Страница 173 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

616 а) На пути от дома к озеру Фёдор встретил друга. Они вместе прошли оставшиеся 300 м, что составило $\frac{2}{5}$ расстояния от дома Фёдора до озера. На каком расстоянии от дома Фёдора находится озеро?

б) До обеда продали 900 кг арбузов, что составило $\frac{8}{15}$ всех привезённых для продажи арбузов. Сколько килограммов арбузов привезли для продажи?

а)

В данной задаче требуется найти целое (общее расстояние) по его известной части. Из условия мы знаем, что оставшиеся 300 м пути составляют $ \frac{2}{5} $ всего расстояния от дома до озера.

Обозначим всё расстояние буквой $ S $. Тогда можно составить следующее соотношение:

$ \frac{2}{5} \cdot S = 300 $ м

Чтобы найти полное расстояние $ S $, необходимо известную часть (300 м) разделить на дробь, которую она представляет ($ \frac{2}{5} $). Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ S = 300 \div \frac{2}{5} = 300 \cdot \frac{5}{2} = \frac{1500}{2} = 750 $ м

Ответ: 750 м.

б)

Эта задача также является задачей на нахождение целого по его части. Известно, что 900 кг проданных арбузов — это $ \frac{8}{15} $ от общей массы всех привезённых арбузов.

Пусть $ M $ — общая масса всех привезённых арбузов. Тогда условие можно записать в виде уравнения:

$ \frac{8}{15} \cdot M = 900 $ кг

Для нахождения общей массы $ M $ разделим известную массу (900 кг) на соответствующую ей долю ($ \frac{8}{15} $):

$ M = 900 \div \frac{8}{15} = 900 \cdot \frac{15}{8} $

Выполним вычисления:

$ M = \frac{900 \cdot 15}{8} = \frac{13500}{8} = 1687,5 $ кг

Ответ: 1687,5 кг.

617 а) Сборник фантастики состоит из двух повестей. Первая занимает 35 страниц, а вторая – $\frac{2}{7}$ книги. Сколько всего страниц в сборнике?

б) Автомобиль едет из Старицы в Тверь. Проехав 36 км, автомобиль сделал остановку, и после этого ему осталось проехать $\frac{2}{5}$ всего пути. Чему равна длина всего пути от Старицы до Твери?

а)

Пусть $x$ — это общее количество страниц в сборнике. Сборник состоит из двух повестей. Первая повесть занимает 35 страниц, а вторая — $\frac{2}{7}$ от всего сборника, то есть $\frac{2}{7}x$ страниц.

Таким образом, первая повесть занимает оставшуюся часть книги. Чтобы найти эту часть, вычтем из целого (1) часть, которую занимает вторая повесть: $1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

Итак, 35 страниц первой повести составляют $\frac{5}{7}$ всей книги. Чтобы найти общее количество страниц в книге (целое), нужно разделить число страниц (часть) на соответствующую ему дробь: $x = 35 \div \frac{5}{7} = 35 \times \frac{7}{5} = \frac{35 \times 7}{5} = 7 \times 7 = 49$ страниц.

Ответ: 49 страниц.

б)

Пусть $S$ — это вся длина пути от Старицы до Твери. Автомобиль проехал 36 км. После этого ему осталось проехать $\frac{2}{5}$ всего пути.

Значит, пройденная часть пути составляет: $1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

Мы знаем, что эти $\frac{3}{5}$ пути равны 36 км. Чтобы найти длину всего пути (целое), нужно разделить известное расстояние (часть) на соответствующую ему дробь: $S = 36 \div \frac{3}{5} = 36 \times \frac{5}{3} = \frac{36 \times 5}{3} = 12 \times 5 = 60$ км.

Ответ: 60 км.

618 а) Тане на приобретение школьных принадлежностей дали 1000 р. На тетради она истратила $ \frac{1}{5} $ этой суммы, а на учебники $ \frac{3}{4} $ остатка. Сколько рублей осталось?

б) Туристы за три дня прошли 48 км. В первый день они прошли $ \frac{1}{4} $ всего расстояния, а во второй день $ \frac{5}{9} $ остатка. Сколько километров они прошли в третий день?

а)

1. Сначала найдем, сколько денег Таня потратила на тетради. Для этого умножим общую сумму на долю, потраченную на тетради:

$1000 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1000}{5} = 200$ рублей.

2. Теперь вычислим, сколько денег осталось после покупки тетрадей:

$1000 - 200 = 800$ рублей.

3. Далее найдем, сколько денег было потрачено на учебники. Эта сумма составляет $\frac{3}{4}$ от остатка:

$800 \cdot \frac{3}{4} = \frac{800 \cdot 3}{4} = 200 \cdot 3 = 600$ рублей.

4. Наконец, определим, сколько денег осталось у Тани после всех покупок. Для этого вычтем стоимость учебников из остатка после покупки тетрадей:

$800 - 600 = 200$ рублей.

Ответ: 200 рублей.

б)

1. Сначала найдем расстояние, которое туристы прошли в первый день. Оно составляет $\frac{1}{4}$ от всего расстояния:

$48 \cdot \frac{1}{4} = \frac{48}{4} = 12$ км.

2. Теперь вычислим оставшееся расстояние после первого дня:

$48 - 12 = 36$ км.

3. Далее найдем расстояние, которое туристы прошли во второй день. Оно составляет $\frac{5}{9}$ от остатка:

$36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{36 \cdot 5}{9} = 4 \cdot 5 = 20$ км.

4. Чтобы найти расстояние, пройденное в третий день, нужно из расстояния, оставшегося после первого дня, вычесть расстояние, пройденное во второй день:

$36 - 20 = 16$ км.

