Страница 181 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

635 Есть ли среди данных чисел равные? Если есть, укажите их:

а) $3,001$; $3,010$; $3,100$; $3,1$;

б) $6,800$; $6,080$; $6,880$; $6,08$;

в) $0,4$; $0,40$; $0,004$; $0,400$;

г) $1,05$; $1,0505$; $1,500$; $1,5050$.

а) Чтобы определить, есть ли среди чисел $3,001$; $3,010$; $3,100$; $3,1$ равные, сравним их. Значение десятичной дроби не изменится, если в конце её дробной части приписать или отбросить нули.

Рассмотрим число $3,010$. Отбросив последний ноль, получим $3,01$. $3,010 = 3,01$.

Рассмотрим число $3,100$. Отбросив два последних нуля, получим $3,1$. $3,100 = 3,1$.

Таким образом, исходный ряд чисел можно представить как $3,001$; $3,01$; $3,1$; $3,1$.

Среди этих чисел есть два равных: $3,100$ и $3,1$.

Ответ: $3,100 = 3,1$.

б) Сравним числа $6,800$; $6,080$; $6,880$; $6,08$.

Упростим числа, отбросив нули в конце дробной части:

$6,800 = 6,8$

$6,080 = 6,08$

$6,880 = 6,88$

После преобразования ряд чисел выглядит так: $6,8$; $6,08$; $6,88$; $6,08$.

Видно, что числа $6,080$ и $6,08$ равны.

Ответ: $6,080 = 6,08$.

в) Сравним числа $0,4$; $0,40$; $0,004$; $0,400$.

Отбросим конечные нули в дробной части у чисел $0,40$ и $0,400$:

$0,40 = 0,4$

$0,400 = 0,4$

Исходный ряд чисел можно представить как $0,4$; $0,4$; $0,004$; $0,4$.

Равными являются три числа: $0,4$, $0,40$ и $0,400$.

Ответ: $0,4 = 0,40 = 0,400$.

г) Сравним числа $1,05$; $1,0505$; $1,500$; $1,5050$.

Упростим числа, отбросив конечные нули:

$1,500 = 1,5$

$1,5050 = 1,505$

Получился ряд чисел: $1,05$; $1,0505$; $1,5$; $1,505$.

Чтобы наглядно сравнить эти числа, приведем их к одному количеству знаков после запятой, добавив нули справа:

$1,05 = 1,0500$

$1,0505$

$1,5 = 1,5000$

$1,505 = 1,5050$

Сравнивая числа $1,0500$; $1,0505$; $1,5000$; $1,5050$, мы видим, что все они имеют разные значения.

Ответ: Среди данных чисел равных нет.

636 Верно ли, что:

а) $12,40 = 12,4;$

б) $25 = 25,0;$

в) $1,03 = 1,30;$

г) $1,500 = 1,50;$

д) $160 = 16;$

е) $2,01 = 2,0100000?_$

а) Чтобы проверить верность равенства $12,40 = 12,4$, необходимо сравнить два десятичных числа. Согласно основному свойству десятичной дроби, её значение не изменится, если в конце дробной части приписать или отбросить один или несколько нулей. В числе $12,40$ ноль в конце дробной части можно отбросить, не изменив значения числа. Таким образом, $12,40 = 12,4$. Равенство верное.
Ответ: Верно

б) Проверим равенство $25 = 25,0$. Любое целое число можно представить в виде десятичной дроби, поставив после него запятую и приписав справа ноль (или несколько нулей). Число $25$ — это целое число. Число $25,0$ состоит из $25$ целых и $0$ десятых, что равно $25$. Следовательно, равенство является верным.
Ответ: Верно

в) Сравним числа $1,03$ и $1,30$. Сравнение десятичных дробей начинают с целых частей. Целые части обоих чисел равны $1$. Далее сравниваем дробные части поразрядно, начиная с десятых. В числе $1,03$ в разряде десятых стоит цифра $0$. В числе $1,30$ в разряде десятых стоит цифра $3$. Так как $0 < 3$, то и $1,03 < 1,30$. Ноль в числе $1,03$ является значащим, так как он находится между запятой и другой значащей цифрой. Следовательно, равенство неверно.
Ответ: Неверно

