Страница 178 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

622 Рассмотрите десятичную дробь $394,015328$.

1) Какие разряды содержатся в этой записи? Назовите старший и младший разряды.

2) Какая цифра записана в разряде десятых; в разряде десятков; в разряде тысячных?

3) В каком разряде записана цифра 8; цифра 2?

4) В каких разрядах содержится одинаковое число единиц?

1) Какие разряды содержатся в этой записи? Назовите старший и младший разряды.
В записи десятичной дроби 394,015328 содержатся разряды целой и дробной частей. Перечислим их от старшего к младшему: разряд сотен (цифра 3), разряд десятков (цифра 9), разряд единиц (цифра 4), разряд десятых (цифра 0), разряд сотых (цифра 1), разряд тысячных (цифра 5), разряд десятитысячных (цифра 3), разряд стотысячных (цифра 2) и разряд миллионных (цифра 8).
Старший разряд — это разряд, соответствующий самой левой цифре числа. В данном числе это разряд сотен.
Младший разряд — это разряд, соответствующий самой правой цифре числа. В данном числе это разряд миллионных.
Ответ: В записи содержатся разряды от сотен до миллионных. Старший разряд — сотни, младший разряд — миллионные.

2) Какая цифра записана в разряде десятых; в разряде десятков; в разряде тысячных?
Для ответа на этот вопрос посмотрим на соответствующие позиции в числе 394,015328:
- В разряде десятых (первая цифра после запятой) записана цифра 0.
- В разряде десятков (вторая цифра перед запятой) записана цифра 9.
- В разряде тысячных (третья цифра после запятой) записана цифра 5.
Ответ: В разряде десятых — 0; в разряде десятков — 9; в разряде тысячных — 5.

3) В каком разряде записана цифра 8; цифра 2?
Найдем позиции цифр 8 и 2 в числе 394,015328:
- Цифра 8 является шестой цифрой после запятой. Этот разряд называется разрядом миллионных.
- Цифра 2 является пятой цифрой после запятой. Этот разряд называется разрядом стотысячных.
Ответ: Цифра 8 записана в разряде миллионных; цифра 2 — в разряде стотысячных.

4) В каких разрядах содержится одинаковое число единиц?
Чтобы найти разряды, содержащие "одинаковое число единиц", необходимо найти повторяющиеся цифры в записи числа 394,015328. В этом числе повторяется цифра 3.
Первый раз цифра 3 находится в целой части числа, в разряде сотен.
Второй раз цифра 3 находится в дробной части числа, на четвертой позиции после запятой, что соответствует разряду десятитысячных.
Следовательно, в разряде сотен и в разряде десятитысячных записана одна и та же цифра.
Ответ: В разряде сотен и в разряде десятитысячных.

623 Прочитайте десятичные дроби:

а) 0,3; 0,002; 0,0005;

б) 2,5; 0,43; 5,321;

в) 0,075; 3,406;

г) 9,001; 1,8025;

д) 11,008; 0,0055;

е) 10,003; 1,01002.

а)

$0,3$ — ноль целых, три десятых;
$0,002$ — ноль целых, две тысячных;
$0,0005$ — ноль целых, пять десятитысячных.

Ответ: ноль целых, три десятых; ноль целых, две тысячных; ноль целых, пять десятитысячных.

б)

$2,5$ — две целых, пять десятых;
$0,43$ — ноль целых, сорок три сотых;
$5,321$ — пять целых, триста двадцать одна тысячная.

Ответ: две целых, пять десятых; ноль целых, сорок три сотых; пять целых, триста двадцать одна тысячная.

в)

$0,075$ — ноль целых, семьдесят пять тысячных;
$3,406$ — три целых, четыреста шесть тысячных.

Ответ: ноль целых, семьдесят пять тысячных; три целых, четыреста шесть тысячных.

г)

$9,001$ — девять целых, одна тысячная;
$1,8025$ — одна целая, восемь тысяч двадцать пять десятитысячных.

Ответ: девять целых, одна тысячная; одна целая, восемь тысяч двадцать пять десятитысячных.

д)

$11,008$ — одиннадцать целых, восемь тысячных;
$0,0055$ — ноль целых, пятьдесят пять десятитысячных.

Ответ: одиннадцать целых, восемь тысячных; ноль целых, пятьдесят пять десятитысячных.

е)

$10,003$ — десять целых, три тысячных;
$1,01002$ — одна целая, одна тысяча две стотысячных.

Ответ: десять целых, три тысячных; одна целая, одна тысяча две стотысячных.

