Страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

646 Прочитайте двойное неравенство. К какому из двух крайних чисел ближе среднее число:

а) $10 < 10,2 < 11;$

б) $15 < 15,8 < 16;$

в) $8,4 < 8,46 < 8,5;$

г) $9,3 < 9,33 < 9,4?$

Чтобы определить, к какому из двух крайних чисел ближе среднее число, необходимо найти расстояние (разность) от среднего числа до каждого из крайних. Среднее число будет ближе к тому крайнему числу, расстояние до которого меньше.

а) Двойное неравенство $10 < 10,2 < 11$ читается так: "число десять целых две десятых больше десяти и меньше одиннадцати".

Найдем расстояние от среднего числа $10,2$ до левого крайнего числа $10$:
$10,2 - 10 = 0,2$.

Найдем расстояние от среднего числа $10,2$ до правого крайнего числа $11$:
$11 - 10,2 = 0,8$.

Сравниваем полученные расстояния: $0,2 < 0,8$.
Поскольку расстояние до числа $10$ меньше, чем до числа $11$, среднее число $10,2$ находится ближе к числу $10$.

Ответ: число $10,2$ ближе к $10$.

б) Двойное неравенство $15 < 15,8 < 16$ читается так: "число пятнадцать целых восемь десятых больше пятнадцати и меньше шестнадцати".

Найдем расстояние от среднего числа $15,8$ до левого крайнего числа $15$:
$15,8 - 15 = 0,8$.

Найдем расстояние от среднего числа $15,8$ до правого крайнего числа $16$:
$16 - 15,8 = 0,2$.

Сравниваем полученные расстояния: $0,2 < 0,8$.
Поскольку расстояние до числа $16$ меньше, чем до числа $15$, среднее число $15,8$ находится ближе к числу $16$.

Ответ: число $15,8$ ближе к $16$.

в) Двойное неравенство $8,4 < 8,46 < 8,5$ читается так: "число восемь целых сорок шесть сотых больше восьми целых четырех десятых и меньше восьми целых пяти десятых".

Найдем расстояние от среднего числа $8,46$ до левого крайнего числа $8,4$:
$8,46 - 8,4 = 0,06$.

Найдем расстояние от среднего числа $8,46$ до правого крайнего числа $8,5$:
$8,5 - 8,46 = 0,04$.

Сравниваем полученные расстояния: $0,04 < 0,06$.
Поскольку расстояние до числа $8,5$ меньше, чем до числа $8,4$, среднее число $8,46$ находится ближе к числу $8,5$.

Ответ: число $8,46$ ближе к $8,5$.

г) Двойное неравенство $9,3 < 9,33 < 9,4$ читается так: "число девять целых тридцать три сотых больше девяти целых трех десятых и меньше девяти целых четырех десятых".

Найдем расстояние от среднего числа $9,33$ до левого крайнего числа $9,3$:
$9,33 - 9,3 = 0,03$.

Найдем расстояние от среднего числа $9,33$ до правого крайнего числа $9,4$:
$9,4 - 9,33 = 0,07$.

Сравниваем полученные расстояния: $0,03 < 0,07$.
Поскольку расстояние до числа $9,3$ меньше, чем до числа $9,4$, среднее число $9,33$ находится ближе к числу $9,3$.

Ответ: число $9,33$ ближе к $9,3$.

647 Округлите до единиц:

a) $47,259$;

б) $115,64$;

в) $0,837$;

г) $0,125$;

д) $9,301$;

е) $39,82$.

Чтобы округлить десятичную дробь до единиц, то есть до целого числа, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде десятых (первая цифра после запятой).

• Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то мы отбрасываем все цифры после запятой, а целую часть оставляем без изменений (округление с недостатком).
• Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то мы отбрасываем все цифры после запятой, а к целой части прибавляем 1 (округление с избытком).

а) В числе 47,259 первая цифра после запятой — 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону. Отбрасываем дробную часть.
$47,259 \approx 47$
Ответ: 47.

б) В числе 115,64 первая цифра после запятой — 6. Так как $6 \geq 5$, округляем в большую сторону. Отбрасываем дробную часть и увеличиваем целую часть на 1.
$115,64 \approx 115 + 1 = 116$
Ответ: 116.

в) В числе 0,837 первая цифра после запятой — 8. Так как $8 \geq 5$, округляем в большую сторону. Отбрасываем дробную часть и увеличиваем целую часть на 1.
$0,837 \approx 0 + 1 = 1$
Ответ: 1.

г) В числе 0,125 первая цифра после запятой — 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону. Отбрасываем дробную часть.
$0,125 \approx 0$
Ответ: 0.