г) Рассмотрим равенство $1,500 = 1,50$. Используя основное свойство десятичной дроби, мы можем отбросить нули в конце дробной части. В числе $1,500$ можно отбросить два последних нуля, получив $1,5$. В числе $1,50$ можно отбросить последний ноль, также получив $1,5$. Так как оба числа равны $1,5$, то исходное равенство верно.
Ответ: Верно

д) Проверим равенство $160 = 16$. Это два разных целых числа. Число $160$ (сто шестьдесят) в десять раз больше числа $16$ (шестнадцать). Ноль в числе $160$ является значащей цифрой, так как он стоит в разряде единиц и влияет на величину числа. Очевидно, что $160 \ne 16$. Равенство неверно.
Ответ: Неверно

е) Рассмотрим равенство $2,01 = 2,0100000$. В числе $2,0100000$ нули, стоящие в конце дробной части, не меняют величину числа. Если отбросить эти пять нулей, мы получим число $2,01$. Таким образом, $2,0100000$ в точности равно $2,01$. Равенство является верным.
Ответ: Верно

637 Замените данную десятичную дробь равной наиболее простого вида:

а) $3,6000$;

б) $70,0200$;

в) $0,8700$;

г) $0,0030$.

Чтобы записать десятичную дробь в наиболее простом виде, необходимо убрать все нули, стоящие в конце дробной части после последней значащей цифры. Эти нули не влияют на величину дроби.

а) В дроби $3,6000$ нули, стоящие после цифры 6, можно отбросить.

$3,6000 = 3,6$

Ответ: $3,6$.

б) В дроби $70,0200$ нули, стоящие после цифры 2, можно отбросить.

$70,0200 = 70,02$

Ответ: $70,02$.

в) В дроби $0,8700$ нули, стоящие после цифры 7, можно отбросить.

$0,8700 = 0,87$

Ответ: $0,87$.

г) В дроби $0,0030$ можно отбросить только последний ноль, стоящий после цифры 3. Нули между запятой и цифрой 3 являются значащими и показывают разряд числа, поэтому их убирать нельзя.

$0,0030 = 0,003$

Ответ: $0,003$.

638 К числу приписывают справа один нуль, два нуля, три нуля и т. д. Что происходит с этим числом, если оно является:

а) натуральным числом;

б) десятичной дробью?

а) натуральным числом;
Когда к натуральному числу приписывают справа нули, его значение увеличивается. Приписывание одного нуля справа равносильно умножению числа на 10. Приписывание двух нулей — умножению на 100. Приписывание трёх нулей — умножению на 1000, и так далее.
Это происходит потому, что каждая цифра исходного числа сдвигается на одну позицию влево, увеличивая свой разрядный вес в 10 раз. Например, возьмём число 58.
- Приписываем один нуль: 580. Это то же самое, что $58 \times 10 = 580$.
- Приписываем два нуля: 5800. Это то же самое, что $58 \times 100 = 5800$.
- Приписываем три нуля: 58000. Это то же самое, что $58 \times 1000 = 58000$.
В общем виде, если к числу приписать $n$ нулей, оно будет умножено на $10^n$.
Ответ: При приписывании справа одного, двух, трёх и т.д. нулей натуральное число увеличивается соответственно в 10, 100, 1000 и т.д. раз.

б) десятичной дробью?
Если к десятичной дроби приписать справа нули (в конец её дробной части), то величина дроби не изменится. Такие нули называют незначащими.
Значение десятичной дроби определяется суммой её разрядных слагаемых. Добавление нулей в конец дробной части добавляет слагаемые, равные нулю, что не меняет общую сумму. Например, возьмём дробь 3,14.
- Её значение: $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100}$.
- Приписываем один нуль: 3,140. Её значение: $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{0}{1000}$. Так как $\frac{0}{1000} = 0$, значение не изменилось.
- Приписываем два нуля: 3,1400. Её значение: $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{0}{1000} + \frac{0}{10000}$. Значение также не изменилось.
Таким образом, $3,14 = 3,140 = 3,1400$.
Ответ: При приписывании справа одного, двух, трёх и т.д. нулей к десятичной дроби её величина не изменяется.