624 Запишите десятичную дробь:

а) нуль целых девять десятых; $0.9$

б) четыре целых девять сотых. $4.09$

а) нуль целых девять десятых;

Десятичная дробь состоит из целой части и дробной части, разделенных запятой.
Целая часть в данном случае – "нуль", что записывается как цифра 0.
Дробная часть – "девять десятых". Это означает, что первая цифра после запятой (разряд десятых) равна 9.
Соединив целую и дробную части, получаем: $0,9$.

Ответ: $0,9$

б) четыре целых девять сотых.

Целая часть числа – "четыре", что записывается как цифра 4.
Дробная часть – "девять сотых". Это означает, что в дробной части должно быть два знака после запятой (так как речь идет о сотых долях). Разряд десятых (первый после запятой) в данном случае равен 0, а разряд сотых (второй после запятой) равен 9.
Соединив целую и дробную части, получаем: $4,09$.

Ответ: $4,09$

625 а) В числе 63105 сначала отделите запятой одну цифру справа, а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру влево до тех пор, пока справа от запятой не окажутся все цифры этого числа. Прочитайте каждую получившуюся десятичную дробь.

б) В числе 1904253 сначала отделите запятой одну цифру слева, а затем последовательно сдвигайте запятую на одну цифру вправо до тех пор, пока после запятой не останется только одна цифра. Прочитайте каждую получившуюся десятичную дробь.

а)

В соответствии с заданием, выполним операции с числом $63105$.

1. Сначала отделим запятой одну цифру справа. Получим десятичную дробь:

$6310,5$ — эта дробь читается как «шесть тысяч триста десять целых пять десятых».

2. Затем будем последовательно сдвигать запятую на одну цифру влево до тех пор, пока справа от запятой не окажутся все цифры этого числа.

Первый сдвиг влево:

$631,05$ — «шестьсот тридцать одна целая пять сотых».

Второй сдвиг влево:

$63,105$ — «шестьдесят три целых сто пять тысячных».

Третий сдвиг влево:

$6,3105$ — «шесть целых три тысячи сто пять десятитысячных».

Четвертый сдвиг влево:

$0,63105$ — «ноль целых шестьдесят три тысячи сто пять стотысячных».

На этом шаге все цифры исходного числа оказались справа от запятой, поэтому мы останавливаемся.

Ответ: $6310,5$; $631,05$; $63,105$; $6,3105$; $0,63105$.

б)

Выполним операции с числом $1904253$.

1. Сначала отделим запятой одну цифру слева. Получим десятичную дробь:

$1,904253$ — эта дробь читается как «одна целая девятьсот четыре тысячи двести пятьдесят три миллионных».

2. Затем будем последовательно сдвигать запятую на одну цифру вправо до тех пор, пока после запятой не останется только одна цифра.

Первый сдвиг вправо:

$19,04253$ — «девятнадцать целых четыре тысячи двести пятьдесят три стотысячных».

Второй сдвиг вправо:

$190,4253$ — «сто девяносто целых четыре тысячи двести пятьдесят три десятитысячных».

Третий сдвиг вправо:

$1904,253$ — «одна тысяча девятьсот четыре целых двести пятьдесят три тысячных».

Четвертый сдвиг вправо:

$19042,53$ — «девятнадцать тысяч сорок две целых пятьдесят три сотых».

Пятый сдвиг вправо:

$190425,3$ — «сто девяносто тысяч четыреста двадцать пять целых три десятых».

На этом шаге после запятой осталась одна цифра, поэтому мы останавливаемся.

Ответ: $1,904253$; $19,04253$; $190,4253$; $1904,253$; $19042,53$; $190425,3$.

626 Прочитайте десятичную дробь и запишите её в виде обыкновенной дроби или смешанной дроби:

а) $0,5$;

б) $0,543$;

в) $0,09$;

г) $0,062$;

д) $20,02$;

е) $80,008$;

ж) $3,0107$;

з) $30,03003$.

а) Десятичная дробь 0,5 читается как «ноль целых, пять десятых». Чтобы записать её в виде обыкновенной дроби, мы записываем число после запятой (5) в числитель, а в знаменатель ставим 10, так как после запятой одна цифра. Получаем дробь $ \frac{5}{10} $. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5: $ \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $. Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Десятичная дробь 0,543 читается как «ноль целых, пятьсот сорок три тысячных». В числитель записываем число 543, а в знаменатель — 1000, так как после запятой три цифры. Получаем дробь $ \frac{543}{1000} $. Эта дробь является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1. Ответ: $ \frac{543}{1000} $

в) Десятичная дробь 0,09 читается как «ноль целых, девять сотых». В числитель записываем число 9, а в знаменатель — 100, так как после запятой две цифры. Получаем дробь $ \frac{9}{100} $. Эта дробь является несократимой. Ответ: $ \frac{9}{100} $