Ответ: 16 километров.

619 При подготовке к диктанту по английскому языку Оля выучила $1/4$ всех слов, заданных учителем. Если бы она выучила ещё 4 слова, то была бы выучена $1/3$ всех слов. Сколько всего слов надо было выучить Оле?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это общее количество слов, которые нужно было выучить Оле.

По условию, Оля выучила четверть всех слов, что можно записать как $\frac{1}{4}x$.

Если бы она выучила ещё 4 слова, то количество выученных слов стало бы равным $\frac{1}{4}x + 4$.

Это новое количество слов, согласно условию, составило бы треть от общего числа слов, то есть $\frac{1}{3}x$.

Теперь мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:

$\frac{1}{4}x + 4 = \frac{1}{3}x$

Для решения уравнения перенесём все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону:

$4 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x$

Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю, который равен 12:

$4 = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}x - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}x$

$4 = \frac{4}{12}x - \frac{3}{12}x$

$4 = \frac{1}{12}x$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 12:

$x = 4 \cdot 12$

$x = 48$

Следовательно, всего Оле надо было выучить 48 слов.

Проверка:

1. Оля выучила четверть от 48 слов: $\frac{1}{4} \cdot 48 = 12$ слов.

2. Если бы она выучила ещё 4 слова: $12 + 4 = 16$ слов.

3. Треть от общего числа слов: $\frac{1}{3} \cdot 48 = 16$ слов.

Поскольку $16 = 16$, решение верное.

Ответ: 48 слов.

620 Перед началом футбольного матча продавец продал $ \frac{1}{2} $ пирожков, а в перерыве — ещё 15 штук. После этого у него осталось $ \frac{2}{7} $ того количества пирожков, которые он принёс для продажи. Сколько пирожков было у него вначале?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество пирожков, которое было у продавца изначально.

Согласно условию, до начала матча продавец продал $\frac{1}{2}$ всех пирожков, то есть $\frac{1}{2}x$.

В перерыве он продал еще 15 штук.

Всего было продано: $(\frac{1}{2}x + 15)$ пирожков.

После этого у него осталось $\frac{2}{7}$ от первоначального количества, то есть $\frac{2}{7}x$ пирожков.

Первоначальное количество пирожков равно сумме проданных пирожков и оставшихся. Составим уравнение:

$x = (\frac{1}{2}x + 15) + \frac{2}{7}x$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$x - \frac{1}{2}x - \frac{2}{7}x = 15$

Приведем дроби к общему знаменателю 14:

$\frac{14}{14}x - \frac{7}{14}x - \frac{4}{14}x = 15$

Выполним вычитание в левой части:

$\frac{14 - 7 - 4}{14}x = 15$

$\frac{3}{14}x = 15$

Теперь найдем $x$:

$x = 15 \div \frac{3}{14}$

$x = 15 \cdot \frac{14}{3}$

$x = \frac{15 \cdot 14}{3} = 5 \cdot 14 = 70$

Таким образом, изначально у продавца было 70 пирожков.

Проверка:
1. Изначально было 70 пирожков.
2. Продано до матча: $\frac{1}{2} \cdot 70 = 35$ пирожков.
3. Продано в перерыве: 15 пирожков.
4. Осталось пирожков: $70 - 35 - 15 = 20$ пирожков.
5. Проверим, составляет ли остаток $\frac{2}{7}$ от начального количества: $\frac{2}{7} \cdot 70 = 2 \cdot 10 = 20$.
Результаты совпадают, значит, задача решена верно.

Ответ: 70 пирожков.

621 Туристы прошли свой маршрут за два дня. В первый день они прошли $\frac{3}{10}$ маршрута и ещё $4\frac{1}{2}$ км, во второй день – $\frac{3}{5}$ маршрута и оставшиеся $2\frac{1}{2}$ км. Какова длина маршрута?

Пусть $x$ км — это общая длина маршрута. Весь маршрут равен сумме расстояний, пройденных за два дня.

В первый день туристы прошли $\frac{3}{10}$ маршрута и еще $4\frac{1}{2}$ км. Это расстояние можно выразить как $(\frac{3}{10}x + 4\frac{1}{2})$ км.

Во второй день они прошли $\frac{3}{5}$ маршрута и оставшиеся $2\frac{1}{2}$ км. Это расстояние составляет $(\frac{3}{5}x + 2\frac{1}{2})$ км.

Составим уравнение, приравняв общую длину маршрута к сумме расстояний, пройденных за два дня:
$x = (\frac{3}{10}x + 4\frac{1}{2}) + (\frac{3}{5}x + 2\frac{1}{2})$

Теперь решим это уравнение. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:
$x = (\frac{3}{10}x + \frac{3}{5}x) + (4\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2})$

Выполним сложение в каждой группе. Сначала сложим смешанные числа:
$4\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2} = 6 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 6 + 1 = 7$

Теперь сложим слагаемые с переменной $x$, приведя дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{3}{10}x + \frac{3}{5}x = \frac{3}{10}x + \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}x = \frac{3}{10}x + \frac{6}{10}x = \frac{9}{10}x$

Подставим полученные значения обратно в уравнение:
$x = \frac{9}{10}x + 7$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть уравнения, чтобы найти его значение:
$x - \frac{9}{10}x = 7$
$\frac{10}{10}x - \frac{9}{10}x = 7$
$\frac{1}{10}x = 7$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 10:
$x = 7 \cdot 10$
$x = 70$

Таким образом, общая длина маршрута составляет 70 км.

Ответ: 70 км.