639. Сравните числа:

а) $0,6$ и $0,4$;

б) $0,2$ и $0,1$;

в) $2,55$ и $2,65$;

г) $1,21$ и $1,28$;

д) $1,99$ и $10,9$;

е) $7,0191$ и $7,1$.

а) 0,6 и 0,4
Для сравнения десятичных дробей необходимо последовательно сравнивать их разряды, начиная со старшего (слева направо).
Сначала сравниваем целые части. У обоих чисел, 0,6 и 0,4, целая часть равна 0.
Поскольку целые части равны, переходим к сравнению дробной части, начиная с разряда десятых.
В числе 0,6 в разряде десятых стоит цифра 6. В числе 0,4 в разряде десятых стоит цифра 4.
Сравниваем эти цифры: $6 > 4$.
Следовательно, число 0,6 больше, чем число 0,4.
Ответ: $0,6 > 0,4$.

б) 0,2 и 0,1
Целые части обоих чисел равны 0.
Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа 0,2 это 2, у числа 0,1 это 1.
Так как $2 > 1$, то $0,2 > 0,1$.
Ответ: $0,2 > 0,1$.

в) 2,55 и 2,65
Целые части обоих чисел равны 2.
Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа 2,55 это 5, у числа 2,65 это 6.
Так как $5 < 6$, то $2,55 < 2,65$.
Ответ: $2,55 < 2,65$.

г) 1,21 и 1,28
Целые части обоих чисел равны 1.
Цифры в разряде десятых также равны (у обоих чисел это 2).
Переходим к следующему разряду — сотых. У числа 1,21 в разряде сотых стоит 1, а у числа 1,28 — 8.
Так как $1 < 8$, то $1,21 < 1,28$.
Ответ: $1,21 < 1,28$.

д) 1,99 и 10,9
Сравниваем целые части чисел. Целая часть числа 1,99 равна 1. Целая часть числа 10,9 равна 10.
Так как $1 < 10$, то число, у которого целая часть меньше, будет меньше, независимо от дробной части.
Следовательно, $1,99 < 10,9$.
Ответ: $1,99 < 10,9$.

е) 7,0191 и 7,1
Целые части обоих чисел равны 7.
Сравниваем цифры в разряде десятых: у числа 7,0191 это 0, а у числа 7,1 это 1.
Так как $0 < 1$, то $7,0191 < 7,1$.
Для наглядности можно уравнять количество знаков после запятой, дописав нули: $7,1 = 7,1000$. Сравнивая 7,0191 и 7,1000, видим, что первое число меньше.
Ответ: $7,0191 < 7,1$.

640 Сравните числа:

а) $50,001$ и $50,01$;

б) $17,183$ и $17,09$;

в) $29,5$ и $29,53$;

г) $7$ и $6,99$;

д) $0,89$ и $1,5$;

е) $0,00041$ и $0,0005$.

Для сравнения десятичных дробей сначала сравнивают их целые части. Если целые части равны, то сравнивают дробные части поразрядно, слева направо (десятые, сотые, тысячные и т.д.), до первого несовпадающего разряда. Большим будет то число, у которого соответствующая цифра больше.

а) Сравним числа 50,001 и 50,01.
Целые части этих чисел равны: $50 = 50$.
Сравниваем дробные части поразрядно.
Цифры в разряде десятых равны: $0 = 0$.
Цифры в разряде сотых различаются: $0 < 1$.
Поскольку цифра в разряде сотых у первого числа меньше, то и само число меньше.
Следовательно, $50,001 < 50,01$.

Ответ: $50,001 < 50,01$.

б) Сравним числа 17,183 и 17,09.
Целые части равны: $17 = 17$.
Сравниваем дробные части поразрядно.
Цифры в разряде десятых различаются: $1 > 0$.
Поскольку цифра в разряде десятых у первого числа больше, то и само число больше.
Следовательно, $17,183 > 17,09$.