г) Десятичная дробь 0,062 читается как «ноль целых, шестьдесят две тысячных». В числитель записываем число 62, а в знаменатель — 1000, так как после запятой три цифры. Получаем дробь $ \frac{62}{1000} $. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $ \frac{62 \div 2}{1000 \div 2} = \frac{31}{500} $. Ответ: $ \frac{31}{500} $

д) Десятичная дробь 20,02 читается как «двадцать целых, две сотых». Целая часть равна 20. Дробную часть 0,02 записываем в виде обыкновенной дроби $ \frac{2}{100} $. Сокращаем дробную часть: $ \frac{2 \div 2}{100 \div 2} = \frac{1}{50} $. В результате получаем смешанную дробь. Ответ: $ 20\frac{1}{50} $

е) Десятичная дробь 80,008 читается как «восемьдесят целых, восемь тысячных». Целая часть равна 80. Дробную часть 0,008 записываем в виде обыкновенной дроби $ \frac{8}{1000} $. Сокращаем дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 8: $ \frac{8 \div 8}{1000 \div 8} = \frac{1}{125} $. В результате получаем смешанную дробь. Ответ: $ 80\frac{1}{125} $

ж) Десятичная дробь 3,0107 читается как «три целых, сто семь десятитысячных». Целая часть равна 3. Дробную часть 0,0107 записываем в виде обыкновенной дроби $ \frac{107}{10000} $, так как после запятой четыре цифры. Число 107 является простым, поэтому эта дробь несократима. Ответ: $ 3\frac{107}{10000} $

з) Десятичная дробь 30,03003 читается как «тридцать целых, три тысячи три стотысячных». Целая часть равна 30. Дробную часть 0,03003 записываем в виде обыкновенной дроби $ \frac{3003}{100000} $, так как после запятой пять цифр. Эта дробь является несократимой, так как числитель 3003 (3 × 7 × 11 × 13) и знаменатель 100000 ($10^5$) не имеют общих делителей. Ответ: $ 30\frac{3003}{100000} $

627 Запишите в виде десятичных дробей и прочитайте их:

а) $\frac{4}{10}, \frac{27}{100}, \frac{1}{100}, \frac{221}{1000}, \frac{31}{1000}, \frac{7}{1000}.$

б) $\frac{21}{10}, \frac{152}{10}, \frac{627}{100}, \frac{27}{100}, \frac{1234}{1000}, \frac{19}{1000};$

в) $12\frac{3}{10}, 7\frac{14}{100}, 1\frac{8}{100}, 3\frac{35}{1000}, 11\frac{11}{1000}.$

г) $1\frac{23}{100}, 4\frac{53}{1000}, 8\frac{7}{1000}, 2\frac{5}{100}, 10\frac{121}{10000}.$

а) Чтобы записать обыкновенную дробь в виде десятичной, у которой знаменатель — это 10, 100, 1000 и т.д., нужно записать числитель и отделить запятой справа столько цифр, сколько нулей в знаменателе. Если в числителе меньше цифр, чем нулей в знаменателе, слева перед числителем дописывают недостающее количество нулей.
$\frac{4}{10} = 0,4$ (ноль целых четыре десятых);
$\frac{27}{100} = 0,27$ (ноль целых двадцать семь сотых);
$\frac{1}{100} = 0,01$ (ноль целых одна сотая);
$\frac{221}{1000} = 0,221$ (ноль целых двести двадцать одна тысячная);
$\frac{31}{1000} = 0,031$ (ноль целых тридцать одна тысячная);
$\frac{7}{1000} = 0,007$ (ноль целых семь тысячных).
Ответ: 0,4; 0,27; 0,01; 0,221; 0,031; 0,007.

б) Если обыкновенная дробь неправильная (числитель больше или равен знаменателю), то при переводе в десятичную дробь ее целая часть будет отлична от нуля.
$\frac{21}{10} = 2,1$ (две целых одна десятая);
$\frac{152}{10} = 15,2$ (пятнадцать целых две десятых);
$\frac{627}{100} = 6,27$ (шесть целых двадцать семь сотых);
$\frac{27}{100} = 0,27$ (ноль целых двадцать семь сотых);
$\frac{1234}{1000} = 1,234$ (одна целая двести тридцать четыре тысячных);
$\frac{19}{1000} = 0,019$ (ноль целых девятнадцать тысячных).
Ответ: 2,1; 15,2; 6,27; 0,27; 1,234; 0,019.