д) В числе 9,301 первая цифра после запятой — 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону. Отбрасываем дробную часть.
$9,301 \approx 9$
Ответ: 9.

е) В числе 39,82 первая цифра после запятой — 8. Так как $8 \geq 5$, округляем в большую сторону. Отбрасываем дробную часть и увеличиваем целую часть на 1.
$39,82 \approx 39 + 1 = 40$
Ответ: 40.

648 Округлите число до десятых; до сотых; до тысячных:

а) $18,8156$;

б) $22,3385$;

в) $2,9079$;

г) $0,4296$.

Правило округления десятичных дробей: чтобы округлить число до определенного разряда (десятых, сотых, тысячных и т.д.), нужно посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда.

• Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляют без изменений, а все последующие цифры справа отбрасывают.

• Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличивают на 1, а все последующие цифры справа отбрасывают.

а) Округлим число $18,8156$.

• До десятых: разряд десятых — 8, следующая цифра — 1. Так как $1 < 5$, то цифру 8 оставляем без изменений. Получаем $18,8$.

• До сотых: разряд сотых — 1, следующая цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру 1 увеличиваем на единицу ($1+1=2$). Получаем $18,82$.

• До тысячных: разряд тысячных — 5, следующая цифра — 6. Так как $6 > 5$, то цифру 5 увеличиваем на единицу ($5+1=6$). Получаем $18,816$.

Ответ: до десятых — $18,8$; до сотых — $18,82$; до тысячных — $18,816$.

б) Округлим число $22,3385$.

• До десятых: разряд десятых — 3, следующая цифра — 3. Так как $3 < 5$, то цифру 3 оставляем без изменений. Получаем $22,3$.

• До сотых: разряд сотых — 3, следующая цифра — 8. Так как $8 > 5$, то цифру 3 увеличиваем на единицу ($3+1=4$). Получаем $22,34$.

• До тысячных: разряд тысячных — 8, следующая цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру 8 увеличиваем на единицу ($8+1=9$). Получаем $22,339$.

Ответ: до десятых — $22,3$; до сотых — $22,34$; до тысячных — $22,339$.

в) Округлим число $2,9079$.

• До десятых: разряд десятых — 9, следующая цифра — 0. Так как $0 < 5$, то цифру 9 оставляем без изменений. Получаем $2,9$.

• До сотых: разряд сотых — 0, следующая цифра — 7. Так как $7 > 5$, то цифру 0 увеличиваем на единицу ($0+1=1$). Получаем $2,91$.

• До тысячных: разряд тысячных — 7, следующая цифра — 9. Так как $9 > 5$, то цифру 7 увеличиваем на единицу ($7+1=8$). Получаем $2,908$.

Ответ: до десятых — $2,9$; до сотых — $2,91$; до тысячных — $2,908$.

г) Округлим число $0,4296$.

• До десятых: разряд десятых — 4, следующая цифра — 2. Так как $2 < 5$, то цифру 4 оставляем без изменений. Получаем $0,4$.

• До сотых: разряд сотых — 2, следующая цифра — 9. Так как $9 > 5$, то цифру 2 увеличиваем на единицу ($2+1=3$). Получаем $0,43$.

• До тысячных: разряд тысячных — 9, следующая цифра — 6. Так как $6 > 5$, то цифру 9 увеличиваем на единицу. $9+1=10$, поэтому в разряде тысячных пишем 0, а к предыдущему разряду (сотых) добавляем 1: $2+1=3$. Получаем $0,430$.

Ответ: до десятых — $0,4$; до сотых — $0,43$; до тысячных — $0,430$.

649 1) Вспомните правило округления натуральных чисел. Округлите число 310752 до десятых; до сотых.

2) Округлите число 31,0752 до десятков; до сотен. Чем различаются округление натуральных чисел и округление десятичных дробей?

1)

Правило округления натуральных чисел: чтобы округлить натуральное число до определенного разряда, нужно посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда.
- Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляют без изменений, а все цифры справа от неё заменяют нулями.
- Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличивают на 1, а все цифры справа от неё заменяют нулями.

В задании, вероятно, допущена опечатка, так как натуральные числа не имеют дробных разрядов, таких как "десятые" и "сотые". Скорее всего, имелось в виду округление до десятков и до сотен.

Округление числа 310752 до десятков:
В разряде десятков стоит цифра 5. Справа от неё стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, то цифру 5 оставляем без изменений, а цифру 2 заменяем нулём.
$310752 \approx 310750$

Округление числа 310752 до сотен:
В разряде сотен стоит цифра 7. Справа от неё стоит цифра 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру 7 увеличиваем на 1 ($7 + 1 = 8$), а все цифры справа от неё заменяем нулями.
$310752 \approx 310800$

Ответ: 310750; 310800.