Ответ: $17,183 > 17,09$.

в) Сравним числа 29,5 и 29,53.
Целые части равны: $29 = 29$.
Чтобы сравнить дробные части, уравняем количество цифр после запятой, дописав к числу 29,5 справа ноль: $29,5 = 29,50$.
Теперь сравниваем числа 29,50 и 29,53.
Дробная часть 50 меньше, чем 53.
Следовательно, $29,5 < 29,53$.

Ответ: $29,5 < 29,53$.

г) Сравним числа 7 и 6,99.
Сравниваем целые части этих чисел.
Целая часть числа 7 равна 7. Целая часть числа 6,99 равна 6.
Так как $7 > 6$, то и число 7 больше числа 6,99.
Следовательно, $7 > 6,99$.

Ответ: $7 > 6,99$.

д) Сравним числа 0,89 и 1,5.
Сравниваем целые части этих чисел.
Целая часть числа 0,89 равна 0. Целая часть числа 1,5 равна 1.
Так как $0 < 1$, то и число 0,89 меньше числа 1,5.
Следовательно, $0,89 < 1,5$.

Ответ: $0,89 < 1,5$.

е) Сравним числа 0,00041 и 0,0005.
Целые части равны: $0 = 0$.
Сравниваем дробные части поразрядно.
Цифры в разрядах десятых, сотых и тысячных равны нулю у обоих чисел.
Цифры в разряде десятитысячных различаются: $4 < 5$.
Поскольку цифра в разряде десятитысячных у первого числа меньше, то и само число меньше.
Следовательно, $0,00041 < 0,0005$.

Ответ: $0,00041 < 0,0005$.

641 Какое из трёх данных чисел наибольшее и какое наименьшее:

a) $0,016$; $0,044$; $0,031$;

б) $2,601$; $2,610$; $2,061$;

в) $0,5$; $0,6$; $0,56$;

г) $3,215$; $32,15$; $0,3215$?

а) 0,016; 0,044; 0,031;

Чтобы сравнить десятичные дроби, необходимо сравнивать их по разрядам, начиная слева, от старших разрядов к младшим.

1. Сначала сравниваем целые части чисел. У всех трёх чисел (0,016, 0,044, 0,031) целая часть равна 0.

2. Так как целые части равны, переходим к сравнению дробных частей, начиная с разряда десятых. В разряде десятых у всех трёх чисел также стоит 0.

3. Переходим к разряду сотых. У числа 0,016 в разряде сотых стоит 1, у числа 0,044 – 4, а у числа 0,031 – 3.

4. Сравниваем цифры в разряде сотых: $1 < 3 < 4$.

5. На основе этого сравнения делаем вывод о соотношении чисел: $0,016 < 0,031 < 0,044$.

Таким образом, наименьшее число — 0,016, а наибольшее — 0,044.

Ответ: наименьшее число 0,016, наибольшее число 0,044.

б) 2,601; 2,610; 2,061;

1. Сравниваем целые части чисел. У всех трёх чисел (2,601, 2,610, 2,061) целая часть равна 2.

2. Сравниваем разряд десятых. У чисел 2,601 и 2,610 в разряде десятых стоит 6, а у числа 2,061 – 0.

3. Поскольку $0 < 6$, число 2,061 меньше двух других чисел и является наименьшим.

4. Теперь сравним числа 2,601 и 2,610. Их целые части и десятые равны. Сравниваем разряд сотых. У числа 2,601 в разряде сотых стоит 0, а у числа 2,610 – 1.

5. Поскольку $0 < 1$, то $2,601 < 2,610$. Следовательно, число 2,610 является наибольшим.

Таким образом, наименьшее число — 2,061, а наибольшее — 2,610.

Ответ: наименьшее число 2,061, наибольшее число 2,610.

в) 0,5; 0,6; 0,56;

1. Сравниваем целые части. У всех трёх чисел (0,5, 0,6, 0,56) они равны 0.

2. Сравниваем разряд десятых. У чисел 0,5 и 0,56 в разряде десятых стоит 5, а у числа 0,6 – 6.