в) Чтобы записать смешанное число в виде десятичной дроби, нужно целую часть оставить без изменения, поставить после нее запятую и записать дробную часть в виде десятичной дроби, используя правило из пункта а).
$12\frac{3}{10} = 12,3$ (двенадцать целых три десятых);
$7\frac{14}{100} = 7,14$ (семь целых четырнадцать сотых);
$1\frac{8}{100} = 1,08$ (одна целая восемь сотых);
$3\frac{35}{1000} = 3,035$ (три целых тридцать пять тысячных);
$11\frac{11}{1000} = 11,011$ (одиннадцать целых одиннадцать тысячных).
Ответ: 12,3; 7,14; 1,08; 3,035; 11,011.

г) Применяем те же правила, что и в предыдущих пунктах.
$1\frac{23}{100} = 1,23$ (одна целая двадцать три сотых);
$4\frac{53}{1000} = 4,053$ (четыре целых пятьдесят три тысячных);
$8\frac{7}{1000} = 8,007$ (восемь целых семь тысячных);
$2\frac{5}{100} = 2,05$ (две целых пять сотых);
$10\frac{121}{10000} = 10,0121$ (десять целых сто двадцать одна десятитысячная).
Ответ: 1,23; 4,053; 8,007; 2,05; 10,0121.

628 Запишите сумму в виде десятичной дроби:

а) $3 + \frac{4}{10} + \frac{7}{100};$

б) $30 + \frac{4}{10};$

в) $20 + \frac{3}{10} + \frac{1}{1000};$

г) $\frac{5}{10} + \frac{5}{100} + \frac{5}{1000};$

д) $\frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{10000};$

е) $\frac{6}{100} + \frac{6}{1000} + \frac{6}{100000}.$

Подсказка. Чтобы подметить закономерность, запишем сначала сумму в виде смешанной дроби: $1 + \frac{2}{10} + \frac{3}{100} = 1 + \frac{20}{100} + \frac{3}{100} = 1 + \frac{23}{100} = 1\frac{23}{100}.$

А теперь можно записать полученный результат в виде десятичной дроби: 1,23.

а) В выражении $3 + \frac{4}{10} + \frac{7}{100}$ число 3 является целой частью. Дробь $\frac{4}{10}$ соответствует цифре 4 в разряде десятых, а дробь $\frac{7}{100}$ — цифре 7 в разряде сотых. Объединяя эти части, мы получаем десятичную дробь.
$3 + 0,4 + 0,07 = 3,47$.
Ответ: 3,47

б) В выражении $30 + \frac{4}{10}$ число 30 является целой частью. Дробь $\frac{4}{10}$ соответствует цифре 4 в разряде десятых.
$30 + 0,4 = 30,4$.
Ответ: 30,4

в) В выражении $20 + \frac{3}{10} + \frac{1}{1000}$ число 20 является целой частью. Дробь $\frac{3}{10}$ соответствует цифре 3 в разряде десятых. Разряд сотых отсутствует, поэтому на его месте в десятичной дроби будет стоять 0. Дробь $\frac{1}{1000}$ соответствует цифре 1 в разряде тысячных.
$20 + 0,3 + 0,001 = 20,301$.
Ответ: 20,301

г) В выражении $\frac{5}{10} + \frac{5}{100} + \frac{5}{1000}$ целая часть отсутствует, значит она равна 0. Дробь $\frac{5}{10}$ соответствует цифре 5 в разряде десятых, $\frac{5}{100}$ — цифре 5 в разряде сотых, а $\frac{5}{1000}$ — цифре 5 в разряде тысячных.
$0,5 + 0,05 + 0,005 = 0,555$.
Ответ: 0,555

д) В выражении $\frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{10000}$ целая часть равна 0. Дробь $\frac{1}{10}$ дает цифру 1 в разряде десятых, а $\frac{1}{100}$ — цифру 1 в разряде сотых. Разряд тысячных пропущен, поэтому на его место ставим 0. Дробь $\frac{1}{10000}$ соответствует цифре 1 в разряде десятитысячных.
$0,1 + 0,01 + 0,0001 = 0,1101$.
Ответ: 0,1101

е) В выражении $\frac{6}{100} + \frac{6}{1000} + \frac{6}{100000}$ целая часть равна 0. Разряд десятых отсутствует, поэтому в записи десятичной дроби на его месте будет 0. Дробь $\frac{6}{100}$ дает цифру 6 в разряде сотых, а $\frac{6}{1000}$ — цифру 6 в разряде тысячных. Разряд десятитысячных отсутствует, поэтому пишем 0. Дробь $\frac{6}{100000}$ дает цифру 6 в разряде стотысячных.
$0,06 + 0,006 + 0,00006 = 0,06606$.
Ответ: 0,06606