{1}{20} $ ч. Сколько потребуется времени на весь маршрут?

Чтобы найти общее время, которое потребуется на весь маршрут, необходимо сложить время, затраченное электричкой на движение, и общее время всех остановок.

1. Найдем общее расстояние маршрута.

Маршрут состоит из трёх перегонов. Сложим их длины, чтобы найти общее расстояние S:

$S = 12 \text{ км} + 15 \text{ км} + 18 \text{ км} = 45 \text{ км}$.

2. Рассчитаем время, затраченное на движение.

Скорость электрички $v = 50 \text{ км/ч}$. Время в пути ($t_{движения}$) находится по формуле $t = \frac{S}{v}$:

$t_{движения} = \frac{45 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = \frac{45}{50} \text{ ч}$.

Сократим полученную дробь:

$t_{движения} = \frac{9}{10} \text{ ч}$.

3. Рассчитаем общее время остановок.

Электричка сделала две остановки, каждая продолжительностью $\frac{1}{20}$ часа. Найдем общее время остановок ($t_{остановок}$):

$t_{остановок} = 2 \times \frac{1}{20} \text{ ч} = \frac{2}{20} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.

4. Найдем общее время на весь маршрут.

Сложим время движения и время остановок:

$t_{общее} = t_{движения} + t_{остановок} = \frac{9}{10} \text{ ч} + \frac{1}{10} \text{ ч} = \frac{10}{10} \text{ ч} = 1 \text{ ч}$.

Ответ: на весь маршрут потребуется 1 час.

603 Расстояние от A до B равно 110 км. На путь из пункта A в пункт B автомобиль затратил $1\frac{2}{3}$ ч, а на обратный путь — на 10 мин больше. Определите скорость автомобиля в каждом направлении.

Скорость автомобиля из пункта А в пункт В

Для начала определим скорость автомобиля на пути из пункта А в пункт В. Нам известны расстояние и время в пути.
Расстояние (S) равно 110 км.
Время в пути ($t_1$) равно $1\frac{2}{3}$ часа.
Переведем время в неправильную дробь для удобства расчетов:
$t_1 = 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$ ч.
Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$.
Подставим наши значения:
$v_1 = \frac{110}{\frac{5}{3}} = 110 \cdot \frac{3}{5} = \frac{110 \cdot 3}{5} = 22 \cdot 3 = 66$ км/ч.
Ответ: 66 км/ч.

Скорость автомобиля из пункта В в пункт А

Теперь определим скорость на обратном пути. Расстояние осталось тем же (110 км), но время изменилось.
На обратный путь было затрачено на 10 минут больше. Сначала переведем 10 минут в часы:
$10$ мин $= \frac{10}{60}$ ч $= \frac{1}{6}$ ч.
Теперь найдем общее время на обратный путь ($t_2$), прибавив это значение ко времени пути из А в В:
$t_2 = t_1 + \frac{1}{6} = \frac{5}{3} + \frac{1}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$t_2 = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} + \frac{1}{6} = \frac{11}{6}$ ч.
Теперь вычислим скорость на обратном пути ($v_2$):
$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{110}{\frac{11}{6}} = 110 \cdot \frac{6}{11} = \frac{110 \cdot 6}{11} = 10 \cdot 6 = 60$ км/ч.
Ответ: 60 км/ч.

604 а) Расстояние между пунктами А и В равно 20 км. Из пункта А вышел турист со скоростью 4 км/ч. Из пункта В одновременно навстречу ему выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через какое время они встретятся?

б) Собственная скорость теплохода 30 км/ч, скорость течения реки $4\frac{1}{2}$ км/ч. За какое время теплоход преодолеет 23 км по течению реки?

в) Расстояние между причалами 27 км. Сколько времени затратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость лодки 12 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

а) Чтобы найти время, через которое турист и велосипедист встретятся, нужно сначала определить их общую скорость сближения. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$):
$v_{сбл} = v_{туриста} + v_{велосипедиста} = 4 \text{ км/ч} + 12 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная расстояние ($S$) и скорость сближения, найдем время ($t$) до встречи по формуле $t = S / v$ :
$t = \frac{20 \text{ км}}{16 \text{ км/ч}} = \frac{20}{16} \text{ ч} = \frac{5}{4} \text{ ч} = 1.25 \text{ часа}$

3. Переведем $0.25$ часа в минуты:
$0.25 \times 60 = 15$ минут.

Таким образом, они встретятся через 1 час 15 минут.

Ответ: через 1,25 часа (или 1 час 15 минут).

б) Чтобы найти время, которое потребуется теплоходу для преодоления расстояния по течению реки, сначала нужно вычислить его скорость по течению. Скорость по течению равна сумме собственной скорости теплохода и скорости течения реки.