3. Поскольку $6 > 5$, число 0,6 больше двух других чисел и является наибольшим.

4. Теперь сравним числа 0,5 и 0,56. Для удобства можно представить 0,5 как 0,50. Их целые части и десятые равны. Сравниваем разряд сотых. У числа 0,50 в разряде сотых стоит 0, а у числа 0,56 – 6.

5. Поскольку $0 < 6$, то $0,50 < 0,56$. Следовательно, число 0,5 является наименьшим.

Таким образом, наименьшее число — 0,5, а наибольшее — 0,6.

Ответ: наименьшее число 0,5, наибольшее число 0,6.

г) 3,215; 32,15; 0,3215?

1. Для сравнения этих чисел в первую очередь сравниваем их целые части (цифры до запятой).

2. Целая часть числа 3,215 равна 3.

3. Целая часть числа 32,15 равна 32.

4. Целая часть числа 0,3215 равна 0.

5. Сравниваем полученные целые части: $0 < 3 < 32$.

6. Если целые части чисел различны, то больше то число, у которого целая часть больше. Следовательно, $0,3215 < 3,215 < 32,15$.

Таким образом, наименьшее число — 0,3215, а наибольшее — 32,15.

Ответ: наименьшее число 0,3215, наибольшее число 32,15.

642 Какие цифры можно подставить вместо звёздочки, чтобы полученное неравенство было верным:

а) $0,488 < 0,4*8;$

б) $1*,93 < 11,93;$

в) $3,07 < 3,0*$;

г) $6,*9 < 6,38?$

а) В неравенстве $0,488 < 0,4*8$ сравниваются две десятичные дроби.

При сравнении десятичных дробей мы сравниваем цифры поразрядно, слева направо.
1. Сравним целые части: $0 = 0$.
2. Сравним разряд десятых: $4 = 4$.
3. Сравним разряд сотых: слева стоит цифра 8, справа — звёздочка (*).

Чтобы неравенство было верным, число справа должно быть больше числа слева. Поскольку предыдущие разряды равны, цифра в разряде сотых у правого числа должна быть больше цифры в разряде сотых у левого числа.
Если вместо звёздочки подставить цифру, большую 8, то неравенство будет верным. Такой цифрой является 9.
Проверим: $0,488 < 0,498$ — верно.
Если вместо звёздочки подставить 8, то получится $0,488 < 0,488$, что неверно, так как числа равны.
Если вместо звёздочки подставить цифру, меньшую 8, то неравенство будет неверным (например, $0,488 < 0,478$ — неверно).
Следовательно, подходит только одна цифра.

Ответ: 9.

б) В неравенстве $1*,93 < 11,93$ нужно сравнить числа.

Дробные части у обоих чисел одинаковы (равны 93 сотым). Следовательно, чтобы неравенство было верным, целая часть числа слева ($1*$) должна быть меньше целой части числа справа (11).
Целая часть левого числа — это двузначное число $1*$, у которого первая цифра 1, а вторая — звёздочка (*).
Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство $1* < 11$.
Сравниваем числа $1*$ и $11$. Их первые цифры (в разряде десятков) равны 1. Значит, нужно сравнить вторые цифры (в разряде единиц).
Цифра в разряде единиц левого числа (*) должна быть меньше цифры в разряде единиц правого числа (1).
Единственная цифра, которая меньше 1, — это 0.
Если $* = 0$, то получаем $10,93 < 11,93$ — верно.
Если $* = 1$, то получаем $11,93 < 11,93$ — неверно.
Если $* > 1$, то левое число будет больше правого, что также неверно.

Ответ: 0.

в) В неравенстве $3,07 < 3,0*$ сравниваются две десятичные дроби.

Сравниваем цифры поразрядно слева направо:
1. Целые части равны: $3 = 3$.
2. Цифры в разряде десятых равны: $0 = 0$.
3. Сравниваем цифры в разряде сотых: слева стоит 7, справа — звёздочка (*).