2)

Округление числа 31,0752 до десятков:
В разряде десятков стоит цифра 3. Справа от неё, в разряде единиц, стоит цифра 1. Так как $1 < 5$, цифру 3 оставляем без изменений, цифру 1 заменяем нулём, а дробную часть отбрасываем.
$31,0752 \approx 30$

Округление числа 31,0752 до сотен:
В данном числе разряд сотен равен 0 (число можно записать как 031,0752). Справа от него, в разряде десятков, стоит цифра 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотен (0) оставляем без изменений, а все последующие цифры в целой части заменяем нулями. Дробную часть отбрасываем.
$31,0752 \approx 0$

Различия в округлении натуральных чисел и десятичных дробей:
Основной принцип округления (анализ цифры, следующей за округляемым разрядом) является общим. Однако, ключевое различие заключается в том, до каких разрядов можно округлять число и как поступать с остальными цифрами.
- Натуральные числа округляют только до разрядов в целой части (до десятков, сотен, тысяч и т.д.). Все цифры, стоящие справа от округляемого разряда, заменяются нулями.
- Десятичные дроби можно округлять как до разрядов в целой части, так и до разрядов в дробной части (до десятых, сотых, тысячных и т.д.). При округлении до разряда в дробной части все цифры справа от него просто отбрасываются. При округлении до разряда в целой части, все цифры справа от него до запятой заменяются нулями, а вся дробная часть отбрасывается.

Ответ: 30; 0.

650 Золотник — это единица измерения массы в системе старинных русских мер (XVIII в.); пядь — единица измерения длины (XIX в.):

$1 \text{ золотник} \approx 4,265 \text{ г}$; $1 \text{ пядь} \approx 0,1778 \text{ м}$.

1) Сколько примерно граммов содержится в золотнике, если округлить данные значения: а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных?

2) Сколько примерно метров содержится в одной пяди, если округлить данное значение: а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных?

Для округления десятичной дроби до определенного разряда необходимо посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда. Если эта цифра 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то цифру в округляемом разряде увеличивают на единицу, а все последующие цифры отбрасывают. Если же справа стоит цифра меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то цифру в округляемом разряде оставляют без изменений, а все последующие также отбрасывают.

1) Исходное значение массы золотника: $4,265$ г. Произведем округление этого значения.

а) до десятых:
Округляем число $4,265$ до разряда десятых. Цифра в разряде десятых — 2. Следующая за ней цифра — 6. Так как $6 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых на единицу: $2+1=3$.
$4,265 \approx 4,3$.
Ответ: примерно $4,3$ г.

б) до сотых:
Округляем число $4,265$ до разряда сотых. Цифра в разряде сотых — 6. Следующая за ней цифра — 5. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых на единицу: $6+1=7$.
$4,265 \approx 4,27$.
Ответ: примерно $4,27$ г.

в) до тысячных:
Число $4,265$ уже представлено с точностью до тысячных. Округление до этого разряда не изменяет число.
$4,265 \approx 4,265$.
Ответ: примерно $4,265$ г.

2) Исходное значение длины пяди: $0,1778$ м. Произведем округление этого значения.

а) до десятых:
Округляем число $0,1778$ до разряда десятых. Цифра в разряде десятых — 1. Следующая за ней цифра — 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде десятых на единицу: $1+1=2$.
$0,1778 \approx 0,2$.
Ответ: примерно $0,2$ м.

б) до сотых:
Округляем число $0,1778$ до разряда сотых. Цифра в разряде сотых — 7. Следующая за ней цифра — 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде сотых на единицу: $7+1=8$.
$0,1778 \approx 0,18$.
Ответ: примерно $0,18$ м.

в) до тысячных:
Округляем число $0,1778$ до разряда тысячных. Цифра в разряде тысячных — 7. Следующая за ней цифра — 8. Так как $8 \ge 5$, увеличиваем цифру в разряде тысячных на единицу: $7+1=8$.
$0,1778 \approx 0,178$.
Ответ: примерно $0,178$ м.

651 В продуктовом магазине общую стоимость покупки на кассе округляют до десятых по правилам округления. Сколько заплатит Дима за свою покупку, если её стоимость составила:

а) $87,14$ р.;

б) $135,78$ р.;

в) $63,35$ р.;

г) $254,04$ р.?

Выразите эту сумму в рублях и копейках.