1. Найдем скорость теплохода по течению ($v_{по \ теч.}$):
$v_{по \ теч.} = v_{собств.} + v_{течения} = 30 \text{ км/ч} + 4\frac{1}{2} \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч} + 4.5 \text{ км/ч} = 34.5 \text{ км/ч}$

2. Найдем время ($t$) в пути по формуле $t = S / v$ :
$t = \frac{23 \text{ км}}{34.5 \text{ км/ч}} = \frac{23}{69/2} \text{ ч} = \frac{23 \times 2}{69} \text{ ч} = \frac{46}{69} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ часа}$

3. Переведем $\frac{2}{3}$ часа в минуты:
$\frac{2}{3} \times 60 = 40$ минут.

Ответ: за $\frac{2}{3}$ часа (или 40 минут).

в) Общее время, которое моторная лодка затратит на путь туда и обратно, складывается из времени движения по течению и времени движения против течения.

1. Вычислим скорость и время движения лодки по течению реки.
Скорость по течению ($v_{по \ теч.}$): $12 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$
Время по течению ($t_1$): $t_1 = \frac{S}{v_{по \ теч.}} = \frac{27 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{9}{5} \text{ ч} = 1.8 \text{ часа}$

2. Вычислим скорость и время движения лодки против течения реки.
Скорость против течения ($v_{против \ теч.}$): $12 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$
Время против течения ($t_2$): $t_2 = \frac{S}{v_{против \ теч.}} = \frac{27 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$

3. Найдем общее время в пути ($T_{общ}$), сложив время движения туда и обратно:
$T_{общ} = t_1 + t_2 = 1.8 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 4.8 \text{ часа}$

4. Переведем $0.8$ часа в минуты:
$0.8 \times 60 = 48$ минут.

Таким образом, общее время составит 4 часа 48 минут.

Ответ: 4,8 часа (или 4 часа 48 минут).

605 В двух корзинах 32 кг яблок, причём в одной из них яблок в 4 раза меньше, чем в другой. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

Для решения этой задачи можно использовать уравнение. Пусть $x$ — это масса яблок в той корзине, где их меньше.

Согласно условию, в другой корзине яблок в 4 раза больше. Следовательно, масса яблок во второй корзине будет равна $4x$.

Суммарная масса яблок в двух корзинах составляет 32 кг. Мы можем составить уравнение, сложив массу яблок в обеих корзинах:

$x + 4x = 32$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть:

$5x = 32$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = 32 \div 5$

$x = 6.4$

Таким образом, в меньшей корзине находится 6,4 кг яблок.

Теперь найдем массу яблок в большей корзине, умножив массу в меньшей на 4:

$4x = 4 \cdot 6.4 = 25.6$

Итак, во второй корзине 25,6 кг яблок.

Проверим: $6.4 \text{ кг} + 25.6 \text{ кг} = 32 \text{ кг}$.

Ответ: в одной корзине 6,4 кг яблок, а в другой — 25,6 кг яблок.

606 Повесть из 270 страниц решили напечатать в трёх номерах журнала, причём во второй номер поместили часть повести, в $1\frac{1}{2}$ раза большую, чем

в первый номер, а в третий — в 2 раза большую, чем в первый. Сколько

страниц повести было напечатано в каждом номере журнала?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество страниц, которое было напечатано в первом номере журнала.

Из условия задачи известно, что во второй номер поместили часть повести, в $1\frac{1}{2}$ раза большую, чем в первый. Это означает, что количество страниц во втором номере равно $1\frac{1}{2} \cdot x$ или $1.5x$.

В третий номер поместили часть, в 2 раза большую, чем в первый. Значит, количество страниц в третьем номере составляет $2 \cdot x$.

Сумма страниц во всех трех номерах равна общему объему повести, то есть 270 страницам. Можем составить уравнение:

$x + 1.5x + 2x = 270$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все коэффициенты при $x$:

$(1 + 1.5 + 2)x = 270$

$4.5x = 270$

Чтобы найти $x$, разделим 270 на 4.5:

$x = \frac{270}{4.5} = \frac{2700}{45} = 60$

Итак, в первом номере журнала было напечатано 60 страниц.

Теперь найдем количество страниц для второго и третьего номеров:

• Количество страниц во втором номере: $1.5 \cdot x = 1.5 \cdot 60 = 90$ страниц.
• Количество страниц в третьем номере: $2 \cdot x = 2 \cdot 60 = 120$ страниц.

Проверим полученные результаты, сложив количество страниц во всех номерах: $60 + 90 + 120 = 270$. Сумма совпадает с общим объемом повести, значит, задача решена верно.

Ответ: в первом номере было напечатано 60 страниц, во втором — 90 страниц, в третьем — 120 страниц.