Чтобы неравенство $3,07 < 3,0*$ было верным, цифра в разряде сотых у правого числа (*) должна быть больше цифры в разряде сотых у левого числа (7).
Цифры, которые больше 7, — это 8 и 9.
Проверим:
При $* = 8$ получаем $3,07 < 3,08$ — верно.
При $* = 9$ получаем $3,07 < 3,09$ — верно.
Если $* = 7$, то $3,07 < 3,07$ — неверно.

Ответ: 8, 9.

г) В неравенстве $6,*9 < 6,38$ сравниваются две десятичные дроби.

Сравниваем цифры поразрядно слева направо:
1. Целые части равны: $6 = 6$.
2. Сравниваем цифры в разряде десятых: слева стоит звёздочка (*), справа — 3.

Чтобы неравенство было верным, число слева должно быть меньше числа справа.
Если цифра в разряде десятых у левого числа (*) будет меньше цифры в разряде десятых у правого числа (3), то неравенство будет верным независимо от последующих разрядов.
Цифры, которые меньше 3, — это 0, 1, 2.
Проверим:
При $* = 0$ получаем $6,09 < 6,38$ — верно.
При $* = 1$ получаем $6,19 < 6,38$ — верно.
При $* = 2$ получаем $6,29 < 6,38$ — верно.

Если вместо звёздочки подставить 3, то нужно будет сравнивать следующий разряд (сотые). Неравенство примет вид $6,39 < 6,38$, что неверно.
Если вместо звёздочки подставить цифру, большую 3, то левое число будет заведомо больше правого, и неравенство будет неверным (например, $6,49 < 6,38$ — неверно).
Следовательно, подходят цифры 0, 1, 2.

Ответ: 0, 1, 2.

643 Найдите какую-нибудь десятичную дробь, заключённую между:

а) 2,7 и 2,8;

б) 0,8 и 0,9.

а) 2,7 и 2,8;

Чтобы найти десятичную дробь, заключенную между числами 2,7 и 2,8, можно представить эти числа с большим количеством знаков после запятой. Для этого допишем к каждому числу справа ноль. Значение дробей от этого не изменится.

Таким образом, 2,7 превращается в 2,70, а 2,8 — в 2,80. Теперь нам нужно найти число, которое больше 2,70 и меньше 2,80. Запишем это в виде двойного неравенства: $2,70 < x < 2,80$.

В этом интервале находится любое число от 2,71 до 2,79. Например, можно взять число 2,71, 2,75 или 2,79. Выберем, к примеру, 2,75.

Проверим, выполняется ли неравенство: $2,7 < 2,75 < 2,8$. Да, это верно.

Ответ: 2,75.

б) 0,8 и 0,9.

Поступим аналогичным образом. Представим числа 0,8 и 0,9 в виде десятичных дробей с двумя знаками после запятой, добавив нули: 0,80 и 0,90.

Теперь задача сводится к поиску числа $y$, которое удовлетворяет неравенству $0,80 < y < 0,90$.

Между 0,80 и 0,90 находится множество чисел, например: 0,81, 0,82, 0,83 и так далее до 0,89. В качестве примера возьмем число 0,83.

Проверим неравенство: $0,8 < 0,83 < 0,9$. Неравенство выполняется.

Ответ: 0,83.

644 Напишите три десятичные дроби, каждая из которых:

a) больше, чем $9,61$, но меньше, чем $9,62$;

б) меньше, чем $0,0001$.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти три десятичные дроби $x$, для которых выполняется двойное неравенство: $9,61 < x < 9,62$. Чтобы найти такие числа, можно представить граничные значения с большим количеством десятичных знаков, добавив нули справа. Это не изменит их величину: $9,61 = 9,610$ и $9,62 = 9,620$. Теперь неравенство выглядит так: $9,610 < x < 9,620$. Отсюда видно, что подойдут любые числа между 9,610 и 9,620, например, 9,611, 9,612, и так далее до 9,619. Мы можем выбрать любые три из них.

Ответ: 9,611; 9,615; 9,618.