По условию задачи, общую стоимость покупки округляют до десятых. Это означает, что мы оставляем одну цифру после запятой. Правила округления следующие: если первая из отбрасываемых цифр (в данном случае, цифра в разряде сотых) равна 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущая цифра не меняется. Если же она равна 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущая цифра увеличивается на единицу.

а) Стоимость покупки 87,14 р. Округляем до десятых. Цифра в разряде сотых — 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде десятых (1) оставляем без изменений.
$87,14 \approx 87,1$ р.
87,1 р. — это 87 рублей и 10 копеек.
Ответ: 87 рублей 10 копеек.

б) Стоимость покупки 135,78 р. Округляем до десятых. Цифра в разряде сотых — 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (7) увеличиваем на 1.
$135,78 \approx 135,8$ р.
135,8 р. — это 135 рублей и 80 копеек.
Ответ: 135 рублей 80 копеек.

в) Стоимость покупки 63,35 р. Округляем до десятых. Цифра в разряде сотых — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (3) увеличиваем на 1.
$63,35 \approx 63,4$ р.
63,4 р. — это 63 рубля и 40 копеек.
Ответ: 63 рубля 40 копеек.

г) Стоимость покупки 254,04 р. Округляем до десятых. Цифра в разряде сотых — 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде десятых (0) оставляем без изменений.
$254,04 \approx 254,0$ р.
254,0 р. — это 254 рубля и 00 копеек.
Ответ: 254 рубля 00 копеек.

652 Коля купил несколько продуктов массой 0,756 кг, 1,2 кг и 2,87 кг. Он прикинул, сколько примерно килограммов ему придётся нести: $0,756 \approx 1$; $1,2 \approx 1$; $2,87 \approx 3$; $1 + 1 + 3 = 5$ (кг). Рассуждая таким же образом, прикиньте общую массу покупок, если масса каждой равна:

а) 2,05 кг, 3,7 кг и 0,925 кг;

б) 0,6 кг, 1,87 кг, 2,2 кг и 3,08 кг.

Неверно!

Пятиклассники Саша и Юра выполняли задания на округление чисел.

Саша, округляя число 50368 до десятков, записал:

$50368 \approx 5037$.

Юра, округляя число 241,576 до десятых, записал:

$241,576 \approx 240$.

Исправьте их ошибки.

а) Чтобы прикинуть общую массу покупок, округлим массу каждого продукта до ближайшего целого числа и сложим результаты. При округлении до целых мы смотрим на цифру в разряде десятых: если она 5 или больше, округляем в большую сторону, иначе — в меньшую.

$2,05 \text{ кг} \approx 2 \text{ кг}$ (так как 0 < 5)

$3,7 \text{ кг} \approx 4 \text{ кг}$ (так как 7 ≥ 5)

$0,925 \text{ кг} \approx 1 \text{ кг}$ (так как 9 ≥ 5)

Сложим полученные значения: $2 + 4 + 1 = 7$ (кг).

Ответ: примерно 7 кг.

б) Проделаем те же действия для второго набора продуктов:

$0,6 \text{ кг} \approx 1 \text{ кг}$ (так как 6 ≥ 5)

$1,87 \text{ кг} \approx 2 \text{ кг}$ (так как 8 ≥ 5)

$2,2 \text{ кг} \approx 2 \text{ кг}$ (так как 2 < 5)

$3,08 \text{ кг} \approx 3 \text{ кг}$ (так как 0 < 5)

Сложим полученные значения: $1 + 2 + 2 + 3 = 8$ (кг).

Ответ: примерно 8 кг.

Теперь исправим ошибки, которые допустили Саша и Юра.

Саша округлял число 50368 до десятков. Для этого нужно посмотреть на цифру в разряде единиц. В этом числе это 8. Так как $8 \ge 5$, мы должны увеличить цифру в разряде десятков (которая равна 6) на единицу, а цифру в разряде единиц заменить нулем. Таким образом, правильное округление: $50368 \approx 50370$.

Юра округлял число 241,576 до десятых. Для этого нужно посмотреть на цифру в разряде сотых. В этом числе это 7. Так как $7 \ge 5$, мы должны увеличить цифру в разряде десятых (которая равна 5) на единицу, а все последующие цифры справа отбросить. Таким образом, правильное округление: $241,576 \approx 241,6$. Юра, вероятно, перепутал округление до десятых с округлением до десятков и получил 240, что не является верным ответом на поставленную задачу.

Ответ: Правильные записи должны быть такими: Саша: $50368 \approx 50370$; Юра: $241,576 \approx 241,6$.