Номер 599, страница 168 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

599 Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

a) $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$;

б) $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$;

в) $\frac{20}{9}$ и $\left(\frac{20}{9}\right)^2$.

а) Сравним выражения $999 \cdot \frac{3}{4}$ и $999 : \frac{3}{4}$.

Первое выражение — это умножение положительного числа $999$ на правильную дробь $\frac{3}{4}$. Так как $\frac{3}{4} < 1$, при умножении на такую дробь число уменьшается. Следовательно, $999 \cdot \frac{3}{4} < 999$.

Второе выражение — это деление положительного числа $999$ на правильную дробь $\frac{3}{4}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Обратная дробь для $\frac{3}{4}$ — это $\frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3} > 1$, при делении на $\frac{3}{4}$ (то есть умножении на $\frac{4}{3}$) число увеличивается. Следовательно, $999 : \frac{3}{4} > 999$.

Таким образом, первое выражение меньше $999$, а второе больше $999$. Значит, $999 \cdot \frac{3}{4} < 999 : \frac{3}{4}$.

Ответ: $999 \cdot \frac{3}{4} < 999 : \frac{3}{4}$.

б) Сравним выражения $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$.

В обоих выражениях мы выполняем действия с числом $\frac{5}{7}$ и смешанным числом $1\frac{1}{8}$.

Число $1\frac{1}{8}$ больше единицы ($1\frac{1}{8} > 1$).

При умножении положительного числа (в данном случае $\frac{5}{7}$) на число, которое больше единицы, результат будет больше исходного числа. То есть, $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7}$.

При делении положительного числа на число, которое больше единицы, результат будет меньше исходного числа. То есть, $\frac{5}{7} : 1\frac{1}{8} < \frac{5}{7}$.

Следовательно, значение первого выражения больше $\frac{5}{7}$, а второго — меньше $\frac{5}{7}$. Значит, $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{7} \cdot 1\frac{1}{8} > \frac{5}{7} : 1\frac{1}{8}$.

в) Сравним выражения $\frac{20}{9}$ и $(\frac{20}{9})^2$.

Нам нужно сравнить число и его квадрат.

Выражение $(\frac{20}{9})^2$ можно записать как $\frac{20}{9} \cdot \frac{20}{9}$.

Дробь $\frac{20}{9}$ является неправильной, так как ее числитель $20$ больше знаменателя $9$. Это означает, что $\frac{20}{9} > 1$.

При возведении в квадрат числа, которое больше единицы, результат всегда будет больше самого этого числа. Это происходит потому, что мы умножаем число, большее единицы, само на себя, тем самым увеличивая его.

Таким образом, $(\frac{20}{9})^2 > \frac{20}{9}$.

Ответ: $\frac{20}{9} < (\frac{20}{9})^2$.