б)

Задача состоит в том, чтобы найти три десятичные дроби $x$, которые меньше 0,0001. Будем рассматривать положительные дроби, то есть такие, для которых выполняется неравенство $0 < x < 0,0001$. В числе 0,0001 первая значащая цифра (1) находится в четвертом разряде после запятой (разряде десятитысячных). Любая положительная десятичная дробь будет меньше 0,0001, если ее первая значащая цифра находится правее, то есть в пятом, шестом или более далеком разряде после запятой. Например, мы можем выбрать дроби, у которых первые четыре цифры после запятой — нули, а пятая цифра отлична от нуля.

Ответ: 0,00001; 0,00005; 0,00009.

645 Найдите закономерность, по которой строится последовательность чисел, и запишите следующие два числа; определите, как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются:

а) 1,1; 1,02; 1,003; 1,0004; 1,00005; ... ;

б) 1; 1,7; 1,76; 1,765; 1,7654; 1,76543; ... ;

в) 1; 0,9; 0,89; 0,789; 0,6789; ... .

а) В последовательности 1,1; 1,02; 1,003; 1,0004; 1,00005; ... можно заметить следующую закономерность: $n$-й член последовательности — это число, у которого целая часть равна 1, а в дробной части $n$ знаков после запятой. При этом первые $n-1$ знаков — это нули, а $n$-й знак — это цифра, равная номеру члена $n$.

• 1-й член: 1,1
• 2-й член: 1,02
• 3-й член: 1,003
• 4-й член: 1,0004
• 5-й член: 1,00005

Следуя этому правилу, следующие два члена будут:

• 6-й член: 1,000006 (пять нулей и цифра 6)
• 7-й член: 1,0000007 (шесть нулей и цифра 7)

Для определения характера изменения последовательности сравним её члены: $1,1 > 1,02 > 1,003 > 1,0004 > 1,00005$. Каждый следующий член меньше предыдущего, следовательно, члены последовательности уменьшаются.
Ответ: следующие два числа — 1,000006 и 1,0000007; члены последовательности уменьшаются.

б) В последовательности 1; 1,7; 1,76; 1,765; 1,7654; 1,76543; ... каждый следующий член получается путем дописывания в конец дробной части предыдущего члена новой цифры. Эти добавляемые цифры образуют убывающую последовательность: 7, 6, 5, 4, 3, ... Следующие цифры, которые нужно дописать, — это 2 и 1. Таким образом, следующие два члена последовательности:

• 1,765432 (к 1,76543 добавили 2)
• 1,7654321 (к 1,765432 добавили 1)

Сравним члены последовательности: $1 < 1,7 < 1,76 < 1,765$. Так как к каждому предыдущему числу добавляется положительная величина (например, $1,76 = 1,7 + 0,06$), каждый следующий член больше предыдущего. Следовательно, члены последовательности увеличиваются.
Ответ: следующие два числа — 1,765432 и 1,7654321; члены последовательности увеличиваются.

в) В последовательности 1; 0,9; 0,89; 0,789; 0,6789; ... закономерность, начиная со второго члена, заключается в следующем: цифры после запятой образуют возрастающую последовательность целых чисел, которая заканчивается на 9. При этом первая цифра в этой последовательности с каждым новым членом уменьшается на единицу: 9; 8; 7; 6; ...

• 2-й член: 0,9 (цифры: 9)
• 3-й член: 0,89 (цифры: 8, 9)
• 4-й член: 0,789 (цифры: 7, 8, 9)
• 5-й член: 0,6789 (цифры: 6, 7, 8, 9)

Следуя этой закономерности, следующие два члена будут:

• 6-й член: 0,56789 (цифры начинаются с 5: 5, 6, 7, 8, 9)
• 7-й член: 0,456789 (цифры начинаются с 4: 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Сравним члены последовательности: $1 > 0,9 > 0,89 > 0,789 > 0,6789$. Каждый следующий член меньше предыдущего (например, $0,9 > 0,89$, так как в разряде десятых $9 > 8$). Следовательно, члены последовательности уменьшаются.
Ответ: следующие два числа — 0,56789 и 0,456789; члены последовательности уменьшаются.